高中数学中圆的三种方程解析 ◆曾寅震 摘要：在高中数学学习过程中，圆是重要的内容，其主要分为三种基本的方程表达。由于该知识 点在实际运用过程中存在着一定的抽象性特征，所以学生知识点掌握较难。本文简要地就圆的三种不 同的方程概念进行分析，并在这基础上列举以上三种方程的实际解题方式进行分析。以期为高中学生 在对圆的三种方程的学习过程中实现学习效果提升。 关键词：高中数学；圆的三种方程；解析 一、圆的标准方程 －．．该圆的方程表达式为（ｘ－４－１） －４－（ｙ－４－２）。＝１０． （一）基本概念阐述。圆的标准方程一般表现为（ｘ— 解法３：由Ａ、Ｂ两点坐标可得知，ＡＢ中垂线可表达为 ２ｘ＋Ｙ－４－４＝０，其和直线ｘ一２ｙ一３＝０之间的交点（一１，一 ａ）。＋（ｙ—ｂ） ＝ｒ２，其中有参数ａ、ｂ、ｒ，在计算过程中要就ａ、 ｂ、ｒ三个参数进行计算，以此来实现圆的方程的确定。所以 要想确定该圆的方程，就必须满足以下的独立条件，即圆心 坐标决定了该圆的定位，而圆的半径则决定了该圆的形状和 大小。 （二）实例解析。举例：有一圆和Ｘ轴之间的切点为ｆ５，０）， 同时该圆在ｙ轴上截取一段弦长的长度为１０，则求出该圆的 方程表达式为——． 解法１：假设该圆的方程表达式为（ｘ一５） ＋ｆＹ—ｂ） ＝ ｂ。，同时假设该圆与ｙ轴之间的交点为Ａ、Ｂ两点，由方程（ｘ一 ５） ＋（ｙ—ｂ）。＝ｂ 与Ｘ＝０，可以得出Ｙ＝ｂ±ｂ。一２５。 又’．‘ｌｙＢ—ｙＡＩ＝１０。 ・．．Ｉｂ＋ｂ 一２５一ｂ＋ｂ 一２５１＝１０，ｂ＝±５２ ・．．所求圆的方程为ｆｘ一５） ＋ｆｖ±５２）。＝５０． 解法２：假设该圆的方程为（ｘ—ａ） ＋（Ｙ—ｂ）。＝ｒ２（ｒ＞Ｏ） ・’．该圆和Ｘ轴之间的交点为ｆ５，０） ‘．．ｒ＝Ｉｂｌ①ａ＝５② ｏｏ．该圆在ｙ轴上的弦长长度为１０， ・．．ａ２＋（１０／２） ：ｒ２③ 综合①、②、③可以得出ａ＝５，ｒ＝５２ ・．．所求圆的方程为（ｘ一５） ＋（Ｙ ４－５２） ＝５０ 二、圆的一般方程 （一）基本概念。圆的一般方程可以表示为ｘ＇２ ＋ｙ ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０（Ｄ ２＋Ｅ ２—４Ｆ＞Ｏ）进一步分解为（Ｘ＋Ｄ／２） ＾２＋（Ｙ＋Ｅ／２） ２＝（Ｄ ２＋Ｅ ２—４Ｆ）／４。其中圆的半径可表示为 、／［（Ｄ＾２＋Ｅ＾２—４Ｆ）］／２。该圆的圆心坐标可表示为（一Ｄ／２，一Ｅ／２） 且当（Ｄ＾２＋Ｅ 一４Ｆ）／４＝０时存在实数解Ｘ＝－－Ｄ／２，Ｙ＝一Ｅ／２ （二）实例解析。举例为：存在某一圆经过点Ａｆ２，一３） 与点Ｂ（一２，一５），如果该圆的圆心在直线ｘ一２ｖ一３＝０ 之上，求证该圆的方程表达式。 