2020年四川省成都市中考数学一诊试卷解析版

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（﹣2）×＝（ ） A．﹣2

B．1

C．﹣1

D．

2．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3＝0时，原方程可变形为（ ） A．（x+2）2＝1

B．（x+2）2＝7

C．（x+2）2＝13

D．（x+2）2＝19

3．（3分）下列几何体的主视图是三角形的是（ ）

A． B． C． D．

4．（3分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

5．（3分）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A．对角线相等 C．对角线互相垂直

B．对角线互相平分 D．邻边互相垂直

，则sinB的值是（ ）

6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝1，BC＝2，AB＝

A．

B．

C．2

D．

7．（3分）如图，A、B、C是半径为3的⊙O上的三点，已知∠C＝30°，则弦AB的长为（ ）

A．3

B．6

C．3.5

D．1.5

8．（3分）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1＜y3＜y2

B．y1＜y2＜y3

C．y3＜y2＜y1

D．y2＜y1＜y3

9．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ） A．560（1+x）2＝315 C．560（1﹣2x）2＝315

B．560（1﹣x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315

10．（3分）如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）

A．

＝

B．

＝

C．∠B＝∠D

D．∠C＝∠AED

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

11．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，cos∠A＝，则∠A等于 ．

12．（4分）方程2x﹣4＝0的解也是关于x的方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值为 ． 13．（4分）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 ．

14．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则点（，）在第 象限．

三、解答题（本大题共6个小题，共分） 15．（12分）（1）计算：

﹣4sin45°+（2019﹣π）0﹣32

（2）解方程：（x+5）（x+1）＝21

16．（6分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F． （1）求证：∠DCP＝∠DAP；

（2）如果PE＝3，EF＝5，求线段PC的长．

17．（8分）为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．

请结合图中信息，解决下列问题： （1）求此次调查中接受调查的人数． （2）求此次调查中结果为非常满意的人数．

（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率．

18．（8分）如图，一航船在A处测到北偏东60°的方向有一灯塔B，航船向东以每小时20海里的速度航行2小时到达C处，又测到灯塔B在北偏东15°的方向上．求此时航船与灯塔相距多少海里？（结果保留根号）

19．（10分）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2＝相交于B（﹣1，5），C（，d）两点．

（1）利用图中条件，求反比例和一次函数的解析式； （2）连接OB，OC，求△BOC的面积．

20．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE； （3）若DE＝4，sinC＝，求AD之长．

一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）B卷（共50分）

21．（4分）点P（a，b）是直线y＝x﹣2上一点，则代数式a2﹣2ab+b2﹣1的值为 ． 22．（4分）有五张正面分别标有数﹣7，0，1，2，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程

﹣2＝

有正整数解的概率为 ．

23．（4分）如图，直线AB交双曲线y＝于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连结OA．若S△OAC＝，则k的值为 ．

24．（4分）在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，

），过点B作直线BC∥x轴，点P

是直线BC上的一个动点，以AP为边在AP右侧作Rt△APQ，使∠APQ＝90°，且AP：PQ＝1：

，连结AB、BQ，则△ABQ周长的最小值为 ．

25．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为对角线BD的中点，点F在CB的延长线上，且BF＝1，连接EF，过点E作EG⊥EF交BA的延长线于点G，连接

GF并延长交DB的延长线于点H，则＝ ．

三、解答題（本大題共3个小題，共30分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

26．（8分）某厂按用户需求生产一种产品，成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元．经市场调查，每年的销售量y（件）与每件售价x（万元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（万元/件） 销售量y（件）

25 50

30 40

35 30

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设商品每年的总利润为W（万元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；

（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少万元时获得最大利涧，最大利润是多少？

27．（10分）（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D、E分别为边AB、AC上的一点，将图形沿线段DE所在的直线翻折，使点A落在BC边上的点F处．求证：BF•CF＝BD•CE． （2）如图2，按图1的翻折方式，若等边△ABC的边长为4，当DF：EF＝3：2时，求sin∠DFB的值；

