第２Ｏ卷第２期 ２０１７年３月 高等数学研究 Ｖｏ１．２０，Ｎｏ．２ Ｍａｒ．。２Ｏ１７ ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ Ｃ０ＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１００８－１３９９．２０１７．０２．００５ 拉格朗日乘数法求解极值点的讨论 刘剑锋，李宏伟，刘智慧 （中国地质大学数学与物理学院，湖北武汉４３００７４） 摘要 文中对拉格朗日乘数法极值点的求法进行了补充说明． 关键词 约束条件；拉格朗日乘数法；极值点 中图分类号０１３ 文献标识码 Ａ 文章编号 １００８—１３９９（２０１７）０２—００１３—０２ Ｄｉｓｃｕｓｓｉｏｎ ｏｎ Ｌａｇｒａｎｇｅ Ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ Ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ Ｓｏｌｖｉｎｇ Ｅｘｔｒｅｍｅ Ｖａｌｕｅ Ｐｏｉｎｔ Ｐｒｏｂｌｅｍｓ ＬＩＵ Ｊｉａｎｆｅｎｇ，Ｌｉ Ｈｏｎｇｗｅｉ，ＬＩＵ Ｚｈｉｈｕｉ （Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ａｎｄ Ｐｈｙｓｉｃｓ，Ｃｈｉｎａ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｇｅｏｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｗｕｈａｎ ４３００７４，ＰＣＲ） Ａｂｓｔｒａｃｔ Ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｕｓｅｓ ｅｘａｍｐｌｅｓ ｔｏ ｅｘｐｌａｉｎ ｓｏｍｅ ｉｎｔｒｉｇｕｉｎｇ ｆｅａｔｕｒｅｓ ｏｆ ｔｈｅ Ｌａｇｒａｎｇｅ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ ｍｅｔｈｏｄ ｉｎ ｓｏｌｖｉｎｇ ｔｈｅ ｅｘｔｒｅｍｅ ｖａｌｕｅ ｐｏｉｎｔ ｐｒｏｂｌｅｍ． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ ｃｏｎｓｔｒａｉｎｔｓ，Ｌａｇｒａｎｇｅ ｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒ ｍｅｔｈｏｄ，ｅｘｔｒｅｍｅ ｖａｌｕｅ ｐｏｉｎｔ． 拉格朗日乘数法是一种良好的求解条件最值 的数学工具，本文就极值点满足的方程进行探讨． 我们首先来考虑如下的问题： （＊）寻求 —ｆ（ｘ， ） （１） （２） ［１］，假定（ｚ。，Ｙ。）为问题（＊）的一个极值点，ｆ（ｘ， ）和 （ ， ）在（ｚ。，Ｙ。）的某一邻域内具有连续的一 阶偏导数．当 ，（ 。，Ｙ。）≠０时，通过求解： ｆ （ ０， ）＋ （ 。， 。）＝＝＝ｏ （ｚｏ，Ｙｏ）一０ ｛ｌ （ ｚｏ，Ｙ０）＋ （ｚｏ， 。）一０ ｋＯ） 可以求出函数 —ｆ（ｘ， ）的可能的极值点了，同时 引进了拉格朗日函数 Ｌ（ｘ， ）一ｆ（ｘ， ）＋Ｘｐ（ｘ， ） （４） 在条件 （ｚ， ）一Ｏ 下的最值问题． 并且假定问题（＊）满足如下的条件： Ｉ．ｚ—ｆ（ｘ， ）的定义域包含了曲线Ｃ： （ｚ， ） 我们发现方程组（３）是基于 （ｚ。，Ｙ。）≠０得到 一０上的点集．曲线Ｃ上任意点（除开端点）都存在 某个领域，使得ｆ（ｘ， ）和 （ｚ， ）在该邻域内具有 连续的一阶偏导数． 的．那么，如果（ｚ。，Ｙ。）为问题（＊）的一个极值点但 （ｚ。， 。）一０并且 （ｚ。，Ｙ。）≠０时，又如何求得 （１ｚ０，Ｙｏ）？ 对于此问题，我们首先讨论极值点，按照文 如果 （ ｏ，Ｙｏ）一０，但 （ｚ。，Ｙ。）≠０，同时 ｆ（ｘ， ）和 （ｚ， ）在（ｚ。，Ｙ。）的某一邻域内具有连 续的一阶偏导数．这样由隐函数存在定理可知（２）确 收稿日期：２０１６一Ｏ４—２１ 修稿日期：２０１７—０１—０４ 基金项目：高等学校大学数学教学研究与发展中心教学改革项目， 湖北省教育厅教学研究项目（２０１２１３９，２０１２１４２），中国地 质大学（武汉）教学研究项目（２０１６Ａ０５，２０１６Ａ５２， ２０１６Ａ３２， 一２０１６２８） 定了一个连续且具有连续导数的函数ｚ— （ ）．将其代 入到（１）式中得到一个一元函数 一厂（ （ ）， ）．