2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小
中组）
一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）
1．（10分）两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由（ ）拼成． A．两个锐角三角形 B．两个直角三角形 C．两个钝角三角形
D．一个锐角三角形和一个钝角三角形
2．（10分）从1至10这10个整数中，至少取（ ）个数，才能保证其中有两个数的和等于10． A．4
B．5
C．6
D．7
3．（10分）小明行李箱锁的密码是由两个数字8与5构成的三位数．某次旅行，小明忘记了密码，他最少要试（ ）次，才能确保打开箱子． A．9
B．8
C．7
D．6
4．（10分）猎豹跑一步长为2米，狐狸跑一步长为1米．猎豹跑2步的时间狐狸跑3步．猎豹距离狐狸30米，则猎豹跑动（ ）米可追上狐狸． A．90 B．105 C．120 D．135
5．（10分）图中的八边形是将大长方形纸片剪去一个小长方形得到．则至少需要知道（ ）条线段的长度，才可以计算出这个八边形的周长．
A．4 B．3 C．5 D．10
6．（10分）一个数串219…，从第4个数字开始，每个数字都是前面3个数字和的个位数．下面有4个四位数：1113，2226，2125，2215，其中共有（ ）个
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不出现在该数串中． A．1
二、填空题（每小题10分，满分40分.）
7．（10分）计算1000﹣257﹣84﹣43﹣16= ．
8．（10分）已知动车的时速是普快的两倍，动车的时速提高25%即达到高铁的时速，高铁与普快的平均时速比特快快15千米/小时，动车与普快的平均时速比特快慢10千米/小时，则高铁和普快列车的时速分别是 千米/小时和 千米/小时．
9．（10分）《火星救援》中，马克不幸没有跟上其他5名航天员飞回地球，独自留在了火星，马克必须想办法生存，等待救援．马克的居住舱内留有每名航天员的5天食品和50千克非饮用水，还有一个足够大的菜园，马克计划用来种植土豆，30天后每平方米可以收获2.5千克，但是需要浇灌4千克的水，马克每天需要吃1.875千克土豆，才可以维持生存，则食品和土豆可供马克最多可以支撑多少天？
10．（10分）如图五角星中，位于顶点处的“华”、“罗”、“庚”、“金”、“杯”5个汉字分别代表1至5的数字，不同的汉字代表不同的数字．每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数．如果“杯”代表数字“1”，则“华”代表的数字是 或 ．
B．2
C．3
D．4
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2017年第二十二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试
卷（小中组）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题10分，共60分.以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.）
1．（10分）两个小三角形不重叠放置可以拼成一个大三角形，那么这个大三角形不可能由（ ）拼成． A．两个锐角三角形 B．两个直角三角形 C．两个钝角三角形
D．一个锐角三角形和一个钝角三角形
【分析】因为平角是180°，拼在一起的两个小三角形一定有两条边共线，这时能组成一个平角，所以两个角的和必须等于平角，据此解答即可．
【解答】解：因为拼在一起的两个小三角形一定有两条边共线，这时能组成一个平角，
A、因为两个锐角的和小于180度，所以，两个锐角三角形不可能拼成一个大三角形；
B、因为90°+90°=180°，所以两个直角三角形能拼成一个大三角形；
C、因为钝角+锐角有可能等于180°，所以两个钝角三角形可能拼成一个大三角形；
D、因为钝角+锐角有可能等于180°，所以两个钝角三角形可能拼成一个大三角形； 故选：A．
【点评】本题考查了图形的拼组，难点是把所求问题转化为哪两种角能拼成平角．
2．（10分）从1至10这10个整数中，至少取（ ）个数，才能保证其中有两个数的和等于10．