解法１：假设该圆的方程表达式为Ｘ。＋Ｙ ＋Ｄｘ＋Ｅｙ —Ｌ Ｆ＝０ 所以，４ ４－（～３） ＋２Ｄ＋（一３）Ｅ＋Ｆ＝０，（一２） ＋（一 ５） ＋（一２）Ｄ＋（一５）Ｅ＋Ｆ＝０，一（Ｄ／２）一２・（一Ｅ／２）一 ３＝０． ． ．Ｄ＝２．Ｅ＝４．Ｆ＝——５． ・．．该圆的方程表达式为 ＋ｖ ＋２ｘ＋４ｖ一５＝０． 解法２：假设该圆的方程表达式为（ｘ—ａ）２＋（Ｙ—ｂ）２ ：ｒ２ 所以（２一ａ）。－４－（一３一ｂ） ＝ｒ２，（一２一ａ） －４－（一５一 ｂ） ＝ｒ２，ａ～２ｂ一３：０． 贝０可以求出ａ：一１，ｂ＝一２，ｒ２＝１０． ２）作为圆心，根据两点距离可求出ｒ２＝１０。 ・．．该圆的方程表达式为（ｘ＋１） ＋（Ｙ＋２）。：１０． 三、圆的直径方程 （一）基本概念。圆的直径式方程可以用以下概念进行 表示，当存在某一圆的直径的两个端点分别表示为Ａ（ａ，ｂ）， Ｂ（ｃ，ｄ），则该圆的方程表达式可表示为为（ｘ—ａ）（ｘ—ｃ）＋（ｙ－ｂ） （ｙ－ｄ）＝０。 （二）实例解析。举例为：已经得知存在点Ａ（０，２）与某 一抛物线ｙ２＝ｘ＋４上的两点Ｂ、ｃ组合，可以使得ＡＢ上Ｂｃ， 试求点Ｃ的纵坐标的实际取值范围． 学生在解题之前可首先进行题目分析可以得知，由于点 Ａ存在于该抛物线上，假设该抛物线上的点ｃ的坐标表示为 （ｔ２—４，ｆ）（ｔ≠２），那么点Ｂ就是由ＡＣ作为直径的一个圆和抛物 线之间的交点． 所以，假设以ＡＣ为直径的圆的方程表达为ｘ『ｘ一（ｔ２— ４）］＋（ｙ一２）（ｙ—ｔ）＝０． ． ｘ＝ｙ２—４， ‘．．（ｙ２－４）（ｙ２－ｔ２）＋（ｙ－２）（ｙ—ｔ１＝０ 即（ｙ＋２）（ｙ一２）（ｙ＋ｔ）（ｙ—ｔ）＋（ｙ一２）（ｙ—ｔ）＝０． 又‘． ｔ≠２，ｙ≠２． ． ．（ｙ＋２）（ｙ＋ｔ）＋１＝０，即ｙ２＋（１＋２）ｙ＋（２ｔ＋１）＝０． ’．。Ｙ∈Ｒ． ・．．Ａ≥０，即（ｔ＋２）２—４（２ｔ＋１）≥０，解得ｔ≤０或ｔ≥４． 所以点ｃ的纵坐标的取值范围是（一。。，Ｏ】ｕ ｆ４，十 ）． 结束语 在高考数学中，对于圆的知识内容的考察十分常见，其 中圆的三种方程式基础性的学习内容。所以，高中学生在数 学课程学习的过程中应当重视圆的方程的内容的学习，加深 对不同方程的理解，并熟练掌握相关的方程解决技巧。只有 这样，才能最大程度地实现圆知识内容的掌握，为之后更进 一步的圆相关知识的学习奠定基础。 参考文献 【１］杨海军．求圆的方程问题的四种解法【Ｉ】中学生数 学，２０１６，１１：２０—２１． １２ｊ杨瑞强巧设圆系方程妙求圆的方程Ｕ Ｊｌ河北理科教学研 究，２０１３，０５：９—１０． （作者单位：湖南省长沙市第一中学） 环渤海经济嘹望ｌ ２０１７．８ １ ４９