武增明
（云南省玉溪第一中学653100）
摘要：本文赏析2017年湖北省预赛试题高二第2题，主要涉及的数学知识和蕴含的数学思想方法非常丰富．关键词：赛题；数列；最值；赏析中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008－0333（2019）25－0028－01
2017年全国高中数学联赛湖北省预赛试题（高二）第
2题为：已知正项等比数列｛an｝满足a6+a5+a4－a3－a2－a1=49，．则a9+a8+a7的最小值为这是一道看似平淡无奇实则蕴含的数学思想方法非常丰富的数列最值题，题面简洁，立意新颖，构思巧妙，结构优美，设计精巧，很有创意，让人赏心悦目，引起笔者极大的探究兴趣，值得深入解析．
解析1设该等比数列的公比为q，∵an＞0，∴q＞0．
∵a6+a5+a4－a3－a2－a1=49，
∴q3（a3+a2+a1）－（a3+a2+a1）=49，
49
∴a3+a2+a1=3．
q－1
∵a3+a2+a1＞0，∴q3＞1，
49q66
∴a9+a8+a7=q（a3+a2+a1）=3．
q－1
3
∴q3=t+1，∴a9+a8+a7=令q－1=t（t＞0），
49（t+1）249（t+1）249（t2+2t+1）
，．令f（t）=则f（t）=
ttt
1
=49（t++2）．
t
∵t＞0，∴t+
3
所以a9+a8+a7的最小值为196．成立，
49q6
a9+a8+a7=3，解析3由解析1知，
q－1
49q6
（q＞0），则令f（q）=3求导并化简得f'（q）=q－1
49×3q5（q3－2）1/3
．由f'（q）＞0，得q＞2；由f'（q）＜0，得032
（q－1）
＜q＜21/3．所以f（q）在（0，21/3］21/3，+∞）上单调递减，在［
1/36
49×（2）1/3
=196，上单调递增．从而f（q）min=f（2）=即
（21/3）3－1
a9+a8+a7的最小值为196．
解析4设该等比数列的公比为q，∵a6+a5+a4－a3－a2－a1=49，
∴a1q5+a1q4+a1q3－a1q2－a1q－a1=49，∴a1q3（q2+q+1）－a1（q2+q+1）=49，∴a1（q2+q+1）（q3－1）=49．
∴a9+a8+a7=a1q8+a1q7+a1q6=a1q6（q2+q+1）49q6=3．q－1
以下略，解法同上述解析1、解析2、解析3．
n－m
解析1是运用等比数列｛an｝的性质an=amq，通过代换，转化为关于公比q的函数．解析4是运用等比数列｛an｝的通项公式an=a1qn－1，通过代换，转化为关于公比q的函数．解析1、解析2，解析3、解析4的共同核心都是回归到函数问题．
1≥2t
槡t·
1=2，当且仅当t=1时t
2时等号成立．等号成立，即q=槡∴f（t）≥49×（2+2）=196，
∴a9+a8+a7≥196，2时等号成立．当且仅当q=槡a9+a8+a7的最小值为196．综上，
49q649q6
a9+a8+a7=3，=解析2由解析1知，则3
q－1q－11（q3）2－1+1
49·）=49·［（q3－1）=49·（q3+1+33
q－1q－1
31
+32时等号+2］≥49·（2+2）=196，当且仅当q=槡q－1
3
参考文献：
［1］——求数列最值项问题的捷张丙成．回归到函数—J］．数学教学，2008（6）：31－32．径［［2］J］．福建何春良．例谈数列最值问题的一般解法［
2011（9）：48－49．中学数学，
［责任编辑：杨惠民］
收稿日期：2019－06－05
作者简介：武增明（1965．5－），男，云南省玉溪人，本科，中学高级教师，从事高中数学教学及其研究．
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