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历年上海高考试题 (立体几何 )

(01 春) 若有平面

与 ，且

（ A ）过点 P 且垂直于

l , , P 内．

, P l ，则下列命题中的假命题为（ ．（B）过点 P 且垂直于 l 的平面垂直于

） ． 的直线平行于

（ C）过点 P 且垂直于

的直线在 （D ）过点 P 且垂直于 l 的直线在 内．

a⊥α， b⊥β，则下列

（01）已知 a、b 为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且 命题中的假命题是（

） D

B. 若α⊥β，则 a⊥b

A. 若 a∥ b，则α∥β

C. 若 a、 b 相交，则α、β相交

D. 若α、β相交，则 a、b 相交

(02 春) 下图表示一个正方体表面的一种展开图，图中四条线段 AB 、CD、EF 和

GH 在原正方体中相互异面的有

对。 3

(02)若正四棱锥的底面边长为 2 3cm , 体积为 4cm3 ，则它的侧面与底面所成的二 面角的大小是

30

(03 春) 关于直线 a, b, l 以及平面 M , N ，下列命题中正确的是

(A) 若 a // M , b // M , 则 a // b (B) 若 a // M , b a , 则 b (C) 若 a (D) 若 a

( ) .

M

a, l

M ,b M , 且 l b , 则 l M

D

M , a // N , 则 M N

(03) 在正四棱锥 P—ABCD 中，若侧面与底面所成二面角的大小为60°，则异面直线 PA

1

与 BC 所成角的大小等于

A ．α、β都垂直于平面 r.

.（结果用反三角函数值表示） arctg2

（

(03)在下列条件中，可判断平面α与β平行的是

）

B．α内存在不共线的三点到β的距离相等. C． l， m 是α内两条直线，且 l ∥β， m∥β .

D． l ， m 是两条异面直线，且 l ∥α， m∥α， l∥β， m∥β . (04 春 )如图 ,在底面边长为 2 的正三棱锥 V-ABC 中 ,E 是 BC 的中点 , 若△ VAE 的面积是

D

1

,则侧棱 VA 与底面所成角的大小为 ) arctg

4

(结果用反三角函数表示

1

4

)

(04) 在下列关于直线 l 、m 与平面 α、β的命题中 ,真命题是 (

(A) 若 l β且 α⊥ β,则 l⊥ α . (B) 若 l⊥ β且 α∥ β,则 l ⊥ α. (C) 若 l ⊥β且 α⊥ β,则 l∥ α . (D) 若 α∩β =m且 l∥ m,则 l∥ α.B (05 春) 已知直线 l 、m、n 及平面 ，下列命题中的假命题是

（ A ）若 l // m ， m // n ，则 l // n .

（ B ）若 l

， n // ，则 l

n .

（C）若 l m ， m // n ，则 l n .

（D）若 l // ， n // ，则 l // n .D

(05)有两个相同的直三棱柱

,高为

2 a

, 底面三角形的三

边长分别为 3a、4a、5a(a>0). 用它们拼成一个三棱

柱或四棱柱 ,在所有可能的情况中

,全面积最小的是

一个四棱柱 ,则 a 的取值范围是

． 03

3，则其体积为

(06 春 ) 正四棱锥底面边长为 4，侧棱长为

. 16

3

(06 文) 若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没

有公共点”的 （ A）充分非必要条件 （ C）充分必要条件

（ ）

（B）必要非充分条件

（D）既非充分又非必要条件 A

(06 理) 若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面

[答]（ 上”的

，

(07 文)

） A

（A ）充分非必要条件； （B ）必要非充分条件； （ C）充要条件；（D ）非充分非必要条件．

如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， ACB 90

C1

B1

AA1 2，AC BC

大小是

1，则异面直线 A1 B 与 AC 所成角的

（结果用反三角函数值表示） ．

A1

C

B

A

2

arccos

6 6

已知 ， 是两个

(07 理 ) 在平面上，两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种．

相交平面，空间两条直线

l1， l2 在 上的射影是直线

s1， s2 ， l1， l2 在 上的射影是

直线 t1，t 2 ．用 s1 与 s2 ， t1 与 t 2 的位置关系，写出一个总能确定 面直线的充分条件：

l1 与 l 2 是异

． s1 // s2 ，并且 t1 与 t 2 相交（ t1 // t 2 ，并且 s1

与 s2 相交）

(01 春 ) 用一块钢锭浇铸一个厚度均匀， 且全面积为 2 平方米的正四棱锥形有盖容器 （如图），设容

器的高为 h 米，盖子边长为 a 米．

（ 1）求 a 关于 h 的函数解析式； （ 2）设容器的容积为 V 立方米，则当 h 为何值时， V 最大？求出 V 的最大值．

（求解本题时，不计容器的厚度）解（ 1）设 h' 为正四棱锥的斜高

a2

由已知

4 1 h' a 2,

2

h2

1 a2

h'2 ,

4

1

解得 a

(h

h 2 1

2

0)

