目录
第一单元 数与式 第1讲 实数
第2讲 整式与因式分解 第3讲 分式 第4讲 二次根式
第二单元 方程(组)与不等式(组) 第5讲 一次方程(组) 第6讲 一元二次方程 第7讲 分式方程
第8讲 一元一次不等式(组) 第三单元 函数
第10讲 一次函数 第11讲 反比例函数
第12讲 二次函数的图象与性质 第13讲 二次函数的应用
第9讲 平面直角坐标系与函数 第四单元 图形的初步认识与三角形
第14讲 平面图形与相交线、平行线1 第15讲 三角形的基本知识及全等三角形2 第16讲 等腰、等边即直角三角形 第17讲 相似三角形
第18讲 解直角三角形 第六单元 圆
第21讲 圆的基本性质
第22讲 与圆有关的位置关系 第23讲 与圆有关的计算 第五单元 四边形
第19讲 多边形与平行四边形 第20讲 特殊平行四边形 第七单元 图形与变换
第24讲 平移、对称、旋转与位似 第25讲 视图与投影 第八单元 统计与概率 第26讲 统计 第27讲 概念
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第一单元 数与式
第1讲 实 数
知识点一：实数的概念及分类 关键点拨及对应举例 1.实数 （1）按定义分 （2）按正、负性分 （1）0既不属于正数，也不属于负数. （2）无理数的几种常见形式判断：①含π的式 正有理数 子；②构造型：如3.010010001…（每两个1有理数 0 有限小数或 正实数 之间多个0）就是一个无限不循环小数；③ 负有理数 无限循环小数 实数 0 开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如实数 sin60°，tan25°. 正无理数 负实数 （3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于无理数 无限不循环小数 有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数. 负无理数 （1）三要素：原点、正方向、单位长度 （2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大 （1）概念：只有符号不同的两个数 （2）代数意义：a、b互为相反数 a+b=0 （3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等 （1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离 （2）运算性质：|a|= a (a≥0)； |a-b|= a-b(a≥b) -a(a＜0). b-a(a＜b) （3）非负性：|a|≥0，若|a|+b2=0,则a=b=0. 例： 数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5. a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0. 例：3的相反数是-3，-1的相反数是1. （1）若|x|=a（a≥0），则x=±a. （2）对绝对值等于它本身的数是非负数. 例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是±3;|1-|=-1. 知识点二 ：实数的相关概念 2.数轴 3.相反数 4.绝对值 5.倒数 （1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a≠0) 例： （2）代数意义：ab=1a,b互为倒数 -2的倒数是-1/2 ；倒数等于它本身的数 有±1. （1）形式：a³10n,其中1≤|a|＜10，n为整数 （2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为-减去1；对于小数，写成a³10n，1≤|a|＜10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个） （1）定义：一个与实际数值很接近的数. （2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位. 例： 21000用科学记数法表示为2.1³104； 19万用科学记数法表示为1.9³105；0.0007用科学记数法表示为7³10-4. 例： 3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142. 知识点三 ：科学记数法、近似数 6.科学记数法 7.近似数 知识点四 ：实数的大小比较 8.实数的大小比较 （1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大. 例： （2）性质比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排大的反而 小. 列结果为___1＞0＞-2＞-2.3_. （3）作差比较法：a-b＞0a＞b；a-b=0a=b；a-b＜0a＜b. （4）平方法：a＞b≥0a2＞b2. 几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负） a=_1_(a≠0) -pp0知识点五 ：实数的运算 9. 常见运乘 方 零次幂 例： （1）计算：1-2-6=_-7__;(-2)2=___4__; 3-1=_1/3_;π0=__1__; (2)64的平方根是_±8__,算术平方根是负指数幂 a=1/a（a≠0，p为整数） 平方根、 2若x=a（a≥0）,则x=a.其中a是算术平方根. 算术平方根 第 2 页
算 立方根 若x=a,则x=3a. 3__8_,立方根是__4__. 失分点警示：类似 “的算术平方根”计算错误. 例：相互对比填一填：16的算术平方根是 4___,的算术平方根是___2__. 10.混合运算
先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左 向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律， 使问题简单化 第 3 页
第2讲 整式与因式分解
知识点一：代数式及相关概念 （1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字关键点拨及对应举例 求代数式的值常运用整体代入法计算. 例：a－b＝3，则3b－3a＝－9. 1.代数式 2.整式 母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式． （2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值． （1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数. 例： （1）下列式子：①-2a2;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a2;⑥7x2+8x3y；⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤. （2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是 __1 . （单（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数. 项式、多项（3）整式：单项式和多项式统称为整式. 式） （4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项. 知识点二：整式的运算 3.整式的加减运算 (1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变． 失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，(2)去括号法则: 若括号外是“＋”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“－”，不要有漏项. 则括号里的各项都变号. 