（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2

，点D是AB边上

的中点，在BC的下方作射线BE，使得∠CBE＝30°，点P是射线BE上一个动点，当∠DPC＝60°时，求BP的长；

28．（12分）如图，一次函数y＝

x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，点C的坐标为（﹣

1，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图1，已知点D（1，n）在抛物线上，作射线BD，点Q为线段AB上一点，过点Q作QM⊥y轴于点M，作QN⊥BD于点M，过Q作QP∥y轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接AP，若点E为抛物线上一点，且满足∠APE＝∠ABO，求点E的坐标．

参与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）（﹣2）×＝（ ） A．﹣2

B．1

C．﹣1

D．

【分析】根据有理数乘法的法则进行计算即可． 【解答】解：（﹣2）×＝﹣1， 故选：C．

2．（3分）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣3＝0时，原方程可变形为（ ） A．（x+2）2＝1

B．（x+2）2＝7

C．（x+2）2＝13

D．（x+2）2＝19

【分析】把方程两边加上7，然后把方程左边写成完全平方式即可． 【解答】解：x2+4x＝3， x2+4x+4＝7， （x+2）2＝7． 故选：B．

3．（3分）下列几何体的主视图是三角形的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】主视图是从物体正面看，所得到的图形． 【解答】解：A、圆柱的主视图是矩形，故此选项错误； B、圆锥的主视图是三角形，故此选项正确； C、球的主视图是圆，故此选项错误；

D、正方体的主视图是正方形，故此选项错误； 故选：B．

4．（3分）一个盒子装有除颜色外其它均相同的2个红球和3个白球，现从中任取2个球，则取到的是一个红球、一个白球的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与取到的是一

个红球、一个白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得：

∵共有20种等可能的结果，取到的是一个红球、一个白球的有12种情况， ∴取到的是一个红球、一个白球的概率为：故选：C．

5．（3分）下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A．对角线相等 C．对角线互相垂直

B．对角线互相平分 D．邻边互相垂直 ＝．

【分析】菱形的性质有：四边形相等，两组对边分别平行，对角相等，邻角互补，对角线互相垂直且平分，且每一组对角线平分一组对角．

矩形的性质有：两组对边分别相等，两组对边分别平行，四个内角都是直角，对角线相等且平分．

【解答】解：（A）对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有； （B）对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；

（C）对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有； （D）邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一定具有． 故选：C．

6．（3分）如图，在△ABC中，AC＝1，BC＝2，AB＝

，则sinB的值是（ ）

A．

B．

C．2

D．

【分析】利用正弦函数的定义计算即可．

【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝2，AB＝∴sinB＝故选：B．

．

，

7．（3分）如图，A、B、C是半径为3的⊙O上的三点，已知∠C＝30°，则弦AB的长为（ ）

A．3

B．6

C．3.5

D．1.5

【分析】根据圆周角定理求出∠AOB，根据等边三角形的判定求出△AOB是等边三角形，再根据等边三角形的性质得出即可． 【解答】解：∵∠C＝30°，

∴根据圆周角定理得：∠AOB＝2∠C＝60°， ∵OA＝OB＝3，

∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OA＝3， 故选：A．

8．（3分）若点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ） A．y1＜y3＜y2

B．y1＜y2＜y3

C．y3＜y2＜y1

D．y2＜y1＜y3

【分析】直接利用反比例函数图象的分布，结合增减性得出答案．

【解答】解：∵点A（﹣5，y1），B（﹣3，y2），C（2，y3）在反比例函数y＝的图象上， ∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，每个图象上y随x的增大减小， ∴y3一定最大，y1＞y2， ∴y2＜y1＜y3． 故选：D．

9．（3分）某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（ ） A．560（1+x）2＝315

B．560（1﹣x）2＝315

C．560（1﹣2x）2＝315 D．560（1﹣x2）＝315

【分析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是560（1﹣x），第二次后的价格是560（1﹣x）2，据此即可列方程求解．

【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意得： 560（1﹣x）2＝315， 故选：B．

10．（3分）如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定△ABC∽△ADE的是（ ）

A．

＝

B．

＝

C．∠B＝∠D

D．∠C＝∠AED

【分析】利用相似三角形的判定依次判断可求解； 【解答】解：∵∠DAB＝∠CAE， ∴∠DAE＝∠BAC， A、若B、若

，且∠DAE＝∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项A符合题意； ，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项B不符合题意；