（2） V

1 ha3

3(h2 h

1)

(h 0)

易得 V

1

3(h 1)

h

2

因为 h

1

h

1 h

，所以 V 2

1 6

h

等式当且仅当 h

1 ，即 h 1 时取得。 h

故当 h 1 米时， V 有最大值， V 的最大值为

1 立方米． 6

(01 春) AF

在长方体 ABCD

A 1B1C1D1 中，点 E 、 F 分别 BB1 、 DD1 上，且 AE A1B ，

A1D 。

3

（ 1）求证： A1C 平面 AEF ；

（ 2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角 成的角相等。

（或直角），则在 空间中有定理： 若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与这两个平面所

试根据上述定理，在 AB 4， AD 3，

AA1

5 时，求平面

AEF

与平面 D B BD 所成的

1 1

角的大小。（用反三角函数值表示） 证（ 1）因为 CB

平面 A1 B ，所 A1C 在平面 A1B 上的射影为 A1B

平面AB，得 AC AE ，

1

1

由 A B AE,AE

1

同理可证 A1C

AF

因为 A1C 所以 A1C

AF , A1C

平面 AEF

AE

解（ 2）过 A作 BD的垂线交 CD于 G， 因为 D1D

AG ，所以 AG

平面 D1B1 BD

4

设 AG 与 A1C 所成的角为 由已知，计算得 DG 9 ．

4

如图建立直角坐标系，则得点

，则 即为平面 AEF 与平面 D1 B1BD 所成的角．

A(0,0,0) ，

9 G ( ,3,0), A1 (0,0,5),C (4,3,0) ，

4 AG

{ ,3,0}, A C { 4,3, 5} ，

1

4

9

因为 AG 与 A1C 所成的角为

AG A1C

所以 cos

12 2

|AG| |A1C| arccos

25

12 2

25

由定理知，平面 AEF 与平面 CEF 所成角的大小为

arccos

12 2

25

(01) 在棱长为 a 的正方体

OABC－ O'A'B'C' 中， E、F 分别是棱 AB、BC上的动点， 且 AE=BF.

（ 1）求证： A'F ⊥ C'E；

（ 2）当三棱锥 B' －BEF 的体积取得最大值时，求二面角

B' － EF－ B 的大小 . （结果用反

三角函数表示）

（1）利用空间直角坐标系证明；

（ 2） arctan2

(02 春 ) 如图，三棱柱 OAB-O 1A 1B1，平面 OBB 1O1

⊥平面 OAB ，O1OB=60°，∠AOB=90 °，且 OB= OO1 =2，OA= √3。

求：（１）二面角Ｏ１－ＡＢ－Ｏ大小；

5

（２）异面直线Ａ１Ｂ与ＡＯ１所成角的大小。

（上述结果用反三角函数值表示）

[ 解] （1）取 OB 的中点 D，连结 O1D，则 O1D⊥ OB。

∵平面 OBB1O1⊥平面 OAB ，

∴O1D⊥平面 OAB

过 D 作 AB 的垂线，垂足为 E，连结 O1E，则 O1E⊥AB 。

∴∠ DEO1 为二面角 O1-AB-O 的平面角。

由题设得 O1 D=√3，

∴DE=DBsin ∠OBA=√21/7.

∵在 Rt△O1DE 中， tg∠ DEO1=√7,

∴∠ DEO1 =arctg 7√.即二面角 O1 -AB-O 的大小为 arctg 7√.