例：－2(3a－2b－1)＝－6a＋4b＋2. (3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项. (1)同底数幂的乘法：am·an＝amn； ＋4.幂运算法则 (2)幂的乘方：(am)n＝amn； (3)积的乘方：(ab)n＝an·bn； (4)同底数幂的除法：am÷an＝amn (a≠0). － 其中m,n都在整数 (1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则3³2m³2n=6. （2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m²4m=23m. (1)单项式×单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄． (2)单项式×多项式： m(a+b)=ma+mb. (3)多项式×多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb. (4)单项式÷单项式：将系数、同底数幂分别相除. (5)多项式÷单项式：①多项式的每一项除以单项式；②商相加． （6）乘法 公式 平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2. 变形公式： a2+b2=(a±b)2∓2ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】 /2 失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错. 例：(2a－1)(b＋2)＝2ab＋4a－b－2. 5.整式的乘除运算 注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用 例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a__. 6.混合运算 注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算． 知识点五：因式分解 (1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式． 7.因式分解
(2)常用方法：①提公因式法：ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c). ②公式法：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；a2±2ab＋b2＝(a±b)2. (3)一般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解. (1) 因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式； (2) 因式分解与整式的乘法互为逆运算．
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第3讲 分 式
知识点一：分式的相关概念 关键点拨及对应举例 在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）π是常数，不是字母. 例：下列分式：①;②; ③;④式是②③④；最简分式 ③. A（1）分式：形如 (A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)B1. 分式的概念 的式子. （2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式. (1)无意义的条件：当B＝0时，分式2x2，其中是分x21A无意义； BA2.分式的(2)有意义的条件：当B≠0时，分式有意义； B意义 (3)值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0. A＝0. Bx21例： 当的值为0时，则x＝-1. x1( 1 ) 基本性质：3.基本性质 AACAC(C≠0)． BBCBC由分式的基本性质可将分式进行化简： （2）由基本性质可推理出变号法则为： AAAAAA； . BBBBBBx21x1例：化简：2=. x2x1x1知识点三 ：分式的运算 (1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去， 分式通分的关键步骤是找出分式的最 ama简公分母，然后根据分式的性质通分. ； 即bmb11和的最简公分母(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分例：分式2xx1xx式化为同分母的分式，即4.分式的约分和通分 acacbd,, bdbcbc为xx21. 例：5.分式的加减法 6.分式的乘除法 7.分式的混合运算
aba±b(1)同分母：分母不变，分子相加减.即±＝； cccacad±bc(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即±＝. bdbdacacacad(1)乘法：·＝； (2)除法：＝； bdbdbcbda＝a (n为正整数). (3)乘方：bnbn1x＝－1. x11x 112a2.a1a1a1 ab121＝2y； ＝；xxy22ba3＝27. 38x2x3例：n(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分. 再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的． 失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入整体代入. (2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到
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第4讲 二次根式
知识点一：二次根式 （1）二次根式的概念：形如a(a≥0)的式子. （2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0. 关键点拨及对应举例 失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于01.有关概念 （3）最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 （1）双重非负性： ①被开方数是非负数，即a≥0； ②二次根式的值是非负数，即a≥0. 注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平等.例：若代数式范围是x＞1. 1有意义，则x的取值x1利用二次根式的双重非负性解题： （1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如a1+b1=0，则a=-1，b=1. （2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知2.二次根式的性质 方根、二次根式. b=a1+1a,则a=1,b=0. (2)两个重要性质： aa0①(a)2＝a(a≥0)；②a2＝|a|＝； aa0(3)积的算术平方根：ab＝a²b(a≥0，b≥0)； (4)商的算术平方根：知识点二 ：二次根式的运算 例：计算： 3.142＝3.14；24=；=2 ；22＝2； aba (a≥0，b＞0)． b442 9933.二次根式的加减法 4.二次根式的乘除法 5.二次根式的混合运算
先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式． （1）乘法：a²b=ab(a≥0，b≥0)； 例：计算：2832＝32. 注意：将运算结果化为最简二次根式. 例：计算：3223aa（2）除法： = (a≥0，b＞0)． bb运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）． ＝1；32324. 22运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便. 例：计算：(2+1)( 2 -1)= 1 .
