应用题复习专题

一．行程问题 常见等量关系

追及问题：a、两个物体在同一地点不同时间同向出发最后在同一地点的行程问题

等量关系：甲路程=乙路程 甲速度×甲时间=乙速度×（甲时间+乙先走的时间） b、两个物体从不同地点同时同向出发最后在同一地点的行程问题 甲路程－乙路程=原相距路程

相遇问题：两个物体同时从不同地点出发相向而行最后相遇的行程问题

等量关系：甲路程+乙路程=相遇路程 甲速度×相遇时间+乙速度×相遇时间=原两地的路程 一般行程问题： 等量关系：速度×时间=路程

航行问题： 等量关系：顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速度－水流速度 典型例题分析（2005成都）A、B两地路程是12千米，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后乙从B地出

发骑车前往A地，乙到达A地后停留了40分钟然后按原路以原来的速度返回，结果甲、乙两人同时到达B地。如果乙骑车比甲步行每小时多走8千米，求甲、乙两人的速度 解析：设甲速：x千米/时，乙 速：（x+8）千米/时，找相等关系：甲用时—乙 用时=40分钟+20分钟。则可列方程：

练习1.（杭州市2006）甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则a小时相遇；若同向而行，则b小时追上乙，那么甲的速度是乙的速度的（ ） A.

ab倍 b B.

bba倍 C. 倍 abba D.

ba倍 ba

2.(东莞08)在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行

抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉昔车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度.

二、工程问题

常用等量关系 工作量=工作效率×工作时间 各工作量之和=总工作量 总工作量看作1 （a）甲、乙一起合做：

合做天数合做天数1

甲独做天数乙独做天数a合做天数合做天数1

甲独做天数甲独做天数乙独做天数（b）甲先做a天，后甲乙合做：

典型例题分析（武汉2005）2004年8月中旬，我市受14号台风“云娜”的影响后，部分街道路面积水比较严重。为了改善这一状况，市政公司决定将一总长为1200米的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工。若甲、乙两队合做需12天完成此项工程；若甲队先做了8天后，剩下的由乙队单独做还需18天才能完工。问甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？又已知甲队每施工一天需要费用2万元，乙队每施工一天需要费用1万元，要使完成该工程所需费用不超过35万元，则乙工程队至少要施工多少天？ 解析：设甲、乙两队单独完成此项工程各需x天、y天，

1212xy1 x20,y30。 8181xy甲每天施工12002060米，乙每天施工12003040米 设甲、乙两队实际完成此工程分别需要m天、n天

60m40n1200，解得n15 2mn35巩固练习1.（武汉2006）有一市政建设工程，若甲、乙两工程队合做，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合做，还需要9个月才能完成。 （1）甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？

（2）已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万元。要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？

2.（2008成都）金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的

2；若由甲队先做10天，3剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成. (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？

（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.

三．存款利息问题

常用等量关系 利息=_____*______; 本息和=________+_________=本金*(1+_____*_____)

典型例题分析

（陕西2007）中国人民银行宣布，从2007年6月5日起，上调人民币存款利率，一年定期存款利率上调到3.06%．某人于2007年6月5日存入定期为1年的人民币5000元（到期后银行将扣除20%的利息锐）．设到期后银行应向储户支付现金x元，则所列方程正确的是（ ） A．x500050003.06%

B．x500020%5000(13.06%) C．x50003.06%20%5000(13.06%) D．x50003.06%20%50003.06%

分析：本题的等量关系为本息和=本金+利息—利息税=本金+本金*利率*期数—本金*利率*期数*

巩固练习1.（宁波2007）2007年5月19日起，中国人民银行上调存款利率． 人民币存款利率调整表 项 目 调整前年利率％ 调整后年利率％

活期存款 二年期定期存款 0.72 2.79 0.72 3.06 储户的实得利息收益是扣除利息税后的所得利息，利息税率为20％．

(1)小明于2007年5月19日把3500元的压岁钱按一年期定期存入银行，到期时他实得利息收益是多少元? (2)小明在这次利率调整前有一笔一年期定期存款，到期时按调整前的年利率2．79％计息，本金与实得利息收益的和为2555．8元，问他这笔存款的本金是多少元?