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A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】10个自然数有：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10；和是10的有（1，9）、（2、8）；（3、7）；（4、6）；这四组数据中的两个数相加的和是10，根据抽屉原理，考虑最差情况：取出6个数是：数字5、10和四组数据中的其中一个，再任意取出1个都会出现两个数的和是10，据此即可解答． 【解答】解：从1至10这10个整数中，和等于10的有： （1，9）、（2、8）；（3、7）；（4、6）；
考虑最差情况：取出6个数是：数字5、10和四组数据中的其中一个，再任意取出1个都会出现两个数的和是10， 即6+1=7（个），
答：至少取7个数，才能保证其中有两个数的和等于10． 故选：D．
【点评】完成本题首先要确定在前10个自然数中，相加为10的两个数有几组．
3．（10分）小明行李箱锁的密码是由两个数字8与5构成的三位数．某次旅行，小明忘记了密码，他最少要试（ ）次，才能确保打开箱子． A．9
B．8
C．7
D．6
【分析】三位数□□□，三个位置，考虑两种情况：（1）有1个5，2个8，则5的位置有3种；（2）有2个5，1个8，则8的位置有3种，所以共有3+3=6种，据此解答即可．
【解答】解：根据分析可得3+3=6（次） 答：他最少要试6次，才能确保打开箱子． 故选：D．
【点评】本题考查了排列组合知识，首先分类清楚然后根据加法原理解答即可．
4．（10分）猎豹跑一步长为2米，狐狸跑一步长为1米．猎豹跑2步的时间狐狸跑3步．猎豹距离狐狸30米，则猎豹跑动（ ）米可追上狐狸． A．90 B．105 C．120 D．135
【分析】猎豹跑2步的时间狐狸跑3步，即猎豹跑2×2=4米的时间狐狸跑1×
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3=3米．因为时间一定，速度比等于时间的反比，所以设这段时间为1秒，则猎豹的速度为4米/秒，狐狸的速度为3米/秒，然后用追及距离30米除以速度和就是追及时间，然后再乘猎豹的速度4米/秒即为所求．
【解答】解：设猎豹的速度为：2×2=4（米/秒），狐狸的速度为：1×3=3（米/秒），
30÷（4﹣3） =30÷1 =30（秒） 4×30=120（米）
答：猎豹跑动120米可追上狐狸． 故选：C．
【点评】本题考查了复杂的追及问题，关键是得到猎豹和狐狸的速度．
5．（10分）图中的八边形是将大长方形纸片剪去一个小长方形得到．则至少需要知道（ ）条线段的长度，才可以计算出这个八边形的周长．
A．4 B．3 C．5 D．10
【分析】把线段①平移到②的位置可以组成一个大长方形，这样就可以确定计算出这个八边形的周长需要知道几条线段的长度．
【解答】解：如上图，把线段①平移到②的位置可以组成一个大长方形， 大长方形的4条边，对边相等，所以只需知道相邻两条边的长度， ③=④，所以只需知道1条线段的长度，
所以求八边形的周长需要知道：2+1=3条线段的长度．
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故选：B．
【点评】本题考查了巧算图形的周长，关键是通过线段的平移，使图形变成易于解答的规则图形．
6．（10分）一个数串219…，从第4个数字开始，每个数字都是前面3个数字和的个位数．下面有4个四位数：1113，2226，2125，2215，其中共有（ ）个不出现在该数串中． A．1
B．2
C．3
D．4
【分析】根据题意可知219的数字和为2+1+9=12，那么下一个数字是结果的个位就是2，变成2192．接下来就按照枚举法找数字规律即可． 【解答】解：枚举法
219的数字和是12，接下来就是2 192数字和是12，接下来就是2 922的数字和是13，接下来就是3 223的数字和为7，接下来就是7 237的数字和为12，接下来的数2
以此类推数字为：2192237221584790651281102…
规律总结数字和的尾数呈现两奇数两个偶数的周期规律． 故选：C．
【点评】本题的关键是用枚举法找到数字规两奇数两偶数周期循环．枚举法应用于情况比较少的特殊情况．简单明了直接易懂问题解决．
二、填空题（每小题10分，满分40分.）
7．（10分）计算1000﹣257﹣84﹣43﹣16= 600 ． 【分析】根据减法的性质简算即可，a﹣b﹣c=a﹣（b+c）． 【解答】解：1000﹣257﹣84﹣43﹣16 =1000﹣（257+43）﹣（84+16 ） =1000﹣300﹣100 =700﹣100 =600
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故答案为：600．