C、若∠B＝∠D，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意； D、若∠C＝∠AED，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项D不符合题意； 故选：A．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）

11．（4分）在△ABC中，若∠C＝90°，cos∠A＝，则∠A等于 60° ． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出即可． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°，cos∠A＝， ∴∠A＝60°， 故答案为：60°．

12．（4分）方程2x﹣4＝0的解也是关于x的方程x2+mx+2＝0的一个解，则m的值为 ﹣3 ． 【分析】先求出方程2x﹣4＝0的解，再把x的值代入方程x2+mx+2＝0，求出m的值即可．

【解答】解：2x﹣4＝0， 解得：x＝2，

把x＝2代入方程x2+mx+2＝0得： 4+2m+2＝0， 解得：m＝﹣3． 故答案为：﹣3．

13．（4分）如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，则BD的长为 2 ．

【分析】如图，作CE⊥AB于E，在Rt△BCE中利用30度性质即可求出BE，再根据垂径定理可以求出BD．

【解答】解：如图，作CE⊥AB于E．

∵∠B＝180°﹣∠A﹣∠ACB＝180°﹣20°﹣130°＝30°， 在Rt△BCE中，∵∠CEB＝90°，∠B＝30°，BC＝2， ∴CE＝BC＝1，BE＝∵CE⊥BD， ∴DE＝EB， ∴BD＝2EB＝2故答案为2

．

．

CE＝

，

14．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图，则点（，）在第 三 象限．

【分析】根据抛物线的开口向上可得：a＞0，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以b＞0．根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得：c＜0．所以bc＜0，所以点（，）在第三象限．

【解答】解：∵抛物线的开口向上， ∴a＞0，

∵对称轴在y轴左边， ∴a，b同号，即b＞0，

∵抛物线与y轴的交点在负半轴， ∴c＜0， ∴＜0，＜0，

∴点（，）在第 三象限． 故答案是：三．

三、解答题（本大题共6个小题，共分） 15．（12分）（1）计算：

﹣4sin45°+（2019﹣π）0﹣32

（2）解方程：（x+5）（x+1）＝21

【分析】（1）根据实数的混合运算顺序和运算法则计算可得； （2）先整理成一般式，再利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）原式＝2＝2

﹣2

﹣8

﹣4×

+1﹣9

＝﹣8；

（2）方程整理，得：x2+6x﹣16＝0，

∵（x﹣2）（x+8）＝0， ∴x﹣2＝0或x+8＝0， 解得x＝2或x＝﹣8．

16．（6分）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F． （1）求证：∠DCP＝∠DAP；

（2）如果PE＝3，EF＝5，求线段PC的长．

【分析】（1）由菱形的性质可得AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，CD∥AB，由“SAS”可证△ADP≌△CDP，可得结论； （2）通过证明△APE∽△FPA，可得

，可求AP的长，即可求解．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，CD∥AB， ∵AD＝CD，∠ADB＝∠CDB，且DP＝DP， ∴△ADP≌△CDP（SAS） ∴AP＝PC，∠DCP＝∠DAP； （2）∵CD∥AB，

∴∠DCP＝∠F，且∠DCP＝∠DAP， ∴∠F＝∠DAP，且∠APE＝∠APF， ∴△APE∽△FPA， ∴∴∴AP＝2∴PC＝2

， ， ， ．

17．（8分）为了解市民对全市创卫工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在全市甲、乙两个区内进行了调查统计，将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、

整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．

请结合图中信息，解决下列问题： （1）求此次调查中接受调查的人数． （2）求此次调查中结果为非常满意的人数．

（3）兴趣小组准备从调查结果为不满意的4位市民中随机选择2位进行回访，已知4位市民中有2位来自甲区，另2位来自乙区，请用列表或用画树状图的方法求出选择的市民均来自甲区的概率．

