1．如图，AB为⊙O的直径，CD是弦，AB⊥CD于点E，OF⊥AC于点F，BE＝OF． （1）求证：△AFO≌△CEB； （2）若BE＝4，CD＝8①⊙O的半径；
②求图中阴影部分的面积．
，求：
2．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AB交AC于点D．若∠A＝30°，OD＝2．求CD的长．
3．如图，AB是⊙O的直径，AC⊥AB，E为⊙O上的一点，AC＝EC，延长CE交AB的延长线于点D．
（1）求证：CE为⊙O的切线；
（2）若OF⊥AE，OF＝1，∠OAF＝30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
4．B为圆心，AC，BC为半径在△ABC的外侧构造扇形CAE，如图，在△ABC中，分别以A，扇形CBD，且点E，C，D在同一条直线上，（l）求∠ACB的度数．
（2）若AC＝2，BC＝4，求点A，B到直线ED的距离的和．
＝60°，
＝90°．
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD＝2，AE＝3，tan∠BOD＝．
（1）求证：AE是O的切线； （2）求图中两部分阴影面积的和．
6．已知：如图，在⊙O中，直径BC＝8，M为AB的中点，∠ABC＝30°，点E时圆上任意一点，MF⊥ME交BC于F． （1）求劣弧AC的长；
（2）当ME∥BC时，求ME的长．
7．一条排水管的截面如右图所示，截面中有水部分弓形的弦AB为6cm．
（1）求截面⊙O的半径． （2）求截面中的劣弧AB的长．
cm，弓形的高为
8．如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，D为弧AC的中点，E是BA延长线上一点，∠DAE＝105°． （1）求∠DAC的度数；
（2）若⊙O的半径为3，求弧BC的长．
9．AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝30°． （1）求∠B的度数； （2）若PC＝2，求BC的长．
10．如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G． （1）求证：DG∥CA； （2）求证：AD＝ID；
（3）若DE＝4，BE＝5，求BI的长．
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE． （1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
12．如图，AB是⊙O的直径，CA与⊙O相切于点A，且CA＝BA．连接OC，过点A作AD⊥OC于点E，交⊙O于点D，连接DB． （1）求证：△ACE≌△BAD；
（2）连接CB交⊙O于点M，交AD于点N．若AD＝4，求MN的长．
13．如图，△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝2∠A，点O在AC上，OA＝OB，以O为圆心，OC为半径作圆．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BC＝3，求图中阴影部分的面积．
14．如图，M，N是以AB为直径的⊙O上的点，且分∠ABD，MF⊥BD于点F． （1）求证：MF是⊙O的切线； （2）若CN＝3，BN＝4，求CM的长．
＝
，弦MN交AB于点C，BM平
15．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，BO的延长线交AC于点D，且∠DOC＝∠DCO，E是弧AC上的一点，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点F，连接OA （1）求证：AO⊥BC；
（2）若3∠CAF＝2∠ABC，求证：CF是⊙O的切线； （3）若⊙O的半径为1，求CD的长．
参考答案
1．（1）证明：∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD， ∴BC＝BD， ∴∠A＝∠DCB， ∴OF⊥AC， ∴∠AFO＝∠CEB， ∵BE＝OF，
∴△AFO≌△CEB（AAS）．
（2）①∵AB 为⊙O 的直径，AB⊥CD， ∴CE＝CD＝4
设 OC＝r，则 OE＝r﹣4， ∴r2＝（r﹣4）2+（4∴r＝8．
②连结 OD． ∵OE＝4＝OC，
∴∠OCE＝30°，∠COB＝60°， ∴∠COD＝120°， ∵△AFO≌△CEB， ∴S△AFO＝S△BCE， ∴S阴＝S扇形OCD﹣S△OCD ＝＝
π﹣16
﹣×
×4 ）2
