6.1.4 求导法则及其应用(学案)-2020-2021学年高中数学同步备课学案

6.1.4 求导法则及其应用

知识点归纳

知识点一、导数运算法则

1．和差的导数：[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．

2．积的导数：(1)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(2)[cf(x)]′＝cf′(x)． ′

fx＝gxf′x－fxg′x，g(x)≠0. 3．商的导数：gxg2x

知识点二、复合函数的导数：

复合函数的概念及求导法则 复合一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成函数的概x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 念 复合函数的求导法则 dy复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为＝dxdydu·，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. dudx典例分析 一、导数运算法则的应用

例1 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． x

(1)y＝x2－2x－4ln x；(2)y＝x·tan x；(3)y＝x；

exx

(4)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(5)y＝x＋sin cos . 224

解析 (1)y′＝2x－2－. x

xsin xxsin x′cos x－xsin xcos x′

(2)y′＝(x·tan x)′＝′＝ cos xcos2xsin x＋xcos xcos x＋xsin2xsin xcos x＋x＝＝. cos2xcos2xx′ex－x·ex′1－x

(3)y′＝＝x. eex2

(4)∵(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝[(x＋1)(x＋2)(x＋3)]′＝(x3＋6x2＋11x＋6)′＝3x2＋12x＋11.

1

1

(5)先使用三角公式进行化简，得y＝x＋sin x

2111

x＋sin x′＝x′＋sin x′＝1＋cos x. ∴y′＝222

sin xcos x＋x1－x41

答案 (1) 2x－2－ (2) (3) x (4) 3x2＋12x＋11 (5) 1＋cos x 2xcosxe2二、复合函数的求导方法 例2 求下列函数的导数．

1π2；(3)y＝ sin(2x－)；(4)y＝1＋x2. (1)y＝；(2)y＝cosx

31－3x41－

解析 (1)令u＝1－3x，则y＝4＝u4，

u∴y′u＝－4u5，u′x＝－3. ∴y′x＝y′u·u′x＝12u5＝(2)令u＝x2，则y＝cosu，

∴y′x＝y′u·u′x＝－sinu·2x＝－2xsinx2. π

(3)令u＝2x－，则y＝sinu，

3

π

∴y′x＝y′u·u′x＝cosu·2＝2cos(2x－)．

31 2

2

(4)令u＝1＋x，则y＝u ，

11- -

212x

∴y′x＝y′u·u′x＝u ·2x＝x·u ＝. 21＋x2

12πx2 (3) 2cos(2x－) (4) 答案 (1) (2) －2xsinx

31－3x51＋x2

－

－

12

. 1－3x5

自我检测

1．已知函数f(x)＝cos x＋ln x，则f′(1)的值为( ) A．1－sin 1 C．sin 1－1

B．1＋sin 1 D．－sin 1

11

解析 因为f′(x)＝－sin x＋，所以f′(1)＝－sin 1＋＝1－sin 1.故选A.

x1答案 A

2．函数y＝(2 019－8x)3的导数y′＝( ) A．3(2 019－8x)2

B．－24x

2

C．－24(2 019－8x)2 D．24(2 019－8x)2

解析 y′＝3(2 019－8x)2×(2 019－8x)′＝3(2 019－8x)2×(－8)＝－24(2 019－8x)2. 答案 C 3．曲线y＝e－2x

＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )

A.1

3

B．－12 C．2

3

D．1

解析 ∵y′＝(－2x)′e－2x

＝－2e

－2x

，

∴k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，

∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，即y＝－2x＋2.

如图，由y＝－2x＋2，22

＝x，

得交点坐标为(，y33)，

y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1,0)， ∴所求面积为S＝121

2×1×3＝3.