(2)以 O 点为原点，分别以 OA 、OB 所在直线为 x、 y 轴、过 O 点且与平面

AOB 垂直的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系，则

O（0，0，0），O1（0，1，√3），A（√3，0，0），A1（√3，1，√3），B（0，2，0）。

设异面直线 A1B 与 AO1 所成角为 α，

(02)如图，在直三棱柱 ABO

A' B'O' 中， OO' 4 ，OA 4,OB 3,

AOB

D

90 ，D是

A’

O’

线段 A'B'的中点， P 是侧棱 BB' 上的一点，若 OP 示） [解法一 ]

OP 与底面 AOB 所成角的大小。 （结果用反三角函数值

BD ，求

表

B’

如图 ,以 O 点为原点建立空间直角坐标系 由题意，有 B(3,0,0), D( ,2,4)

3

P

O

A

2

B

设 P(3,0, z) ，则

z O’ D

B’

A’

BD {

3

,2,4}, OP 2

{ 3,0, z}

6

因为 BD

OP

P

O

A

y

B x

BD OP

z

9 2

4z 0

9

8

因为 BB' 平面 AOB

POB 是 OP 与底面 AOB 所成的角

O’

A’

D

tg POB

3 8

E

POB

arctg

3

B’

8

P

O

A [解法二 ]取 O'B' 中点 E，连结 DE 、 BE ，则

DE 平面 OBB'O'

BE 是 BD 在平面 OBB' O' 内的射影。 又因为 OP BD

由三垂线定理的逆定理，得 OP BE

在矩形 OBB'O' 中，易得 Rt OBP ~ Rt BB'E ,得 BP BP

B' E BB'

（以下同解法一）

B

OB

9 8 (03 春 ) 已知三棱柱 ABC

A1B1C1 ，在某个空间直角坐标系中， A1

B1

AB {

m

,

3m2

,0}, AC { m,0,0}, AA1

{ 0,0, n}. 其中 m, n 0

C B

2 (1) 证明：三棱柱 ABC A1B1C1 是正三棱柱； (2) 若 m （2）

A

2n ，求直线 CA1与平面 A1 ABB1 所成角的大小 .

1

1 1

(03)已知平行六面体 ABCD — A B C D

4

中， A A ⊥平面 ABCD ，AB=4 ，AD=2. 若 B D⊥ BC，

1

1

1

直线 B 1D 与平面 ABCD 所成的角等于 30°，求平行六面体 ABCD — A 1B1C1D1 [解 ]连结 BD ，因为 B 1B ⊥平面 ABCD ，B 1D ⊥BC ，所以 BC ⊥ BD.

在△ BCD 中， BC=2 ， CD=4 ，所以 BD= 2 3 .

又因为直线 B 1D 与平面 ABCD 所成的角等于 30°，所以 ∠ B 1DB=30 °，于是 BB 1=

的体积 .

1

3

BD=2.

故平行六面体 ABCD —A 1B 1C1 D1 的体积为 SABCD ·BB 1= 8 3 .

7

(04 春) 如图 ,点 P 为斜三棱柱 ABC-A 1B1C1 的侧棱 BB 1 上一点 ,PM ⊥BB 1 交 AA 1 于点

M,PN ⊥BB 1 交 CC1 于点 N. (1) 求证： CC1⊥ MN;(6 分 ) (2) 在任意 △ DEF 中有余弦定理：

DE 2=DF 2+EF 2－ 2DF·EFcos∠DFE. 拓展到空间 ,类比三角形的余弦定理 三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式 ,写出斜三棱柱的 ,并予以证明 .(8 分 )

证明： (1) ∵ CC1∥ BB 1, ∴ CC1⊥ PM, CC 1⊥ PN,且 PM、 PN 相交于点 P,

∴CC1 ⊥平面 PMN. ∵MN

2

ABBA

平面 PMN, ∴ CC1⊥ MN.

2

BCC B

1 1

解： (2) 在钭三棱柱 ABC-A 1B 1C1 中,有

S

=S

+S

2

1 1

ACC A

－ 2S BCC B S ACC1 A1 cos α

1 1

1 1

其中 α为平面 CC1B1B 与平面 CC1A1A 所组成的二面角 ∵ CC1⊥平面 PMN,

∴平面 CC1B1B 与平面 CC1A 1A 所组成的二面角为∠ MNP 在 △ PMN 中 ,PM2=PN 2+MN 2－ 2PN·MNcos ∠ MNP,

2

2

2

PM2·CC 1 = PN 2·CC 1 + MN 2·CC 1 － 2(PN·CC1)(MN ·CC1) cos∠ MNP

由于 S BCC1B1 = PN ·CC 1, S ACC1A1 = MN·CC1, S ABB1 A1 =PM·BB 1 及 CC1=BB 1,

则

ABBA

1 1

S

2

=S

2

BCC B

1 1

+S

2

1 1

－2S ACC A

BCC B S ACC1 A1 cos α

1 1

(04)某单位用木料制作如图所示的框架 , 框架的下部是边长

分别为 x、y(单位： m)的矩形 .上部是等腰直角三角形 . 要求

2

框架围成的总面积 8cm. 问 x、y 分别为多少 (精确到 0.001m) 时用料最省 ?