【分析】（1）由满意的有20人，占40%，即可求得此次调查中接受调查的人数． （2）由（1），即可求得此次调查中结果为非常满意的人数．

（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选择的市民均来自甲区的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）∵满意的有20人，占40%， ∴此次调查中接受调查的人数：20÷40%＝50（人）；

（2）此次调查中结果为非常满意的人数为：50﹣4﹣8﹣20＝18（人）；

（3）画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，选择的市民均来自甲区的有2种情况， ∴选择的市民均来自甲区的概率为：

＝．

18．（8分）如图，一航船在A处测到北偏东60°的方向有一灯塔B，航船向东以每小时20海里的速度航行2小时到达C处，又测到灯塔B在北偏东15°的方向上．求此时航船与

灯塔相距多少海里？（结果保留根号）

【分析】过C作CD⊥AB，垂足为D，在直角△ACD中，根据三角函数求得CD的长，再在直角△BCD中运用三角函数即可求解． 【解答】解：作CD⊥AB，垂足为点D． 根据题意可得∠BAC＝30°，∠ACB＝105°， ∴∠B＝45°，

∵AC＝20×2＝40（海里），

∴DC＝AC•sin30°＝40×＝20（海里）， ∴BC＝DC÷sin45°＝20÷答：此时航船与灯塔相距20

＝20海里．

（海里）．

19．（10分）如图，已知一次函数y1＝kx+b的图象与x轴相交于点A，与反比例函数y2＝相交于B（﹣1，5），C（，d）两点．

（1）利用图中条件，求反比例和一次函数的解析式； （2）连接OB，OC，求△BOC的面积．

【分析】（1）将点B的坐标代入反比例函数解析式求出c，从而得解，再将点C的坐标代入反比例函数解析式求出d，从而得到点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式求解；

（2）根据一次函数解析式求出点A的坐标，再根据S△BOC＝S△AOB+S△AOC列式计算即可得解．

【解答】解：（1）将B（﹣1，5）代入y2＝得，解得c＝﹣5，

所以，反比例函数解析式为y＝﹣， 将点C（，d）代入y＝﹣得d＝﹣

＝﹣2，

＝5，

所以，点C的坐标为（，﹣2），

将点B（﹣1，5），C（，﹣2）代入一次函数y1＝kx+b得，

，

解得，

所以，一次函数y1＝﹣2x+3；

（2）令y＝0，则﹣2x+3＝0， 解得x＝，

所以，点A的坐标为（，0）， 所以，OA＝，

S△BOC＝S△AOB+S△AOC， ＝××5+××2， ＝

．

20．（10分）如图，在Rt△ABC中，AB⊥BC，以AB为直径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）设⊙O的半径为r，证明r2＝AD•OE； （3）若DE＝4，sinC＝，求AD之长．

【分析】（1）连接OD、BD，根据圆周角定理求出∠BDA＝∠BDC＝90°，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质求出∠ECD＝∠EDC，∠EBD＝∠EDB即可． （2）连接OE，构造相似三角形△ADB∽△ODE，由该相似三角形的对应边成比例证得结论；

（3）根据圆周角定理得到∠ADB＝∠BDC＝90°，根据直角三角形的性质得到BC＝8；然后由sinC＝求出AC的长，再根据切割线定理求出AD的长即可． 【解答】（1）证明：连接OD、BD， ∵AB为圆O的直径， ∴∠BDA＝90°，

∴∠BDC＝180°﹣90°＝90°， ∵E为BC的中点， ∴DE＝BC＝BE， ∴∠EBD＝∠EDB，

∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠ODB， ∵∠EBD+∠DBO＝90°， ∴∠EDB+∠ODB＝90°， ∴∠ODE＝90°， ∴DE是圆O的切线．

（2）证明：如图，连接BD．

由（1）知，∠ODE＝∠ADB＝90°，BD⊥AC． ∵E是BC的中点，O是AB的中点， ∴OE是△ABC的中位线， ∴OE∥AC， ∴OE⊥BD． ∴OE∥AC， ∴∠1＝∠2． 又∵∠1＝∠A， ∴∠A＝∠2．