答案 A

4．函数y＝sin x·cos x的导数是(

)

A．y′＝cos2x＋sin2x B．y′＝cos2x－sin2x C．y′＝2cos x·sin x D．y′＝cos x·sin x

解析 y′＝(sin x·cos x)′＝cos x·cos x＋sin x·(－sin x)＝cos2x－sin2x. 答案 B

5．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1 C．a＝1，b＝－1

D．a＝－1，b＝－1

解析 ∵y＝x2＋ax＋b，∴y′＝2x＋a. ∵在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，

3

)

∴f′(0)＝a＝1. 又0－b＋1＝0，∴b＝1. 答案 A

6．函数y＝x2cos 2x的导数为( )

A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x

解析 y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′＝2xcos 2x－2x2sin 2x. 答案 B

7．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(1)＝________. 解析 f′(x)＝3答案 2

8．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝________.

解析 f(x)＝4x2＋4ax＋a2，∵f′(x)＝8x＋4a，∴f′(2)＝16＋4a＝20，∴a＝1. 答案 1

9．求下列函数的导数：

111＋cos xx2＋＋3；(2)y＝(1)y＝x；(3)y＝(4x－x)(ex＋1)． 2xxx111

x2＋＋3＝x3＋1＋2， 解析 (1)∵y＝xxxx2

∴y′＝3x2－3. x

1＋cos x′·x2－1＋cos xx2′

(2)y′＝

x4＝

－xsin x－2cos x－2

. x3

133·(3x－1)′＝，∴f′(1)＝.

23x－13x－1

(3)方法一：∵y＝(4x－x)(ex＋1)＝4xex＋4x－xex－x，

∴y′＝(4xex＋4x－xex－x)′＝(4x)′ex＋4x(ex)′＋(4x)′－[x′ex＋x(ex)′]－x′＝ex4xln 4＋4xex＋4xln 4－ex－xex－1＝ex(4xln 4＋4x－1－x)＋4xln 4－1.

方法二：y′＝(4x－x)′(ex＋1)＋(4x－x)(ex＋1)′＝(4xln 4－1)·(ex＋1)＋(4x－x)ex＝ex(4xln 4＋4x－1－x)＋4xln 4－1.

4

10．求下列函数的导数．

(1)f(x)＝(－2x＋1)2；(2)f(x)＝ln (4x－1)；(3)f(x)＝23x2；(4)f(x)＝5x＋4； π

3x＋；(6)f(x)＝cos2x. (5)f(x)＝sin6解析 (1)设y＝u2，u＝－2x＋1，

则y′＝yu′·ux′＝2u·(－2)＝－4(－2x＋1)＝8x－4. (2)设y＝ln u，u＝4x－1， 14

则y′＝yu′·ux′＝·4＝. u4x－1(3)设y＝2u，u＝3x＋2，

则y′＝yu′·ux′＝2uln 2·3＝3ln 2·23x2. (4)设y＝u，u＝5x＋4，

15

则y′＝yu′·ux′＝·5＝ .

2u25x＋4π

(5)设y＝sin u，u＝3x＋，

6

π3x＋. 则y′＝yu′·ux′＝cos u·3＝3cos6(6)法一：设y＝u2，u＝cos x，

则y′＝yu′·ux′＝2u·(－sin x)＝－2cos x·sin x＝－sin 2x； 1＋cos 2x11

法二：∵f(x)＝cos2x＝＝＋cos 2x，

222

111

＋cos 2x′＝0＋·所以f′(x)＝(－sin 2x)·2＝－sin 2x. 222

11．已知函数f(x)是关于x的三次函数，且f(0)＝3，f′(0)＝0，f′(1)＝－3，f′(2)＝0，求f(x)的解析式．

解析 设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则f′(x)＝3ax2＋2bx＋c. 由f(0)＝3，得d＝3，由f′(0)＝0，得c＝0，

3a＋2b＝－3，

由f′(1)＝－3，f′(2)＝0，得

12a＋4b＝0，a＝1，

解得∴f(x)＝x3－3x2＋3.

b＝－3.

＋

＋

答案 x3－3x2＋3

5