【解】由题意得

=

xy+

2

1 4

x =8,

8 ∴ y= x2 4 x

(08 x

2 ).

x 4

于定 , 框架用料长度为 l=2x+2y+2(

2 2 2 )x=

x )=( + 2 )x+≥4 6

3 2

16 x

4 2 .

当 (

3 2

+

16 x

,即 x=8 － 4

2 时等号成立 .

此时 , x ≈ 2.343,y=22 ≈ 2.828. 故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时, 用料最省 . (05 春) 已知正三棱锥 P ABC 的体积为 72

3 ，侧面与底面所成的二面角的大小为60 .

8

（ 1）证明： PA BC ；

（ 2）求底面中心 O 到侧面的距离

则 AD

P

[证明 ]（1）取 BC 边的中点 D ，连接 AD 、 PD ，

BC，PD

BC，故 BC

4 分

平 面

APD .

∴

A

C

O

6

PA BC.

[解]（2）如图， 所成二面角的平面角 .

过点O作OE 是点 O 到侧面的距离 .

由（ 1）可知平面 PBC 平面 APD ，则

PDA 是侧面

B

分

与底面

PD, E 为垂足，则 OE 就

9 分

设 OE 为 h ，由题意可知点

O在 AD上，

∴

PDO 60 ， OP 2h . OD 2h , 3

∴ SABC

BC

4h , 11 分

31

(4h) 2 4

2

2

4 3h ，

4 3h 2h h 3 ，∴ h 3 . 3 3

即底面中心 O 到侧面的距离为 3.

∵723

所成角的大小为 60°,求异面直线 B1D 与 MN

8 3

(05 文 )已知长方体 ABCD-A 1 B1C1D1 中 ,M 、 N 分别是 BB 1 和 BC 的中点 ,AB=4,AD=2.B 1D 与 平面 ABCD 值表示 )

所成角的大小 .(结果用反三角函数

[解 ]联结 B 1C,由 M 、 N 分别是 BB 1 和 BC 的中点 ,得 B1C∥ MN,

∴∠ DB C 就是异面直线 B D 与 MN 所成的角 .

1

1

联结 BD, 在 Rt△ ABD 中 ,可得 BD=2 5 ,又 BB ⊥平面 ABCD,

∠BDB是BD与平面

1

1

1

ABCD 所成的角 , ∴∠ B 1DB=60°.

在 Rt △ B1BD 中 , B1 B=BDtan60 °=2 15 ,

又 DC ⊥平面 BB 1C1C, ∴ DC ⊥ B1C,

在 Rt △ DB1 C 中 , tan∠ DB 1C=

DC

DC

1 2

,

B1C

∴∠ DB 1C=arctan .

BC 2 BB12

1 2

即异面直线 B 1D 与 MN 所成角的大小为 (05 理 ) 已知直四棱柱ABCD-A B C D

1

arctan .

1

1

中, AA 2 =2

底面 ABCD 是直角梯形

,∠A 为直

1 1 1

角,AB ∥ CD,AB=4,AD=2,DC=1,. 求异面直线 BC 1 与 DC 所成角的大小 .(结果用反三角函数值

9

表示 )

[解 ]由题意 AB ∥ CD,∴∠ C1BA 是异面直线 BC1 与 DC 所

成的角 .连结 AC 1 与 AC, 在 Rt△ ADC 中 ,可得 AC=

5 .

又在 Rt△ACC 1 中,可得 AC 1=3.

在梯形 ABCD 中 ,过 C 作 CH∥AD 交 AB 于 H, 得∠ CHB=90° ,CH=2,HB=3, ∴ CB= 13 .

又在 Rt△CBC 1 中,可得 BC1= 17 ,

在 △ ABC

3 17 1 中 ,cos∠C3 17 1BA=

,∴∠ C1 BA=arccos

17

17

异面直线 BC1 与 DC 所成角的大小为

arccos

3 17

17

另解 :如图 ,以 D 为坐标原点 ,分别以 DA 、 DC 、 DD 1 所在 直线为 x、 y、 z 轴建立直角坐标系 . 则 C1(0,1,2),B(2,4,0), ∴ BC1 =(-2,-3,2),

CD =(0,-1,0), 设 BC1 与 CD 所成的角为 θ,

则 cosθ=

BC1 CD

17

=

3 , θ = arccos

3 17 .

