郑州大学考研高等代数2009

高等代数

fxxa1xa2xan11（10分）设a1,a2,an是互不相同的整数，求证多项式

在整系数多项式环中不可约。

fxx3pxqfx，求有重根的条件。

2（10 分） 设

3 （10分）记

x2fx2x24xx1x2x32x12x22x34x35x74x33x33x24x53x5

fx0求的根。

4（10分）（1）设

1,2,3,1,1213TA 。求An； ，

123A246369n。 （2）求A，其中

5（15分）设A是n阶方阵A的伴随矩阵。证明：当



RAn时，

RAnRAn1；当时，

RA1；当

RAn1时，

RA0。

kk16（10分）设A为n阶方阵，k为正整数，线性方程组Ax0有解向量且A0。

证明：向量组,A,,Ak1线性无关.

7(10分)求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组表示：

11,1,2,3,20,2,5,8,32,2,0,1,41,7,8（10分）若下面线性方程组有解，常数应满足什么条件？

x1x2a1x2x3a2x3x4a3x1x4a4

9（15分）已知矩阵

2a2A5b3111

有特征值1，矩阵BAkE3。其中k为实数，E为单位阵。

（1） 求A，并说明A是否可以对角化；

（2） 矩阵B是否可以对角化，若能，求对角矩阵C，使BC.

1,2。

22AA,BB,ABBA0 A,B10(15分)已知均为三阶非零矩阵，且

（1） 证明A与B的特征值只能是0或1；并且0和1必是A与B的特征值；

（2） 若p是A关于1的特征向量，则p必是矩阵B关于0的特征向量。

11（15分）设

32322x1x23x3x1x22x1x32x2x322

fx1,x2,x3（1） 用正交变换化此二次型为标准型，并写出所有的正交变换；

（2） 是否有可逆矩阵W，使得AWW。其中A是原二次型的矩阵。若有，求出它；

T若无，说明理由。

12 (20分)设E为有理数域上的三维向量空间，T为E到E的线性变换。若对

x,y,zE,x0，有Txy,Tyz,Tzxy，证明x,y,z线性无关。

数学分析 一、（20）设f(x)在[0,)上连续并且单调递减，证明函数

1xf(t)dt0x在(0,)上单调递减。

F(x)二、（20）设

0x13，

xn1xn(3xn)，证明极限x存在并求之。

limxn

1xaalimx0na1,a2,，an三、（20）设是n个正实数，求

x1x2a。

xn四、（10）区间上的连续函数如果在任何有理点上为零，证明此函数恒为零。

五、（20）证明

0sinxdxx0sin2xdx2x。

六、（20）研究函数

extf(x)dt21t02的连续性及可微性。

七、（20）求正向简单闭曲线C使积分

(yc3y)dx2x3dy最大，并求出最大值。

八、（每小题10分，共20）

设E为平面上一个有界闭集，连续函数f将E一对一映为平面上点集F，证明

F也是有界闭集 （1）

（2） f的逆映射也是连续函数。