即在△ADB与△ODE中，∠ADB＝∠ODE，∠A＝∠2， ∴△ADB∽△ODE． ∴

＝

，即

＝

．

∴r2＝AD•OE；

（3）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°， ∵点E为BC的中点， ∴BC＝2DE＝8， ∵sinC＝，

∴设AB＝3x，AC＝5x，

根据勾股定理得：（3x）2+82＝（5x）2，

解得x＝2． 则AC＝10．

由切割线定理可知：82＝（10﹣AD）×10， 解得，AD＝3.6．

一、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）B卷（共50分）

21．（4分）点P（a，b）是直线y＝x﹣2上一点，则代数式a2﹣2ab+b2﹣1的值为 3 ． 【分析】先把点（a，b）代入一次函数y＝x﹣2求出a﹣b的值，再代入代数式进行计算即可．

【解答】解：∵点（a，b）在一次函数y＝x﹣2上， ∴b＝a﹣2，即a﹣b＝2，

∴原式＝（a﹣b）2﹣1＝22﹣1＝4﹣1＝3． 故答案为：3．

22．（4分）有五张正面分别标有数﹣7，0，1，2，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将卡片上的数记为a，则使关于x的方程

﹣2＝

有正整数解的概率为

．

【分析】易得分式方程的解，看所给5个数中，能使分式方程有整数解的情况数占总情况数的多少即可． 【解答】解：解得：x＝

，

﹣2＝

，

∵分式方程的解为正整数， ∴a+1＞0， 又∵x≠1，

∴a≠5，

∴a＝0或a＝1或a＝2，

∴使关于x的分式方程有正整数解的概率为． 故答案为：．

23．（4分）如图，直线AB交双曲线y＝于A、B两点，交x轴于点C，且B恰为线段AC的中点，连结OA．若S△OAC＝，则k的值为

．

【分析】设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0），根据线段中点坐标公式得到B点坐标为（

，

），利用反比例函数图象上点的坐标特征得到

•

＝k，得到b＝

3a，然后根据三角形面积公式得到•3a•＝，于是可计算出k＝． 【解答】解：设A点坐标为（a，），C点坐标为（b，0）， ∵B恰为线段AC的中点， ∴B点坐标为（

，

），

∵B点在反比例函数图象上， ∴

•

＝k，

∴b＝3a， ∵S△OAC＝， ∴b•＝， ∴•3a•＝， ∴k＝．

故答案为．

24．（4分）在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，

），过点B作直线BC∥x轴，点P

是直线BC上的一个动点，以AP为边在AP右侧作Rt△APQ，使∠APQ＝90°，且AP：PQ＝1：

，连结AB、BQ，则△ABQ周长的最小值为 2+2 ．

【分析】设P（m，

）．作AM⊥BC于M，QN⊥BC于N．利用新三角形的性质求出点

x+5

，作点A关于直线y＝﹣

x+5

Q的坐标推出，点Q的运动轨迹是直线y＝﹣

的对称点A′，连接BA′交直线于Q′，连接AQ′，此时△ABQ′的周长最小． 【解答】解：设P（m，

）．作AM⊥BC于M，QN⊥BC于N．

∵∠AMP＝∠APQ＝∠QNP＝90°，

∴∠APM+∠NPQ＝90°，∠NPQ+∠PQN＝90°， ∴∠APM＝∠PQN， ∴△AMP∽△PNQ， ∴∴

＝＝

＝＝

＝， （m﹣1）， ﹣

m），

x+5

，

，

∴PN＝3，NQ＝∴Q（m+3，2

∴点Q的运动轨迹是y＝﹣作点A关于直线y＝﹣

x+5

的对称点A′，连接BA′交直线于Q′，连接AQ′，

此时△ABQ′的周长最小．

∵A′（7，2∴A′B＝

），B（0，

＝2

），A（1，0）， ，AB＝

＝2，

+2，

∴△ABQ的周长的最小值＝AQ′+BQ′+AB＝A′Q′+BQ′+AB＝A′B+AB＝2故答案为2

+2．

25．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为对角线BD的中点，点F在CB的延长线上，且BF＝1，连接EF，过点E作EG⊥EF交BA的延长线于点G，连接GF并延长交DB的延长线于点H，则