【点评】完成本题要注意分析式中数据，运用合适的简便方法计算．
8．（10分）已知动车的时速是普快的两倍，动车的时速提高25%即达到高铁的时速，高铁与普快的平均时速比特快快15千米/小时，动车与普快的平均时速比特快慢10千米/小时，则高铁和普快列车的时速分别是 250 千米/小时和 100 千米/小时．
【分析】设普快的时速是x千米/小时，则动车的时速是2x千米/小时，高铁的时速是（1+25%）×2x=2.5x千米/小时，根据等量关系：高铁与普快的平均时速比特快快15千米/小时，动车与普快的平均时速比特快慢10千米/小时，即高铁与普快的平均时速比动车与普快的平均时速快25千米/小时，列出方程求解即可．
【解答】解：设普快的时速是x千米/小时，则动车的时速是2x千米/小时，高铁的时速是（1+25%）×2x=2.5x千米/小时，则
﹣
=15+10，
1.75x﹣1.5x=25 0.25x=25 0.25x÷0.25=25÷0.25 x=100 2.5x=2.5×100=250
答：高铁和普快列车的时速分别是250千米/小时和100千米/小时． 故答案为：250，100．
【点评】考查了百分数的实际应用，本难度较大，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，再求解．
9．（10分）《火星救援》中，马克不幸没有跟上其他5名航天员飞回地球，独自留在了火星，马克必须想办法生存，等待救援．马克的居住舱内留有每名航天员的5天食品和50千克非饮用水，还有一个足够大的菜园，马克计划用来种植土豆，30天后每平方米可以收获2.5千克，但是需要浇灌4千克的水，马克每天需
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要吃1.875千克土豆，才可以维持生存，则食品和土豆可供马克最多可以支撑多少天？
【分析】首先根据没有土豆的时候能够生存多少天，然后根据水的存储量计算出共能够有多少土豆，除以每天的吃的土豆就是天数．
【解答】解：6人的食物储备一个人可以生活5×6=30天．非饮用水储存50×6=300千克．
共可以收获的土豆300÷4×2.5=187.5（千克）． 共可以生存187.5÷1.875=100（天） 100+30=130（天）
答：可以供马克生活130天．
【点评】本题的关键是不要忘记把原来的30天，土豆能够生活100天，原来的食物可以生存30天．突破口就是非饮用水的量．问题解决．
10．（10分）如图五角星中，位于顶点处的“华”、“罗”、“庚”、“金”、“杯”5个汉字分别代表1至5的数字，不同的汉字代表不同的数字．每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数．如果“杯”代表数字“1”，则“华”代表的数字是 3 或 4 ．
【分析】根据“每条线段两端点上的数字和恰为5个连续自然数”可以看出这5个和比原来1、2、3、4、5要大些；五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）=30，原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5=15，新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15=15，平均每个多15÷5=3，则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8；然后结合最小和最大的自然数即可解决问题．
【解答】解：五角星5个顶点的数都算了两次，所以可以算出5个和的总和为：2×（1+2+3+4+5）=30，
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原来5个自然数的和是：1+2+3+4+5=15，
新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多了：30﹣15=15， 平均每个多15÷5=3，
则新的5个连续自然数为：1+3、2+3、3+3、4+3、5+3，即4、5、6、7、8； 观察这新的5个连续自然数，最小的自然数4只能是4=1+3，最大的自然数8只能是5+3，根据这点可知，和“杯”在一条线段上的“华”可能是3或4，（2与1的和不在新的和内，5必须与3组合）． 答：“华”代表的数字是 3或 4． 故答案为：3；4．
【点评】此题考查了数字分析推理能力，难点是确定新的5个连续自然数比原来5个连续自然数多多少．
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