若ｚ— ｆ（ｘ， ）在（Ｘｏ，Ｙｏ）处取得极值，就相当于ｚ一厂（ （ ），Ｙ） 在 一 处取得极值，这样由一元函数取得极值的必 要条件可以知道 作者简介：刘剑锋（１９７８一），男，湖南茶陵人，讲师，从事信号处理研 究，Ｅｍａｉｌ：ｌｉｕｊｉａｎｆ２０６＠１６３．ｃｏｍ 李宏伟（１９６５一），男，湖南泪罗人，教授。从事信息处理研 究，Ｅｍａｉｌ：ｈｗｌｉ＠ｃｕｇ．ｅｄｕ．ｃｎ 考 一 ， ）考『Ｙ＝Ｙｏ＋ｆｙ（ｘ０，ｙ０）＿０（５） 再由（２）利用隐函数的求导公式： 刘智慧（１９７９一），女，湖南沅江人，副教授，从事信息处理 研究，Ｅｍａｉｌ：ｚｈｈｌｉｕ＠ｃｕｇ．ｅｄｕ．ｃｎ １ ｌｌ一一 ， 、 （＼ ，６） １４ 高等数学研究 ２０１７年３月 将（９）式代入（８）式得 ｌＬ （ｚ， ）一２（ｙ一１）＋ （一３ｙ。（１－＋－ｓｉｎ ）＋一 一￣－ｆｙ（ 一一 （ＸＯ￣ＹＯ） （７） （８） 设 ｛ ｃｏｓ １￣．ｙ２。 可知： ）＝。 Ｘｏ，Ｙｏ， 由式（２）以及式（７）一（８）得 ｆ （ ｏ，Ｙｏ）＋ 【 （ ｏ，Ｙ０）一０ （ｚ， ）一ｘ３ ｓｉｎ再１ 一 。（１＋ｓｉｎ南）一０ （０，０）不是上面方程的解．另一方面，由 （ ， ）一０ （ｚｏ，Ｙｏ）一０ ｛ （ｚ０，Ｙｏ）＋ （Ｘｏ，Ｙｏ）一０ （９） 我们发现方程组（３）和方程组（９）关于（ｚ。，Ｙ。） 是同解的．当 （ 。，Ｙｏ）与 （ｚ。，Ｙ。）不同时为０ Ｙ ．／ １ 、 壶 』 一 一 ｎＩ丽时，极值点（ｚ。， ）总可以由方程组（３）求出来． 那么当 （ｚ。，Ｙ。）与 （ 。，Ｙ。）同时为０时，极 值点（ 。，Ｙ。）还可以由方程组（３）求出来吗？下面我 们将给出一个例子，来说明这个问题． 例１ 求ｆ（ｚ，Ｙ）一（ｚ＋１） ＋（ 一１）。在 这说明曲线 （ｚ， ）一０上的点落在直线３，一ｚ及其 下方区域．由于原问题可以看作求曲线 （ｚ， ）一０ 上的点到点（一１，１）的最小距离的平方值．显然曲 线 （ｚ， ）一０上的点到点（一１，１）的距离不会小于 ｅ（ｘ， ）一ｚ。－－ｙ。一０的条件下的最小值． 分析 （ｚ， ）＝＝：ｚ。～Ｙ。一０∞ — ，问题等价 于求ｆ（ｘ， ）一（ ＋１） ＋（ 一１） 一２ｘ。＋２的最 小值．这样原问题的极值点为（０，０）．对应的最小值 点（一１，１）到直线 — 的距离．根据点到直线的距 离公式，点（一１，１）到直线 — 的距离为 显然这个距离是点（－－１，１）到 为２．另一方面，我们观察到： 直线Ｙ—ｚ上的点（Ｏ，０）的距离．而点（Ｏ，０）在曲线 ｆ （０，０）一３ｘ。Ｉ（ ）：（０．。）一０ （ ， ）一０上．所以原问题的极值点为（０，０）． 综上所述，本文讨论了以下两个问题： ｌ （ｏ，ｏ）一一３ Ｉ（ ，ｙ） （０，ｏ）一０ 而对应的式（３）为： ｆＬ （ｚ， ）一２（ｚ＋１）＋３Ａｘ 一０ Ｌ （ｚ， ）一２（ｙ－－１）一３ 一０ １．补充说明了如果 （ ｏ，Ｙｏ）一Ｏ，但 （ｚ。，Ｙ。） ≠０，同时ｆ（ｘ， ）和 （ｚ， ）在（ｚ。，Ｙ。）的某一邻域 内具有连续的一阶偏导数时，问题（＊）的极值点满 ｌ 例２求 Ｌ （ｚ， ）一ｚ。－－ｙ。一０ 足的方程（９）与（３）是等价的．这就说明，只要 （ｚｏ，Ｙｏ）与 （ｚ。， 。）至少有一个不为０的情况 下，极值点都可以通过（３）求出来． ２．通过一个例子说明，当 （Ｘｏ，Ｙｏ）与 （Ｘｏ，Ｙｏ） 都为０时，极值点就可能无法通过求解方程（３）得到 此时（０，０）并不是上面方程的解． ｆ（ｘ， ）一（ｚ＋１）。＋（ 一１）。 在 ｃｚ， ￣－－Ｘ３ Ｓｉｎ（南）一 。（ ＋ｓｉｎ（南））一。 了．而其求解应该根据具体问题具体分析了． 的条件下的最小值． 分析根据式（３）有： 因此，在求解可能的极值点时，还需要考虑 （ｚ， ）与 （ｚ， ）同时为０的点． 参考文献 Ｌ （ ， ）＝２（ｚ＋１）＋ （３３２２ Ｓｉｎ Ｆ１ 一一 一Ｘ３ ＣＯＳ南 ［１］同济大学数学教研室．高等数学：下册［Ｍ］．７版．北 （上接第１２页） 间的联系如何？如果把题目条件加强会如何，减弱 呢，逆命题成立吗？此题有没有几何意义？……只 面积的平面图形），可采用截面法．而选择投影法 时，则要优先选择易于积分的次序，其次考虑积分 区域的简单程度，确定向哪个平面投影． 有不断深入思考、学习，才能取得更大进步． 参考文献 伤十指不如断其一指，练习贵在精，而不在于 多．每做一道题，应该多问几个为什么．例如此题还 有没有其它解法，涉及到哪些知识点，这些知识点 Ｅｌｉ同济大学数学系．高等数学：下册［Ｍ］．６版．北京：高 等教育出版社，２００７：１５９