立体几何平行与垂直经典证明题

1、已知四边形ABCD是空间四边形，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点（1）求证：EFGH是平行四边形（2）若BD=23，AC=2，EG=2。求异面直线AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。AEBFC证明：在ABD中，∵E,H分别是AB,AD的中点∴EH//BD,EH同理，FG//BD,FG(2)90°30°GHD1

BD∴EH//FG,EHFG∴四边形EFGH是平行四边形。21BD2考点：证平行（利用三角形中位线），异面直线所成的角2、如图，已知空间四边形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中点。求证：（1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。AEBCAC证明：（1）CEAB

AEBE

同理，ADBD

DEAB

AEBE

∴AB平面CDE

BC又∵CEDEE

D（2）由（1）有AB平面CDE又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC

考点：线面垂直，面面垂直的判定3、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：A1C//平面BDE。证明：连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点∴EO为三角形A1AC的中位线∴EO//A1C又EO在平面BDE内，AC1在平面BDE外∴A1C//平面BDE。考点：线面平行的判定BCB1AD1

CEAD4、已知ABC中ACB90,SA面ABC,ADSC,求证：AD面SBC．

证明：∵ACB90°又SA面ABC

BCAC

SABC

S

BC面SACBCAD

又SCAD,SCBCC

DA

C

B

AD面SBC

考点：线面垂直的判定5、已知正方体ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点.求证：(１)C1O∥面AB1D1；(2)AC面AB1D1．1证明：（1）连结A1C1

D1A1DAOBB1C1ACB1D1O1，连结，设11

AO1

∵ABCDA1B1C1D1是正方体∴A1C1∥AC且A1C1AC

A1ACC1是平行四边形C又O1,O分别是A1C1,AC的中点，∴O1C1∥AO且O1C1AO

AOC1O1是平行四边形C1O∥AO1,AO1面AB1D1，C1O面AB1D1

（2）CC1面A1B1C1D1又∴C1O∥面AB1D1

B1D1面AC即ACB1D111C1

ACAD1，又D1B1AD1D1

同理可证1

A1C面AB1D1

考点：线面平行的判定（利用平行四边形），线面垂直的判定∵A1C1B1D1，CC1B1D!

.7、正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；(2)若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD．证明：(1)由B1B∥DD1，得四边形BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD，又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，∴BD∥平面B1D1C．同理A1D∥平面B1D1C．而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中点G，∴AE∥B1G．AA1ED1B1C1FDGBC从而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．考点：线面平行的判定（利用平行四边形）8、四面体ABCD中，ACBD,E,F分别为AD,BC的中点，且EF

BDC90，求证：BD平面ACD

2AC，2

1//AC2

证明：取CD的中点G，连结EG,FG，∵E,F分别为AD,BC的中点，∴EG

//1BD，又ACBD,∴FG1AC，∴在EFG中，EG2FG21AC2EF2FG

222



∴EGFG，∴BDAC，又BDC90，即BDCD，ACCDC∴BD平面ACD

考点：线面垂直的判定,三角形中位线，构造直角三角形9、如图P是ABC所在平面外一点，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN3NB

P

（1）求证：MNAB；（2）当APB90，AB2BC4时，求MN的长。证明：（1）取PA的中点Q，连结MQ,NQ，∵M是PB的中点，M∴MQ//BC，∵CB平面PAB，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB内的射影，取AB的中点D，连结PD，∵PAPB,∴CAPDAB，又AN3NB，∴BNND

N∴QN//PD，∴QNAB，由三垂线定理得MNABB1

（2）∵APB90，PAPB,∴PDAB2，∴QN1，∵MQ平面PAB.∴MQNQ，且21

MQBC1，∴MN22[来源学§科§网]考点：三垂线定理10、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别是AB、AD、C1D1的中点.求证：平面D1EF∥平面BDG.证明：∵E、F分别是AB、AD的中点，EF∥BD又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG∵D1G

EB四边形D1GBE为平行四边形，D1E∥GB

又D1E平面BDG，GB平面BDGD1E∥平面BDG

EFD1EE

，平面D1EF∥平面BDG

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线）11、如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中点.（1）求证：A1C//平面BDE；（2）求证：平面A1AC平面BDE.证明：（1）设ACBDO，∵E、O分别是AA1、AC的中点，A1C∥EO

又A1C平面BDE，EO平面BDE，A1C∥平面BDE（2）∵AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD又BDAC，ACAA1A

，BD平面A1AC，BD平面BDE，平面BDE平面A1AC

考点：线面平行的判定（利用三角形中位线），面面垂直的判定12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E为BC的中点．（1）求证：DE平面PAE；（2）求直线DP与平面PAE所成的角．证明：在ADE中，ADAEDE，AEDE∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE又PAAEA，DE平面PAE（2）DPE为DP与平面PAE所成的角在RtPAD，PD42，在RtDCE中，DE22在RtDEP中，PD2DE，DPE30考点：线面垂直的判定,构造直角三角形0

2

2

2

13、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是DAB60且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G为AD的中点，求证：BG平面PAD；（2）求证：ADPB；（3）求二面角ABCP的大小．证明：（1）ABD为等边三角形且G为AD的中点，BGAD又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD（2）PAD是等边三角形且G为AD的中点，ADPG且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，0

PB平面PBG，ADPB

（3）由ADPB，AD∥BC，BCPB又BGAD，AD∥BC，BGBCPBG为二面角ABCP的平面角在RtPBG中，PGBG，PBG45

0

考点：线面垂直的判定,构造直角三角形,面面垂直的性质定理，二面角的求法（定义法）14、如图1,在正方体ABCDA1B1C1D1中，M为CC1的中点，AC交BD于点O，求证：A1O平面MBD．证明：连结MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA

，∴DB⊥平面A1ACC1，而A1O平面A1ACC1∴DB⊥AO1．设正方体棱长为a，则A1O在Rt△A1C1M中，A1M

2

2

92222

∵A1OMOA1M，∴A1OOM．a．4323

a，MO2a2．24∵OM∩DB=O，∴AO1⊥平面MBD．考点：线面垂直的判定，运用勾股定理寻求线线垂直15、如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD．证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．∵ADBD，∴DFAB．又CFDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDF，∴CDAB．又CDBE，BEABB，∴CD平面ABE，CDAH．∵AHCD，AHBE，CDBEE，∴AH平面BCD．考点：线面垂直的判定16、证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D证明：连结AC∵BD⊥AC∴AC为A1C在平面AC上的射影BDA1CA1C平面BC1D同理可证A1CBC1考点：线面垂直的判定，三垂线定理17、如图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC．证明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60°∴AB=SA=AC取BC的中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC，2∴∠AOS为二面角的平面角，设SA=SB=SC=a，又∠BSC=90°，∴BC=2a，SO=2a，11

AO2=AC2－OC2=a2－2a2=2a2，∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90°，从而平面ABC⊥平面BSC．考点：面面垂直的判定（证二面角是直二面角）