2．解：连接BC，如图， ∵OD⊥AB， ∴∠AOD＝90°， ∵∠A＝30°， ∴AD＝2OD＝4，OA＝∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC＝AB＝2∴AC＝
BC＝2
， ×
＝6， OD＝2
，
∴CD＝AC﹣AD＝6﹣4＝2．
3．（1）证明：连接OE， ∵AC＝EC，OA＝OE，
∴∠CAE＝∠CEA，∠FAO＝∠FEO， ∵AC⊥AB， ∴∠CAD＝90°， ∴∠CAE+∠EAO＝90°， ∴∠CEA+∠AEO＝90°， 即∠CEO＝90°， ∴OE⊥CD， ∴CE为⊙O的切线；
（2）解：∵∠OAF＝30°，OF＝1 ∴AO＝2； ∴AF＝∴
∵∠AOE＝120°，AO＝2； ∴∴S阴影＝
．
；
即AE＝
；
；
4．解：（1）∵在△ABC中，分别以A，B为圆心，AC，BC为半径在△ABC的外侧构造扇形CAE，扇形CBD，且点E，C，D在同一条直线上，∴∠EAC＝60°，∠CBD＝90°，AE＝AC，BC＝BD，
∴∠AEC＝∠ACE＝×（180°﹣∠EAC）＝60°，∠BCD＝∠BDC＝∠CBD）＝45°，
∴∠ACB＝180°﹣∠ACE﹣∠BCD＝180°﹣60°﹣45°＝75°；
（180°﹣
＝60°，
＝90°，
（2）
过A作AQ⊥EC于Q，过B作BF⊥CD于F，则∠AQC＝∠BFD＝90°， ∵∠ACE＝60°，∠BCD＝45°， ∴∠QAC＝30°，∠FBC＝∠BCD＝45°， ∵AC＝2，BC＝4，
∴CQ＝AC＝由勾股定理得：AQ＝解得：BF＝2AQ+BF＝
+2
， ，
＝1，
＝
，2BF2＝42，
所以点A，B到直线ED的距离的和是5．（1）证明：连接OE．
+2．
∵AB与圆O相切， ∴OD⊥AB．
∵在Rt△BDO中，BD＝2，tan∠BOD＝∴OD＝3．
∵∠A＝90°，OD⊥AB， ∴AE∥OD．
∵OD＝AE＝3，AE∥OD， ∴四边形AEOD为平行四边形， ∴AD∥EO． ∵DA⊥AE， ∴OE⊥AC． 又∵OE为圆的半径， ∴AC为圆O的切线． （2）解：∵OD∥AC， ∴即
，
，
∴AC＝7.5，
∴EC＝AC﹣AE＝7.5﹣3＝4.5，
∴S阴影＝S△BDO+S△OEC﹣（S扇形FOD﹣S扇形EOG） ＝＝3+
＝
．
6．解：（1）连接AO， ∵直径BC＝8， ∴AO＝4， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOC＝60°， ∴劣弧AC的长＝（2）连接AC， ∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB＝90°， ∴AB＝
BC＝4
，
＝π；
∵M为AB的中点， ∴BM＝AB＝2∵MF⊥ME， ∴FM＝BM＝
，BF＝3， ，
延长EM交⊙O于N，过O作OH⊥EN于H，连接ON， 则OH＝FM＝∴NH＝HE＝∴EM＝EH﹣HM＝
7．解：（1）设⊙O半径为r，作OC⊥AB于C点，交弧AB于D点 ∵AB＝12
，
，
，HM＝OF＝4﹣3＝1，
＝﹣1．
＝
，
∴AC＝BC＝AB＝6∵CD＝6， ∴
，
解得：r＝12（cm） 答：截面⊙O的半径为12cm．
（2）连接AD， ∵
∴AD＝OA＝OD
∴△AOD是等边三角形， ∴∠AOD＝60°同理∠BOD＝60° ∴∠AOB＝120° ∴弧长
．
答：截面中有水部分弓形的弧AB的长为8πcm．
8．解：（1）∵AB＝AC， ∴
＝
，
∴∠ABC＝∠ACB， ∵D为∴
＝
的中点， ，
∴∠CAD＝∠ACD， ∴
＝2
，
∴∠ACB＝2∠ACD， 又∵∠DAE＝105°， ∴∠BCD＝105°，
∴∠ACD＝×105°＝35°， ∴∠CAD＝35°；
（2）∵∠DAE＝105°，∠CAD＝35°， ∴∠BAC＝40°，
连接OB，OC， ∴∠BOC＝80°， ∴弧BC的长＝
＝2π．
9．解：（1）∵PA是⊙O的切线， ∴OA⊥PA， ∴∠P＝30°， ∴∠POA＝60°，
∴∠B＝∠POA＝×60°＝30°， （2）如图，连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°且∠B＝30°， ∴BC＝
AC，
设OA＝OB＝OC＝x， 在Rt△AOP中，∠P＝30°， ∴PO＝2OA，
∴2+x＝2x，x＝2．即OA＝OB＝2． 又在Rt△ABC中，∠B＝30°， ∴AC＝AB＝×4＝2，
∴BC＝tan60°•AC＝AC＝2．
10．（1）证明：∵点I是△ABC的内心， ∴∠2＝∠7， ∵DG平分∠ADF， ∴∠1＝∠ADF， ∵∠ADF＝∠ABC， ∴∠1＝∠2， ∵∠3＝∠2， ∴∠1＝∠3， ∴DG∥AC；
（2）证明：∵点I是△ABC的内心， ∴∠5＝∠6，