BC1 CD

17

17

异面直线 BC 1 与 DC 所成角的大小为

arccos

3 17

17

(06 春 ) 在长方体 ABCD A1 B1 C1 D1 中，已知 DA=DC=4,DD 成角的大小 (结果用反三角函数表示 ). [解法一 ]连接 A 1D

∵A 1D∥ B1C,∴∠ BA 1D 是异面直线A1B

角

4 分

连接 BD, 在 △ A 1DB 中 ,AB=A 1D=5,BD=4

2 6分

1

A1B2 A1D2 BD 2

cos∠ BA D= 2 A1B A1D

=

25 25 32 =

9 10 分

2 5 5

25 ∴异面直线 A

9 1B 与 B 1C 所成角的大小为

arccos

25

10

=3,求异面直线 A 1B 与 B1C 所

与

B1C所成的

12 分

1

[ 解法二 ]以 D 为坐标原点 ,DA 、 DC 、 DD 1 所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴 ,建立空间直角坐标 系 .

2分

则 A 1(4,0,3) 、 B(4,4,0) 、 B 1(4,4,3) 、C(0,4,0), 得 A1 B =(0,4,-3), B1C =( -4,0,- 3) 设 A1 B 与 B1 C 的夹角为 θ,

6分

cos θ=

A1B B1C A1B B1C

=

9 25

10 分

∴异面直线 A 1B 与 B 1C 所成角的大小为

arccos

9 25

(06 文) 在直三棱柱 ABC ABC 中，

ABC 90o, AB

BC 1.

（1）求异面直线 B1C1 与 AC 所成的角的大小；

（ 2）若 A1C 与平面 ABCS 所成角为 45o ，求三棱锥 A1 ABC 的体积

解： (1) ∵ BC ∥ B 1C1, ∴∠ ACB 为异面直线 B 1C1 与 AC 所成角 (或它的补角 )

∵∠ ABC=90°, AB=BC=1, ∴∠ ACB=45°, ∴异面直线 B1C1 与 AC 所成角为 45°. (2) ∵ AA 1⊥平面 ABC,

∠ACA 1 是 A 1C 与平面 ABC 所成的角 , ∠ ACA =45 °. ∵∠ ABC=90° , AB=BC=1, AC= 2 , ∴AA 1=

2 .

∴三棱锥 A 1-ABC 的体积 V=

1 3

S△ABC ×AA 1=. 6 2

(06 理 )在四棱锥 P－ABCD 中，底面是边长为

与BD 2 的菱形，∠ DAB ＝ 60 ，对角线 AC

相交于点 O，PO⊥平面 ABCD ， PB 与平面 ABCD 所成的角为 60 ． （1）求四棱锥 P－ABCD 的体积； （2）若 E 是 PB 的中点，求异面直线 DE 与 PA 所 成角的大小（结果用反三角函数值表示）

P

[ 解 ]（ 1）在四棱锥 P-ABCD 中 ,由 PO⊥平面 ABCD, 得

E

A

B

D

∠PBO 是 PB 与平面 ABCD 所成的角 ,

∠PBO=60° .

在 Rt△ AOB

PO⊥ BO,

中 BO=ABsin30° =1, 由

O

C

于是 ,PO=BOtg60°= 3 ,而底面菱形的面积为 2 3 .

11

∴四棱锥 P-ABCD 的体积 V=

1

×2

3× 3=2.

3

（ 2）解法一： 以 O 为坐标原点 ,射线 OB、 OC、

OP 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴建立 空间直角坐标系 .

在 Rt△ AOB 中 OA= 3 ,于是 ,点 A 、 B、 D、 P 的坐标分别是 A(0, － 3 ,0), B (1,0,0), D (－ 1,0,0),

E是 PB的中点 ,则 E(

P (0,0, ,0,

3 ).

1 2

3 2

) 于是 DE =(

3 2

,0,

3 2

), AP =(0,

3 , 3 ).

3

9 4

2

3 4

设 DE与 AP 的夹角为 θ,有 cosθ=

3 3

2 , θ =arccos 2 , 4 4

∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是

arccos

2 ； 4

解法二： 取 AB 的中点 F,连接 EF、 DF.

