多元微分与二重积分第五讲

一. 二元微分学概念

1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1)

ff(xx,yy),ff(xx,y),ff(x,yy)00x00y00

ffyxlim,fflim,flimxyxy (2)

(3)

fdffxfydf,limxy22(x)(y) (判别可微性)

注: 点处的偏导数与全微分的极限定义:

f(x,0)f(0,0)f(0,y)f(0,0)f(0,0)lim,f(0,0)limxyx0y0xy

2. 特例:

xy(0,0)f(x,y)x2y20,(0,0) (1): 点处可导不连续;

xy(0,0)22f(x,y)xy0,(0,0): 点处连续可导不可微;  (2)

二. 偏导数与全微分的计算:

1. 显函数一,二阶偏导: zf(x,y)

yx 注: (1)型; (2)

zx(x0,y0); (3)含变限积分

fu[(x,yv),(x,y)] 2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): z

熟练掌握记号

''\"\"\"f,f,f,f,f12111222的准确使用

3. 隐函数(由方程或方程组确定):

F(x,y,z)0G(x,y,z)0 (存在定理) Fx(,yz,)0 (1)形式: *; * (2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): (3)注:

FdxFdyFdz0xyz (要求: 二阶导)

(x0,y0)与z的及时代入

(4)会变换方程. 三. 二元极值(定义?); 1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别)

2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用)

fx(,)y(x,)y0 (1)目标函数与约束条件: z, (或: 多条件) (x,,)yf(x,)y(x,)y (2)求解步骤: L, 求驻点即可.

3. 有界闭域上最值(重点). (1)

zf(x,yM)D{(x,y)(x,y)0}

 (2)实例: 距离问题

四. 二重积分计算:

1. 概念与性质(“积”前工作):

(1)

dD,

(2)对称性(熟练掌握): *D域轴对称; *奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: * 2. 计算(化二次积分):

(1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“D”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握).

DDD12; *f(x,y)分片定义; *f(x,y)奇偶

22f(xy) 3. 极坐标使用(转换):

x2y2D:221222D:(xa)(yb)Rab 附: ; ; xy)ax(y) 双纽线(

4. 特例:

222222D:xy1

(1)单变量: 或

(2)利用重心求积分: 要求: 题型

(kxky)dxdy12D, 且已知D的面积

SD与重心(x,y)

5. 无界域上的反常二重积分(数三)

五: 一类积分的应用(f(M)d:D;;L;;):

1. “尺寸”: (1)

dSDD; (2)曲面面积(除柱体侧面);

2. 质量, 重心(形心), 转动惯量;

3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备.

第六讲: 一. 级数概念

无穷级数(数一,三)

1. 定义: (1)

{an}, (2)

Saaan12nn; (3)nlimSn (如n1n(n1)!)

{an} 注: (1)nliman; (2)

q(或

1an); (3)“伸缩”级数:

;

(an1an)收敛收敛.

2. 性质: (1)收敛的必要条件:

liman0n (2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3)

ss,a0ssss2nn2n1n;

二. 正项级数

1. 正项级数: (1)定义:

an0; (2)特征: Sn; (3)收敛SnM(有界)

2. 标准级数: (1)

1np, (2)

22lnblnkn1n, (3)nlnkn

abab,a 3. 审敛方法: (注:2blna)

1knanpf(x)dxn(估计), 如0 (1)比较法(原理):;

P(n)Q(n)

lim (2)比值与根值: *

nun1nunun *limn (应用: 幂级数收敛半径计算)

n1(1)三. 交错级数(含一般项):  1. “审”前考察: (1)

anan0()

an0? (2)an0?; (3)绝对(条件)收敛?

an11naun 注: 若,则n发散

lim 2. 标准级数: (1)

(1)n1111(1)n1p(1)n1pn; (2)n; (3)lnn

3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提:  4. 补充方法:

(1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2) 5. 注意事项: 对比 四. 幂级数: 1. 常见形式:

an发散; (2)条件:

a0n,an(1); (3)结论: n1an条件收敛.

ss,a0ssss2nn2n1n.

an(1)a; ; nnana; 2n之间的敛散关系

ax (1)nna(xx)a(xx), (2), (3)nn0n02n

2. 阿贝尔定理:

**Rx*x0Rx*x0xxxx (1)结论: 敛; 散

(2)注: 当xx条件收敛时

*Rxx*

3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备)

annnnax,xnnanxn 注(1)与同收敛半径

ax (2)nna(xx)与n02n之间的转换

4. 幂级数展开法:

(1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域)

1213xe1xxx,R2!3!

1x1x214(ee)1xx,R2!4! 2

1x1x315(ee)xxx,R23!5!

13151214sinxxxx,Rcosx1xx,R3!5!2!4! ;

11221xx,x(1,1)1xx,x(1,1)xx 1; 1 1213ln(1x)xxx,x(1,1]23 1213ln(1x)xxx,x[1,1)23 1315arctanxxxx,x[1,1]35

1,xx02f()xg()xh()xaxbxc (2)分解: (注:中心移动) (特别: )

f()xg()xdxf(0)0 (3)考察导函数: g(x)f'(x)

(4)考察原函数:

5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换):

xg(x)f(x)dxf(x)g'(x)0x

(1)

Sx(),

(2)S'(x),(注意首项变化) (3)

S(x)()',

()\"Sx()\" (4)Sx的微分方程

aaxS(x)aS(1) (5)应用:.

nnnn 6. 方程的幂级数解法

7. 经济应用(数三):

(1)复利: A(1p); (2)现值: A(1p)

五. 傅里叶级数(数一): (T2)

a0S()xacosnxbsinnxnn2n1 1. 傅氏级数(三角级数):

nnirichlet充分条件(收敛定理): 2. D)S(x)(和函数) (1)由f(x1Sx()[f(x)f(x)]2 (2)

1af(x)cosnxdx1naf(x)dx,,n1,2,3,01bf(x)sinnxdxn 3. 系数公式: xS()x,x? 4. 题型: (注: f())

(),x(,] (1)T2且fx(分段表示)

,]或x[0,2] (2)x( (3)x[0,]正弦或余弦

*(4)x[0,](T) *5. T2l

a0S()xacosnxbsinnxnnf(x)2n1 6. 附产品: