第七届“希望杯”全国数学邀请赛初二第2试(1996年)

初二第2试

一、选择题: 1.化简:xyA．y2x2；B．x2y2；C．x24y2；D．4x2y2；

2．已知：1ba0，那么ab,ab,a1,a1的大小关系是（ ） A．ababa1a1；B．a1ababa1； C．a1ababa1；D．ababa1a1；

23．已知xax12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a的个数是（ ） A．3个；B．4个；C．6个；D．8个；

4．如图35，ABC中，ABAC,B36,D,E是BC上两点，使ADEAED2BAD，则图

中的等腰三角形一共有（ ）

A．3个；B．4个；C．5个；D．6个；

5．如图36，ABC中，ABAC,CDAB交AB于D,ABC的平分线BE交CD与E，则BEC的大小是（ ） A.1354xy4xyxy的结果是（ ）

xyxy1111A；B.135A；C.90A；D.180A； 4422

226．三角形的三边长分别为2n2n,2n1,2n2n1（n是自然数），这样的三角形是（ ） A．锐角三角形；B．直角三角形；C．钝角三角形；D．锐角三角形或直角三角形；

7．暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定：若大人买一张全票，则两个孩子的费用可按全票价的七折优惠；乙旅行社规定：三人旅行可按团体票计价，即按原价的80%收费，若两家旅行社的原价相同，则当实际收费时（ ）

A．甲比乙低；B．乙比甲低；C．甲、乙相同；D．是甲低还是乙低，视原价而定；

222x182为整数，则符合条件的x的所有值的和为（ ） x33xx9A．12；B．15；C．18；D．20；

9．在ABC中，B2C，则AC与2AB之间的大小关系是（ ） A．AC2AB；B．AC2AB；C．AC2AB；D．AC2AB；

10．有一架不准确的天平（左臂长为a厘米，右臂长为b厘米，ab）某人用它来计量某件重物，先将重物放在左盘，砝码放在右盘，需用m1千克使天平平衡；然后再将重物放在右盘，砝码放在左盘,需用m2mm2千克使天平平衡，于是用Q1千克估算重物的实际重量，若重物的实际重量为P千克，那么（ ）

2A．QP；B．QP；C．QP；D．QP；

8.已知x为整数,且二、填空题

11．因式分解：ac4abc4abc________； 12．如图37，ABC中，ADBC,AE平分BAC,B70,C34，则DAE的大小是________；

32237aa613.当a时，代数式122a2aa622281的值是________；

a52x1x14.若的值是________； 1，则

2xx111a2abb15. 若4，则的值是________；

ab2a7ab2b16．已知关于x的方程a(x3)b(3x1)5(x1)有无穷多个解，那么a________，b________； 17．如图38，ABCD是平形四边形，E在AC上，AE2EC,F在AB上，BF2AF，如果BEF的面积是2平方厘米，则ABCD的面积是________；

18．如图39，在ABC中，A30,B45,D在AB上，E在AC上，且使AEECDE，那么AD:BC等于________；

19．某学校现有学生2300人，与去年相比，男生人数增加了25%，女生人数减少了25%，全校人数增加了15%，则现在全校有男生________；

20.如图40，P是等边三角形ABC中的一个点，PA2,PB23,PC4，则三角形ABC的边长为________；

三、解答题

21．已知多项式xaxbxc中，a,b,c为常数，当x1时，多项式的值是1；当x2时，多项式的值是2；若当x是8和5时，多项式的值分别为M与N，求MN的值；

22．如图41，在直角AOB内有一点P,OPa,POA30，过P点做一直线MN与OA,OB分别相交于M,N，使MON的面积最小．

（1）此时线段MN的位置是（ ）A．MNOP；B．OMON；C．OM2ON；D．PMPN； （2）此时MON的面积是______．

OB为一锐角，P是锐角内一定点MN（3）若A（如图42），过P点的直线与OA,OB交于M,N，使O的面积最小，应怎样画出MN的位置（简述画法并保留画图痕迹），并证明你的结论；

