14.2乘法公式

14．2.1 平方差公式

相同，不能用平方差公式计算，错误；C中(－

1．掌握平方差公式的推导和运用，以

x－y)(y－x)＝(x＋y)(x－y)，含x的项符

及对平方差公式的几何背景的理解．(重点)

2．掌握平方差公式的应用．(重点)

号相同，含y的项符号相反，能用平方差公

式计算，正确；D中(x＋y)(－x－y)＝－(x

＋y)(x＋y)，含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；故选C.

方法总结：对于平方差公式，注意两个多项式均为二项式且两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数．

【类型二】 直接应用平方差公式进行计算 利用平方差公式计算： (1)(3x－5)(3x＋5)； (2)(－2a－b)(b－2a)； (3)(－7m＋8n)(－8n－7m)；

2

(4)(x－2)(x＋2)(x＋4)．

解析：直接利用平方差公式进行计算即可．

解：(1)(3x－5)(3x＋5)＝(3x)－5＝2

9x－25；

22

(2)(－2a－b)(b－2a)＝(－2a)－b＝22

4a－b；

2

(3)(－7m＋8n)(－8n－7m)＝(－7m)－222

(8n)＝49m－n；

222

(4)(x－2)(x＋2)(x＋4)＝(x－4)(x4

＋4)＝x－16.

2

2

一、情境导入

1．教师引导学生回忆多项式与多项式相乘的法则．

学生积极举手回答．

多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．

2．教师肯定学生的表现，并讲解一种特殊形式的多项式与多项式相乘——平方差公式．

二、合作探究

探究点：平方差公式

【类型一】 判断能否应用平方差公式进行计算 下列运算中，可用平方差公式计

算的是( )

A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y) C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)

解析：A中含x、y的项符号相同，不能用平方差公式计算，错误；B中(－x＋y)(x－y)＝－(x－y)(x－y)，含x、y的项符号

方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：(1)左边是两个二项式

相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；(2)右边是相同项的平方减去相反项的平方；(3)公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．

【类型三】 平方差公式的连续使用 求2(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)

的值．

解析：根据平方差公式，可把2看成是(3－1)，再根据平方差公式即可算出结果． 解：2(3＋1)(32

＋1)(34

＋1)(38

＋1)＝

(3－1)(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(3

2

－1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)＝(34－1)(34

＋

1)(38＋1)＝(38－1)(38＋1)＝316

－1.

方法总结：连续使用平方差公式，直到不能使用为止．

【类型四】 应用平方差公式进行简便运算 利用平方差公式简算： (1)20×19；(2)13.2×12.8.

解析：(1)把20×19写成(20＋)×(20－)，然后利用平方差公式进行计算；(2)把13.2×12.8写成(13＋0.2)×(13－0.2)，然后利用平方差公式进行计算．

解：(1)20×19＝(20＋)×(20－)＝400－＝399；

(2)13.2×12.8＝(13＋0.2)×(13－

0.2)＝169－0.04＝168.96.

方法总结：熟记平方差公式的结构并构造出公式结构是解题的关键．

【类型五】 化简求值 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)

－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2.

解析：利用平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y的值代入进行计算即可得解．

解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2

＝5x2－5y2.当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－

5×22

＝－15.

方法总结：利用平方差公式先化简再求值，切忌代入数值直接计算．

【类型六】 利用平方差公式探究整式的整除性问题 对于任意的正整数n，整式(3n＋

1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的倍数吗？

解析：利用平方差公式对代数式化简，再判断是否是10的倍数．

解：原式＝9n2

－1－(9－n2

)＝10n2

－10＝10(n＋1)(n－1)，∵n为正整数，∴(n－1)(n＋1)为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．

方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，要注意这方面的问题．

【类型七】 平方差公式的实际应用 王大伯家把一块边长为a米的正

方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？

解析：根据题意先求出原正方形的面积，再求出改变边长后的面积，然后比较二者的大小即可．

解：李大妈吃亏了．理由：原正方形的

面积为a2

，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16，∵a2＞a2

－16，∴李大妈吃亏了．

方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简解决问题．

【类型八】 平方差公式的几何背景 如图①，在边长为a的正方形中

剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是．

解析：∵左图中阴影部分的面积是a2

－b2

，右图中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，∴a2

－b2

＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为：(a＋b)(a－b)＝a2

－b2

.

方法总结：通过几何图形之间的数量关系可对平方差公式做出几何解释．

三、板书设计

平方差公式

文字语言：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差

符号语言：(a＋b)(a－b)＝a2－b2

学生通过“做一做”发现平方差公式，同时通过“试一试”用几何方法证明公式的正确性．通过这两种方式的演算，让学生理解平方差公式．本节教学内容较多，因此教材中的练习可以让学生在课后完成．