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第二单元 方程(组)与不等式(组)
第5讲 一次方程(组)
知识点一：方程及其相关概念 (1)性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若a＝b，则a±c＝b±c . (2)性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），1.等式的基ab所得结果仍是等式.即若a＝b，则ac＝bc，(c≠0)． cc本性质 (3)性质3：（对称性）若a=b,则b=a. (4)性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c. 关键点拨及对应举例 失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0. 例：判断正误. (1)若a=b,则a/c=b/c. (³) (2)若a/c=b/c，则a=b. (√) (1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，在运用一元一次方程的定义解题时，且等式两边都是整式的方程． 注意一次项系数不等于0. 二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次2.关于方程 (2) 数都是1的整式方程． 例：若(a-2)x|a1|a0是关于x的一的基本概念 (3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程． 元一次方程，则a的值为0. (4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解． 知识点二 ：解一元一次方程和二元一次方程组 (1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项； (2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号； 失分点警示：方程去分母时，应该将(3)移项：移项要变号； 分子用括号括起来，然后再去括号，(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a≠0)； 防止出现变号错误. (5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a. 思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程. 方法： 4.二元一次 (1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把方程组的解法 “它”代入另一个方程，进行求解； (2) 加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法. 知识点三 ：一次方程(组)的实际应用 (1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量； (2)设未知数； 5.列方程(组) (3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）； 解应用题的(4)解方程(组)； 一般步骤 (5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意； (6)作答：规范作答，注意单位名称． （1）设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及到比值，可以设每一份为x. （2）列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几等. 3.解一元一次方程的步骤 已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组. 例： 已知2xy9则x-y的值为x-y=4. x2y36.常见题型及关系式
（1）利润问题：售价=标价³折扣，销售额=售价³销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价³100%. （2）利息问题：利息=本金³利率³期数，本息和=本金+利息. （3）工程问题：工作量=工作效率³工作时间. （4）行程问题：路程=速度³时间. ①相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程； ②追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.
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第6讲 一元二次方程
知识点一：一元二次方程及其解法 关键点拨及对应举例 21. 一元二次方程的相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 2例：方程axa20是关于x的一元二次方程，则方程的根为－1. （1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方求解. 解一元二次方程时，注意观( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解. 察， 先特殊后一般，即先考2.一元二次方程的解法 2( 3 )公式法:一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的求根公式为x=bb4ac虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法. 例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6. 2a（b-4ac≥0）. (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法． 2知识点二 ：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 (1)当Δ＝b4ac>0时，原方程有两个不相等的实数根． 22例：方程x22x10的判别式3.根的判别式 等于8，故该方程有两个不相等的(2)当Δ＝b4ac=0时，原方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝b24ac<0时，原方程没有实数根． 实数根；方程x22x30的判别式等于－8，故该方程没有实数根. （1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个根分与一元二次方程两根相关代数式的别为x1、x2,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a.注意运用根与系数关系的前提条件*常见变形： (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2,1x11x1x2等. x2x1x24.根与系数的关系 是△≥0. （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与系数的关系求解. 失分点警示 在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b2-4ac≥0. 知识点三 ：一元二次方程的应用 （1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． 4.列一元二次方程解应用题 （2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本³100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程. 运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义.