(3)小明爸爸有一张在2007年5月19日前存人的10000元的一年期定期存款单，为获取更大的利息收益，想把这笔存款转存为利率调整后的一年期定期存款．问他是否应该转存?请说明理由．

约定： 请理解题意，关注约定 ①存款天数按整数天计算，一年按360天计算利息． ②比较利息大小是指从首次存入日开始的一年时间内．获得的利息比较．如果不转存，利息按调整前的一年期定期利率计算；如果转存，转存前已存天数的利息按活期利率计算，转存后，余下天数的利息按调整后的一年期定期利率计算(转存前后本金不变)．

四．商品利润及打折销售问题

常用等量关系 利润=售价－进价 实际售价=折扣数×10%×标价 利润率=销售总额=售价×销售量 有关增长率的问题：

增长率 x 原有值 a 一次增长 a(1+x) 二次增长 a(1+x)2 利润售价进价 =

进价进价

典型例题分析（2003年吉林省中考题）某商品的标价是1100元，打八折（按标价的80%）出售，仍可获利10%，则此商品的进价是元。

分析：根据“利润＝销售价-进货价，利润率＝利润÷进货价×100%”，假设商品的进价为a元，则商品的售价为（a＋10%·ａ）元时，可获利10%.

巩固练习1.（山东潍坊2004）甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获取利润，决定将甲服装按50﹪的利润定价，乙服装按40﹪的利润定价。在实际出售时，应顾客要求，两件服装均按9折出售，这样商店共获利157元，求甲、乙两件服装的成本各是多少元？

2.（哈尔滨2007）青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．

（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？ （2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润=售价进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；

（3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：

打折前一次性购物总金额 不超过300元 超过300元且不超过400元 超过400元 优惠措施 不优惠 售价打九折 售价打八折 按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算求出所有符合要求的结果）

3.某通讯器材公司销售一种市场需求较大的新型通讯产品，已知每件产品的进价为40元，每年销售这种产品的总开支为（不换进价）总计120万元，在销售过程中发现，单价为60元时，年销售量可达到5万件；若价格上涨，相应销售量就会减少；当单价为80元时，销售量降至4万件，设销售单价为x元。 （1）用含x的代数式表示出年销售量

（2）当单价定为多少元时，年销售获利可达到40万元？

（3）当销售单价为何值时，年获利最大？并求出这个最大值。

五、图表信息题 典型例题解析

（2007荆门市）一、问题背景九年级（1）班课题学习小组对家庭煤气的使用量做了研究，其实验过程和对数据的处理如下：

仔细观察现在家庭使用的电子打火煤气灶，发现当关着煤气的时候，煤气旋钮(以下简称旋钮)的位置为竖起方向，把这个位置定为0°，煤气开到最大时，位置为90°．(以0°位置作起始边，旋钮和起始边的夹角)．在0~90°之间平均分成五等分，代表不同的煤气流量，它们分别是18°，36°，54°，72°，90°，见图1．

在这些位置上分别以烧开一壶水(3.75升)为标准，记录所需的时间和

烧开一壶水所需 所用的煤气量．并根据旋钮位置以及烧开一壶水所需时间(用t表示)、位置 时间(分) 煤气量(m3) 所用煤气量(用v表示)，计算出不同旋钮位置所代表的煤气流量(用L

18° 19 0.13 表示)，L＝v/t，数据见右表．这样为可以研究煤气流量和烧开一壶水

36° 16 0.12 所需时间及用气量之间的关系了．

54° 13 0.14 72° 90° 12 10 0.15 0.17 流量 m3/分 0.0068 0.0076 0.0107 0.0124 0.0172 二、任务要求

1．作图：将下面图2中的直方图补充完整；在图3中作出流量与时间

的折线图．

时间(分)201510500.00680.00760.01070.01240.0172 流量 18 36 54 72 903图3 煤气流量和烧开一壶水所需时间关系

2．填空：①从图2可以看出，烧开一壶水所耗用的最少煤气量为_______m2，此时旋钮位置在______． ②从图3可以看出，不考虑煤气用量，烧开一壶水所用的最短时间为_______分钟，此时旋钮位置在______． 3．通过实验，请你对上述结果(用煤气烧水最省时和最省气)作一个简要的说明． 解析：图表信息的应用题一般题目较长，涉及的数量关系较多，因此读题时要做到边读边对有用信息进行勾画，并理清每一个图表中的每行（列）以及横纵坐标表示的具体意义以及它们之间的关系。 （1）

(m/分)0.180.160.140.12煤气使用量(m3)0.170.140.130.120.150(m/分)图2煤气流量和烧开一壶水所需煤气量关系图

0.00680.00760.01070.01240.0172 流量 18 36 54 72 903

（2）由上图可看出 0.12，36°；10，90°；

（3）当旋钮开到36°附近时最省气，当旋钮开到90°时最省时．最省时和最省气不可能同时做到 巩固练习1.（湖南岳阳2006）今年5月27日，印尼中爪哇省发生强烈地震，给当地人民造成巨大的经济损失．某学校积极组织捐款支援灾区，初三(1)班55名同学共捐款274元，捐款情况如右表．表中捐款2元和5元的人数不小心被墨水污染已看不清楚，请你帮助确定表中数据，并说明理由．