由 E 是 PB 的中点 ,得 EF∥ PA， ∴∠ FED 是异面直线 DE 与 PA 所成角 (或

它的补角 )，

在 Rt△ AOB 中 AO=ABcos30° = 3 =OP， 于是 , 在等腰 Rt△ POA 中， PA= 6 ，则 EF=

6 . 2

在正 △ ABD 和正 △PBD 中,DE=DF=

3 ，

cos∠ FED=

1

EF 2

6

DE

4 = 3 4

2

∴异面直线 DE 与 PA 所成角的大小是

arccos

2 4

.

(07 春) 如图，在棱长为

2 的正方体 ABCD ABCD 中， E、F 分别是 AB 和 AB的中点，

(结果用反三角函数值表示）

求异面直线 A F 与 CE 所成角的大小 [ 解法一 ] 如图建立空间直角坐标系 . 由题意可知 A ( 2, 0,

2 分

2 ), C(0, 2, 0), E(2, 1, 2), F(2, 1, 0) . 1, 2 ), CE ( 2,

AF (0,

1, 2 ) .

6 分

设直线 A F 与 CE 所成角为

，则

12

A F CE

cos

5 5 3

5 3

.

10 分

A F CE

arccos 5 ，

3

5

即异面直线 A F 与 CE 所成角的大小为

arccos. 12 分

3

[解法二 ] 连接 EB，

2 分

AE//BF，且 AE BF ， A FBE 是平行四边形，则 AF//EB，

6 分

异面直线 A F 与 CE 所成的角就是 CE 与 EB 所成的角 . 由 CB

平面 ABB A ，得 CB

BE . BE

在 Rt △ CEB 中， CB 2, 5 ，则

tan CEB

2 5 ，

5

10 分

CEB arctan.

2 5 5

异面直线 A F 与 CE 所成角的大小为 arctan

2

5 . 5

(07 文) 在正四棱锥 P 正四棱锥 P 解：作 PO

ABCD 中， PA 2 ，直线 PA 与平面 ABCD 所成的角为 60 ，求

ABCD 的体积 V ．

P

平面 ABCD ，垂足为 O ．连接 AO ， O 是

正方形 ABCD 的中心， PAO 是直线 PA 与平面

ABCD 所成的角．

D

C

PAO ＝ 60 ， PA 2 ．

， AB

PO

3 ．

2 ，

1 3

AO 1

V

1 POgSABCD 3

3

2

2 3 3

A

B

．

17．解： 由题意，得 cos B

3

， B 为锐角， sin B

5

4 ， 5

sin A sin( π B

c 由正弦定理得

C ) sin 3π B

4

10 7

，

7 2 ， 10

S 1 acgsin B

2 1 2 10 2 7

4 8 ．

5 7

13

(07 理) 如图，在体积为 1 的直三棱柱 ABC A1 B1C1 中， ACB 90 , AC BC 1．求

．

直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 解法一： 由题意，可得体积

V

CC1 gS△ ABC

CC1 g gAC gBC

1 2

1 2

CC1

1 ，

AA1 CC1 2 ．

连接 BC1． Q AC1 1 B1C1， AC1 1CC1，

A1C1 平面 BB1C1C ，

A1 BC1 是直线 A1B 与平面 BB1 C1C 所成的角．

BC1

CC1 2

BC 2

A1C1

5 ，

1 5

，则

tan A1 BC1

A1 BC1 ＝ arctan

5 5

．

BC1

即直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的大小为

arctan

5 5

．

解法二： 由题意，可得

z C1

B1

体积 V

1 1

CC1 gS ABC CC1 g gAC gBC CC1

1，

2

2

CC1 2 ， A1

如图，建立空间直角坐标系．

得点 B(0，1，0) ， ，，

C1 (0，0，2) ， A1 (1，0，2) ． 则 A1 B ( 1 1 2)

uuur ，

C

x

1

B y 平面

BB1C1C

n (100)

的法向量为 r ，， ．

A

，

设直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成的角为

， A B 与 n 的夹角为

则 cos

uuur r A1 Bgn uuur r A1B g n

6 ， 6

sin

| cos |

6 , 6

arcsin 6 ， 6

即直线 A1B 与平面 BB1C1C 所成角的大小为 arcsin

6 6

．

17．解： 由题意，得 cos B

3

， B 为锐角， sin B

5

14

4 ， 5

sin A sin( π B

C )

sin

3π

4

B

7 2 ，

10

由正弦定理得 c

10 ， 7

S 1 acgsin B 1 2

2 10 4 8 ． 7

5 7

2

15