∵∠4＝∠7+∠5＝∠3+∠6， 即∠4＝∠DAI， ∴DA＝DI；
（3）解：∵∠3＝∠7，∠AED＝∠BAD， ∴△DAE∽△DBA，
∴AD：DB＝DE：DA，即AD：9＝4：AD， ∴AD＝6， ∴DI＝6，
∴BI＝BD﹣DI＝9﹣6＝3．
11．解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上， ∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝90°， 即∠BDF＝90°， ∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径， ∴DF是⊙O的切线．
（2）如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8， ∴
∵点D是AC的中点， ∴
，
＝4
，
∵BD是⊙O的直径， ∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°， ∴
在Rt△BCD中，在Rt△BED中，BE＝
，
＝＝
＝2
， ＝5，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE， ∴∠FDE＝∠DBE， ∵∠DEF＝∠BED＝90°， ∴△FDE∽△DBE， ∴∴
，即．
，
12．（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵AD⊥OC， ∴∠AEC＝90°， ∴∠ADB＝∠AEC， ∵CA是⊙O的切线， ∴∠CAO＝90°， ∴∠ACE＝∠BAD， 在△ACE和△BAD中，
，
∴△ACE≌△BAD（AAS）；
（2）解：连接AM，如图，
∵AD⊥OC，AD＝4， ∴AE＝DE＝AD＝2， ∵△ACE≌△BAD，
∴BD＝AE＝2，CE＝AD＝4， 在Rr△ABD中，AB＝在Rt△ABC中，BC＝
， ，
∵∠CEN＝∠BDN＝90°，∠CNE＝∠BND， ∴△CEN∽△BDN， ∴
，
，
∴BN＝BC＝
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°，即AM⊥CB， ∵CA＝BA，∠CAB＝90°， ∴BM＝BC＝∴MN＝BM﹣BN＝
，
．
13．（1）证明：作OD⊥AB，垂足为D，如图， ∵∠C＝90°，∠ABC＝2∠A， ∴∠A＝30°，∠ABC＝60°， ∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠A＝30°， ∴∠OBC＝30°， ∴∠OBA＝∠OBC， ∴OD＝OC
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠A＝30°，BC＝3 ∴∠AOD＝60°，AB＝2BC＝6，AC＝∵AD＝BD＝AB＝3， ∴OD＝
，
BC＝3
，
∵OD＝OE， ∴∠DOE＝60°，
∴S阴影部分＝S△AOD﹣S扇形DOE＝×
×3﹣
＝
﹣
π＝
．
14．证明：（1）连接OM，
∵OM＝OB， ∴∠OMB＝∠OBM， ∵BM平分∠ABD， ∴∠OBM＝∠MBF， ∴∠OMB＝∠MBF， ∴OM∥BF， ∵MF⊥BD，
∴OM⊥MF，即∠OMF＝90°， ∴MF是⊙O的切线； （2）如图，连接AN，ON
∵＝，
∴AN＝BN＝4 ∵AB是直径，
＝
，
∴∠ANB＝90°，ON⊥AB ∴AB＝
＝4
＝1 ﹣1
∴AO＝BO＝ON＝2∴OC＝∴AC＝2
＝
+1，BC＝2
∵∠A＝∠NMB，∠ANC＝∠MBC ∴△ACN∽△MCB ∴
∴AC•BC＝CM•CN ∴7＝3•CM ∴CM＝ 15．（1）证明： 在△AOB和△AOC，
∴△AOB≌△AOC（SSS）， ∴∠BAO＝∠CAO， ∴AO⊥BC；
（2）证明：∵AO＝BO＝CO，∠BAO＝∠CAO， ∴∠ABO＝∠BAO＝∠CAO＝∠ACO，∠OBC＝∠OCB， ∵∠DOC＝∠DCO，∠DOC＝2∠OBC， ∴∠ABO＝2∠OBC， ∴∠ABO＝∠ABC， ∵3∠CAF＝2∠ABC， ∴∠CAF＝∠ABC， ∴∠CAF＝∠ABO， ∴∠CAF＝∠OCA， ∴AF∥OC， ∵CF⊥AF， ∴CF⊥OC；
（3）解：∵∠AOD＝2∠BAO，∠ADO＝2∠ACO， ∴∠AOD＝∠ADO， ∴AD＝AO＝OC＝1，
∵∠DOC＝∠DCO＝∠CAO， ∴△COD∽△CAO， ∴
＝
，
∴OC2＝CD•AC， 设CD＝x，则AC＝x+1， ∴x（x+1）＝1， 解得x1＝∴CD＝
，x2＝．
，
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