＝

．

【分析】过点E作EM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N，则EM＝2，EN＝BM＝3，求出EF的长和GN的长，则GB的长可求出，证明△FEH∽△BGH，可得出结论．

【解答】解：过点E作EM⊥BC于点M，过点E作EN⊥AB于点N，

得

∴四边形ENBM是矩形， ∵E是BD的中点， ∴EM＝

＝2，EN＝BM＝

＝3，

∴MF＝BF+BM＝1+3＝4， ∴

∵EG⊥EF， ∴∠GEF＝90°， ∴∠EGB＝∠BFE，

＝

＝2

，

∴tan∠EGB＝tan∠BFE， ∴

，

∴GN＝6，

∴GB＝GN+BN＝6+2＝8 ∵∠GEF＝∠GBF＝90° ∴G，E，B，F四点共圆， ∴∠BGF＝∠BEF， ∵∠EHF＝∠GHB， ∴△FEH∽△BGH， ∴∴故答案为：

． ，

．

三、解答題（本大題共3个小題，共30分．解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）

26．（8分）某厂按用户需求生产一种产品，成本每件20万元，规定每件售价不低于成本，且不高于40万元．经市场调查，每年的销售量y（件）与每件售价x（万元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 售价x（万元/件） 销售量y（件）

25 50

30 40

35 30

（1）求y与x之间的函数表达式；

（2）设商品每年的总利润为W（万元），求W与x之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本）；

（3）试说明（2）中总利润W随售价x的变化而变化的情况，并指出售价为多少万元时获得最大利涧，最大利润是多少？

【分析】（1）根据题意可以设出y与x之间的函数表达式，然后根据表格中的数据即可求得y与x之间的函数表达式；

（2）根据题意可以写出W与x之间的函数表达式；

（3）根据（2）中的函数解析式，将其化为顶点式，然后根据成本每千克20元，规定每

千克售价不低于成本，且不高于40元，即可得到利润W随售价x的变化而变化的情况，以及售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少．

【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），

，

解得，

即y与x之间的函数表达式是y＝﹣2x+100； （2）由题意可得，

W＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000， 即W与x之间的函数表达式是W＝﹣2x2+140x﹣2000；

（3）∵W＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，20≤x≤40，

∴当20≤x≤35时，W随x的增大而增大，当35≤x≤40时，W随x的增大而减小， 当x＝35时，W取得最大值，此时W＝450，

答：当20≤x≤35时，W随x的增大而增大，当35≤x≤40时，W随x的增大而减小，售价为35元时获得最大利润，最大利润是450元．

27．（10分）（1）如图1，△ABC为等边三角形，点D、E分别为边AB、AC上的一点，将图形沿线段DE所在的直线翻折，使点A落在BC边上的点F处．求证：BF•CF＝BD•CE． （2）如图2，按图1的翻折方式，若等边△ABC的边长为4，当DF：EF＝3：2时，求sin∠DFB的值；

（3）如图3，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2

，点D是AB边上

的中点，在BC的下方作射线BE，使得∠CBE＝30°，点P是射线BE上一个动点，当∠DPC＝60°时，求BP的长；

【分析】（1）先利用等式的性质判断出∠BDF＝∠CFE，进而得出△BDF∽△CFE，即可得出结论；

（2）先表示出BH＝x，DH＝x，再由（1）△BDF∽△CFE，进而表示出CF＝2x，

BF＝BC﹣CF＝4﹣2x，HF＝BF﹣BH＝4﹣2x﹣x＝4﹣x，再利用勾股定理建立方程求出x的值，即可得出结论．

【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴∠BDF+∠BFD＝180°﹣∠B＝120°， 由折叠知，∠DFE＝∠A＝60°， ∴∠CFE+∠BFD＝120°， ∴∠BDF＝∠CFE， ∵∠B＝∠C＝60°， ∴△BDF∽△CFE， ∴