1 2 5 10 捐款

7 人数 6

2.（湖南岳阳2007）2006年“五一”黄金周心连心集团湖南岳阳超市，七天销售总额达120万元，具体分配情况如图．

1)由图可知，日用品类销售额占总销售额的百分比为____，日用品类销售额是_____万元．

2)已知2005年心连心超市在“五一”黄金周的食品类销售额是60万元，若年增长率保持不变，请预测2007年“五一”黄周食品类销售额是多少万元？

食品60％服装11％烟酒18％日用品

3.（浙江绍兴2004）某城市自来水收费实行阶梯水价，收费标准如下表所示，用户5月份交水费45元，则所用水为 度. 月用水量 收费标准（元/度） 不超过12度的部分 超过12度不超过18度的部分 2.00 2.50 超过18度的部分 3.00

六．函数型应用题 典型例题分析：（2006山东济南）元旦联欢会前某班布置教室，同学们利用彩纸条粘成一环套一环的彩纸链，小颖测量了部分彩纸链的长度，她得到的数据如下表：

19 36 53 70 „„ （1）把上表中x，y的各组对应值作为点的坐标，在如图的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想y与x的函数关系，并求出函数关系式；

（2）教室天花板对角线长10m，现需沿天花板对角线各拉一根彩纸链，则每根彩纸链至少要用多少个纸环？ 解析：（1）在所给的坐标系中准确描点．由图象猜想到y与x之间满足一次函数关系．

纸环数x（个） 彩纸链长度y（cm） 1 2 3 4 „„ y(cm) 设经过(119)，，(2，36)两点的直线为ykxb，则可得

90 80 70 60 50 40 30 20 10 kb19，解得k17，b2．即y17x2． 2kb36.当x3时，y173253；当x4时，y174270． 即点(3，53)，，(470)都在一次函数y17x2的图象上．

Ｏ 1 2 3 4 5 6 7 所以彩纸链的长度y（cm）与纸环数x（个）之间满足一次函数关系y17x2． （2）10m1000cm，根据题意，得17x2≥1000． 解得x≥58

x（个12． 17答：每根彩纸链至少要用59个纸环．

巩固练习：（2007扬州）连接上海市区到浦东国际机场的磁悬浮轨道全长约为30km，列车走完全程包含启动加速、匀速运行、制动减速三个阶段．已知磁悬浮列车从启动加速到稳定匀速动行共需200秒，在这段时间内记录下下列数据： 时间t（秒） 速度（米／秒） 路程x（米） 0 0 0 50 30 750 100 60 3000 150 90 6750 200 120 12000 （1）请你在一次函数、二次函数和反比例函数中选择合适的函数来分别表示在加速阶段（0≤t≤200）速度与时间t的函数关系、路程s与时间t的函数关系．

（2）最新研究表明，此种列车的稳定动行速度可达180米／秒，为了检测稳定运行时各项指标，在列车达到这一速度后至少要运行100秒，才能收集全相关数据．若在加速过程中路程、速度随时间的变化关系仍然满足（1）中的函数关系式，并且制作减速所需路程与启动加速的路程相同．根据以上要求，至少还要再建多长轨．．．．道就能满足试验检测要求？

（3）若减速过程与加速过程完全相反．根据对问题（2）的研究，直接写出列车在试验检测过程中从启动到停车这段时间内，列车离开起点的距离y（米）与时间t（秒）的函数关系式（不需要写出过程）

七．不等关系的应用

注意审清题意，不要列成方程来解题。留意“至少”、“多于”、“少于”、“不超过”、“不低于”等字眼，通常包．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．含这些字词的题目都要列不等式（组）解题，并且要理解这些字词所代表的数学意义。

典型例题分析(2007绵阳) 绵阳市白玉村果农王灿收获枇杷20吨，桃子12吨，现计划租用甲、乙两种货车共8辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲种货车可装枇杷4吨和桃子1吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各两吨

（1） 王灿如何安排甲乙两种货车可一次性地销售地？有几种方式。

（2） 若甲种货车每辆运费300元，乙种货车每辆运费240元，则果农王灿应选择那种方案使运费最少。最

少运费是多少？ 解析：设安排甲种货车x辆，乙种货车（8-X）辆，依据题意4X+2(8-X)20,X+2(8-X)12，由此可求出x的范围。（2）可以建立一次函数，利用函数的性质求解，也可直接求出各种情况下所需运费再比较大小