2222

答案·提示

选择题 提示：

∴选B．

2．∵－1＜b＜a＜0， ∴a＋b＜a－b． ∵b＞－1， ∴a－1＜a＋b． 又∵－b＜1， ∴a－b＜a＋1．

综上得a－1＜a＋b＜a－b＜a＋1，∴选C．

3．设x2＋ax－12能分解成两个整系数一次因式的乘积，即 x2＋ax－12=（x＋m）（x＋n），m，n是整数． ∴x2＋ax－12=x2＋（m＋n）x＋mn．

∵m，n是整数，且mn=－12．

而a=m＋n，只有6种结果，∴选C． 4．△ABC中，AB=AC，∠B=36°，

∴∠C=36°，∠A=180°－2×36°=108°． 又∠ADE=2∠BAD=∠BAD＋∠B， ∴∠BAD=∠B=36°． 同理∠EAC=∠C=36°．

∴∠ADE=∠AED=72°，∠DAE=36°． ∴∠BAE=∠CAD=72°．

于是等腰三角形有△ABC，△ADE，△ABD，△AEC，△ABE，△ADC，共6个，选D． 5．∵△ABC中，AB=AC，

又BE是∠ABC的平分线，

∵∠BEC是△BED的外角

∴∠BEC=∠BDE＋∠DBE∴选A． 6．∵n是自然数

∴（2n2＋2n＋1）2－（2n2＋2n）2

=[（2n2＋2n＋1）＋（2n2＋2n）][（2n2＋2n＋1）－（2n2＋2n）]

=4n2＋4n＋1=（2n＋1）2

∴三角形的三边长满足勾股定理． ∴三角形是直角三角形，选B．

7．设原价为a元．则甲旅行社收费=a＋2·70%a=2.4a．乙旅行社收费=3·80%a=2.4a． ∴选C．

∴当x－3=1或x－3=－1或x－3=2或x－3=－2时，原式的值为整数． 此时x1=4，x2=2，x3=5，x4=1． ∴x1＋x2＋x3＋x4=12，选A．

9．如图43，延长CB到D，使DB=AB，连接AD．在△ABD中，AB=BD， ∴∠BAD=∠D．

又∠ABD是△ABD的外角， ∴∠ABC=2∠D． 由已知∠ABC=2∠C，

∴∠C=∠D，△ADC是等腰三角形． ∴AD=AC．

在△ABD中，AB＋BD＞AD，即2AB＞AC，∴选（D）． 10．重物的实际重量为P． ∴Pa=m1b．

∵a≠b，

∴（a－b）2＞0． ∴Q＞P，选（A）． 二、填空题 提示：

11．a3c－4a2bc＋4ab2c=ac（a2－4ab＋4b2）=ac（a－2b）2． 12．△ABC中，∠B=70°，∠C=34°． ∴∠BAC=180°－（70°＋34°）=76°． 又AE平分∠BAC， ∴∠BAE=38°．

Rt△ABD中，∠B=70°， ∴∠BAD=20°．

∴∠DAE=∠BAE－∠BAD=38°－20°=18°

∴x=|x|－1．

若x≥0，则x=x－1，矛盾． ∴x＜0．

有x=－x－1，2x=－1．

∴a≠0，b≠0．

用ab分别除原式的分子分母得

16．整理关于x的方程．

a（x－3）＋b（3x＋1）=5（x＋1）． （a＋3b－5）x－（3a－b＋5）=0． ∵方程有无穷多解

17．比较△AEF和△BEF，可以看作是等高不同底的三角形． ∴S△AEF：S△BEF=AF：BF=1：2．

∴S△ABF=3（平方厘米）．

比较△ABE和△CBE，它们也是等高不同底的三角形． ∴S△ABE：S△CBE=AE：EC=2：1．

SABCD=2S△ABC=9（平方厘米）

18．如图44，连接CD，在△ACD中，AE=EC=DE． ∴∠CDA=90°，

△ADC是直角三角形． 又∵∠A=30°，

∴AC=2CD， 在Rt△BCD中，∠B=45°，

19．解法1：设学校现有男生x人，女生为y人，则

由①式得y=2300－x． ④

∴x=2000（人）．

解法2：设学校去年有男生x人，女生y人，则

解得x=1600，y=400．

∴今年学校有男生1600×（1＋25%）=2000人．

20．如图45，将△BAP绕B点逆时针旋转60°，则BA与BC重合，BP移到BM处，PA移到MC处． ∴BM=BP，MC=PA，∠PBM=60°． ∴△BPM是等边三角形．