，

∴BF•CF＝BD•CE；

（2）解：如图2，设BD＝3x（x＞0），则AD＝AB﹣BD＝4﹣3x， 由折叠知，DF＝AD＝4﹣3x， 过点D作DH⊥BC于H， ∴∠DHB＝∠DHF＝90°， ∵∠B＝60°， ∴BH＝x，DH＝

x，

由（1）知，△BDF∽△CFE， ∴

＝

，

∵DF：EF＝3：2， ∴

＝，

CF＝2x，

∴BF＝BC﹣CF＝4﹣2x，

∴HF＝BF﹣BH＝4﹣2x﹣x＝4﹣x， 在Rt△DHF中，DH2+HF2＝DF2，

∴（

x）2+（4﹣x）2＝（4﹣3x）2，

∴x＝0（舍）或x＝， ∴DH＝

，DF＝4﹣3×＝

，

∴sin∠DFB＝＝＝；

（3）如图3，在Rt△ABC中，AC＝2∴BC＝2AC＝4

，AB＝

AC＝6，

，∠ABC＝30°，

∵点D是AB的中点， ∴BD＝AB＝3，

过点C作BC的垂线交BP的延长线于Q， ∴∠BCQ＝90°，

在Rt△BCQ中，∠CBE＝30°， ∴CQ＝

＝4，

∴BQ＝2CQ＝8， ∴∠BCQ＝90°， ∵∠CBE＝30°，

∴∠Q＝90°﹣∠CBE＝60°，

∴∠DBP＝∠ABC+∠CBE＝60°＝∠Q， ∴∠CPQ+∠PCQ＝120°， ∵∠DPC＝60°， ∴∠BPD+∠CPQ＝120°， ∴∠BPD＝∠PCQ， ∴△BDP∽△QPC， ∴∴

＝

， ，

∴BP＝2或BP＝6．

28．（12分）如图，一次函数y＝

x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，点C的坐标为（﹣

1，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过A、B、C三点．

（1）求二次函数的解析式；

（2）如图1，已知点D（1，n）在抛物线上，作射线BD，点Q为线段AB上一点，过点Q作QM⊥y轴于点M，作QN⊥BD于点M，过Q作QP∥y轴交抛物线于点P，当QM与QN的积最大时，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接AP，若点E为抛物线上一点，且满足∠APE＝∠ABO，求点E的坐标．

【分析】（1）一次函数y＝

x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，则点A、B的坐标分

别为：（0，2）、（4，0），即可求解；

（2）即直线BD的倾斜角为45°，则∠QGN＝45°，QN＝

QG，QM•QN＝m×

（﹣

m+4+m﹣2）＝

（﹣m2+2m），即可求解；

（3）分PE在AP下方、PE在AP上方两种情况，利用解直角三角形的方法，分别求解即可．

【解答】解：（1）一次函数y＝标分别为：（0，2）、（4，0），

则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣4）（x+1）＝a（x2﹣3x﹣4）， 即﹣4a＝2，解得：a＝﹣，

则抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2…①；

（2）点D（1，3），点B（4，0），则BD所在的函数表达式为：y＝﹣x+4； 即直线BD的倾斜角为45°，则∠QGN＝45°，QN＝设点Q（m，﹣m+2），则点G（m，﹣m+4）， QM•QN＝m×

（﹣m+4+m﹣2）＝

（﹣m2+2m），

QG，

x+2的图象与坐标轴交于A、B两点，则点A、B的坐

当m＝2时，QM与QN的积最大，则点P（2，3）；

（3）设：∠APE＝∠ABO＝∠α，则tan①当PE在AP下方时，如图，

；

由点A（0，2）、P（2，3）知， AP＝

，设AP与y轴的夹角为β，则tanβ＝2，

过点H作MH⊥PA交PA的延长线于点M， 设：MA＝x，则MH＝2x，

tan∠APH＝解得：x＝

＝＝tanα＝，

x＝，则点H（0，），

，则AH＝

由点H、P的坐标得，直线PH的表达式为：y＝x+…②， 联立①②并解得：x＝2（舍去）或﹣， 故点E（﹣，﹣

）；

②当PE在AP上方时， 同理可得：点E（1，3）； 综上，点E的坐标为：（﹣，﹣）或E（1，3）．