巩固练习1.（岳阳2007）新《个人所得税》规定，公民全月工薪不超过1600元的部分不必纳税，超过1600元的部分为全月应纳税所得税额，此项税款按下表分段累进计算： 全月应纳税所得额 不超过500元部分 超过500元至2000元的部分 „„ 税率 5% 10% „„ (1)冯先生5月份的工薪为1800元，他应缴纳税金多少元？ (2)设某人月工薪为x元（1600＜x＜2100)，应缴纳税金为y元，试写出y与x的关系式，

(3)若费先生5月份缴纳税金不少于160元，也不多于175元，试问费先生该月的工薪在什么范围内？

2．(广东梅州2005)为节约用电，某学校于本学期初制定了详细的用电计划。如果实际每天比计划多用2度电，那么本学期的用电量将会超过2530度；如果实际每天比计划节约2度电，那么本学期用电量将会不超过2200度电。若本学期的在校时间按110天计算，那么学校每天用电量应控制在什么范围内？

3.(山东潍坊2005)为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每一个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．求这个中学共选派值勤学生多少人？共有多少个交通路口安排值勤？

4.（重庆课改2004）光明中学9年级甲、乙两班在为“希望工程”捐款活动中，两班捐款的总数相同，均多于300元且少于400元．已知甲班有一人捐6元，其余每人都捐9元；乙班有一人捐13元，其余每人都捐8元．求甲、乙两班学生总人数共是多少人？

八．方案决策问题

典型例题分析（2008 重庆）为支持四川抗震救灾，重庆市A、B、C三地现在分别有赈灾物资100吨，、100吨、80吨，需要全部运往四川重灾地区的D、E两县。根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20吨。

（1）求这批赈灾物资运往D、E两县的数量各是多少？

（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60吨，A地运往D的赈灾物资为x吨（x为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍。其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25吨。则A、B两地的赈灾物资运往D、E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案； （3）已知A、B、C三地的赈灾物资运往D、E两县的费用如下表：

运往D县的费用（元/吨） A地 220 B地 200 C地 200 运往E县的费用（元/吨） 250 220 210 为即使将这批赈灾物资运往D、E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用，在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少？

解析：根据赈灾物资运往D县和e县的数量关系列出二元一次方程组可求解。（2）抓住题目中的关键词“小于”“不超过”列出不等式组，得到x的取值范围，从而求出几种方案。（3）根据表中从A、B两地运往各地的费用得到总运费与x的函数关系，再由（2）中x的取值范围，可求出最值问题

巩固练习1.（济南2007）某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李．

（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；

（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案．

2.（2007年成都）某校九年级三班为开展“迎2008年北京奥运会”的主题班会活动，派了小林和小明两位同学去学校附近的超市购买钢笔作为奖品．已知该超市的锦江牌钢笔每支8元，红梅牌钢每支4.8元，他们要购买这两种笔共40支．

（1）如果他们两人一共带了240元，全部用于购买奖品，那么能买这两种笔各多少支？

（2）小林和小明根据主题班会活动的设奖情况，决定所购买的锦江牌钢笔的数量要少于红梅牌钢笔的数量的

11，但又不少于红梅牌钢笔的数量的．如果他们买了锦江牌钢笔x支，买这两种笔共花了y元． 24①请写出y（元）关于x（支）的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；

②请帮他们计算一下，这两种笔各购买多少支时，所花的钱最少，此时花了多少元？

3.(山东日照2007)某水产品市场管理部门规划建造面积为2400m2的集贸大棚，大棚内设A种类型和B种类型的店面共80间，每间A种类型的店面的平均面积为28m2，月租费为400元；每间B种类型的店面的平均面积为20m2，月租费为360元.全部店面的建造面积不低于大棚总面积的80%，又不能超过大棚总面积的85%. (1)试确定A种类型店面的数量；

(2)该大棚管理部门通过了解业主的租赁意向得知， A种类型店面的出租率为75%,B种类型店面的出租率为90%.为使店面的月租费最高，应建造A种类型的店面多少间？

4.（河南2007）某商场用36万元购进A、B两种商品，销售完后共获利6万元，其进价和售价如下表：

进价(元/件) 售价(元/件) A 1200 1380 B 1000 1200 （注：获利＝售价－进价）

(1) 该商场购进A、B两种商品各多少件?

(2) 商场第二次以原进价购进A、B两种商品．购进B种商品的件数不变，而购进A种商品的件数是第一次的2倍，A种商品按原价出售，而B种商品打折销售．若两种商品销售完毕，要使第二次经营活动获利不少于81600元，B种商品最低售价为每件多少元?