在△MCP中，PC=4， ∴PC2=PM2＋MC2且PC=2MC．

∴△PCM是直角三角形，且∠CMP=90°，∠CPM=30°． 又△PBM是等边三角形，∠BPM=60°． ∴∠BPC=90°，△BPC是直角三角形．

三、解答题

21．解法1：当x=1时，1＋a＋b＋c=1， ∴a＋b＋c=0． ①

当x=2时，8＋4a＋2b＋c=2， ∴4a＋2b＋c=－6 ② 联立①，②解得

当x=8时，M=512＋64a＋8b＋c，

当x=5时，N=－125＋25a－5b＋c． ∴M－N

=512＋64a＋8b＋c－(－125＋25a－5b＋c) =637＋39a＋13b

=637－117＋39 =559．

解法2：同解法1得

M=512＋64a＋8b＋c，N=－125＋25a－5b＋c． M－N=637＋39a＋13b． 由②－①得3a＋b=－6，

∴M－N=637＋13（3a＋b）=637－78=559． 解法3：设P（x）=x3＋ax2＋bx＋c 则P（1）=1，P（2）=2． 又设Q（x）=P（x）－x， 则Q（1）=0，Q（2）=0．

∵Q（x）是关于x的三次多项式，可设Q（x）=（x－1）（x－2）（x－m），其中m为常数． 于是M－N=P（8）－P（－5）

=[Q（8）＋8]－[Q（－5）＋（－5）] =Q（8）－Q（－5）＋13 =7.6（8－m）－（－6）·（－7）(－5－m)＋13 =336－42m＋210＋42m＋13=559． 22．（1）如图46，当PM=PN时，△MON面积最小， ∴选（D）．理由同第（3）小题．

（2）由（1）知，当PM=PN时，△MON面积最小． ∵△MON是直角三角形．

∴MN=2a．

又∵∠POM=30°， ∴∠PMO=30°，

（3）作法1：如图47．

①从P点作PC∥OA交OB于C．②在OB上截取CN=OC．③连接NP并延长交OA于M．则MN即为所求线段．此时，∵PC∥OM，OC=CN， ∴PM=PN．

∴△OMN面积最小．

证明：若经过F点另有一条直线EF交OA，OB于E，F（如图47）． 从N作NG∥OA交EF于G． 可证明△PEM≌△PGN． ∴S△PEM=S△PNG＜S△PNF

∴S△OMN=S四边形OEPN＋S△PEM＜S四边形OEPN＋S△PNF=S△OEF

若E′F′过点P交OA，OB于E′，F′（如图48）则作M′G′∥OB交E′F′于G′，同理可证S△OMN＜S△OEF′

∴△OMN是符合要求的面积最小的三角形．

说明：此题的原型源于一道常见的平面几何证明题．

题目：如图49，等腰△ABC中，AB=AC，D，E为AB和AC延长线上的点，且BD=CE，DE与BC相交于P，求证DP=PE．

证明1：过D点作DF∥BC交AC于F． ∴∠ADF=∠B，∠AFD=∠ACB， ∴AD=AF． ∴FC=BD=CE．

在△EDF中，CP∥DF，EC=CF． ∴EP=PD．

证明2：过D点作DF∥AC交BC于F（图50）． ∴∠DFB=∠ACB=∠B． ∴DF=DB=CE．

在△PDF和△PEC中．∠DPF=∠EPC，∠PDF=∠E，DF=CE ∴△PDF≌△PEC． ∴PD=PE．

按照此证明思路，可作出图51和图52． 作法2：

①在OA，OB上取C，D两点，使OC=OD． ②过P点作EF∥CD交OA于E，交OB于F． ③在PF上取PG=PE．

④过G作GN∥OA交OB于N． ⑤连接NP延长交OA于M． 则MN即为所求． 作法3：

①在OA，OB上取C，D两点，使OC=OD． ②过P点作EF∥CD交OA于E，交OB于F． ③延长PE到G，使PG=PF． ④过G作GM∥OB交OA于M． ⑤连接MP延长交OB于N． 则MN即为所求．