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第7讲 分式方程
知识点一：分式方程及其解法 关键点拨及对应举例 例：在下列方程中，①x210；②1.定义 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． xy4；③是③. 1x，其中是分式方程的x12.解分式方程 方程两边同乘以 最简公分母 基本思路：分式方程 整式方程 约去分母 解法步骤： (1)去分母，将分式方程化为整式方程； (2)解所得的整式方程； (3) 检验：把所求得的x的值代入最简公分母中，若最简公分母为0，则应舍去． 使分式方程中的分母为0的根即为增根. 122转化为整式方程可x11x得：1－2＝2(x－1). 例：将方程3.增根 例：若分式方程1. 10有增根，则增根为x1知识点二 ：分式方程的应用 4.列分式方程解应用题的一般步骤 (1)审题；(2)设未知数；(3) 列分式方程；(4)解分式方程；(5)检验： (6)作答． 在检验这一步中，既要检验所求未知数的值是不是所列分式方程的解，又要检验所求未知数的值是不是符合题目的实际意义.
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第8讲 一元一次不等式(组)
知识点一：不等式及其基本性质 关键点拨及对应举例 例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1. 1.不等式的相关概念 （1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子. （2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值. （3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围. 性质1：若a＞b,则 a±c>b±c； 2.不等式ab性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，>； cc的基本ab性质3：若a＞b,c<0，则ac 第9讲 平面直角坐标系与函数 知识点一：平面直角坐标系 关键点拨及对应举例 点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴). （1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系． （2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应． ( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）： 点P(x,y)在第一象限⇔x＞0，y＞0； 点P(x,y)在第二象限⇔x＜0，y＞0； 点P（x,y）在第三象限⇔x＜0，y＜0； 点P（x,y）在第四象限⇔x＞0，y＜0. （2）坐标轴上点的坐标特征： ①在横轴上⇔y＝0；②在纵轴上⇔x＝0；③原点⇔x＝0，y＝0. 3第二象限 (－，＋)21y第一象限 (＋，＋)x123第四象限 (＋，－)1.相关概念 （1）坐标轴上的点不属于任何象限. （2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同. （3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决. –3–2–1O第三象限–1 (－，－)–2–32.点的坐标特征 （3）各象限角平分线上点的坐标 ①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等； ②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数 （4）点P（a,b）的对称点的坐标特征： ①关于x轴对称的点P1的坐标为(a，－b)；②关于y轴对称的点P2的坐标为(－a，b)； ③关于原点对称的点P3的坐标为(－a，－b)． （5）点M（x,y）平移的坐标特征： M（x,y） M1(x+a,y) M2(x+a,y+b) 3.坐标点的距离问题 知识点二：函 数 （1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|． （2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离： 点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1－x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1－x2|； 平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1－y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1－y2|． 线上的点的横坐标相等. （1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量． （2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法. （3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义． 失分点警示 函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=x3中自变量的取值范x54.函数的相关概念 围是x≥-3且x≠5. 读取函数图象增减性的技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段. （1）分析实际问题判断函数图象的方法： ①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点； ②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化； 5.函数的图象 ③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向. （2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： ①设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围. 第 11 页 第10讲 一次函数 知识点一 ：一次函数的概念及其图象、性质 （1）概念：一般来说，形如y＝kx＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当b ＝0时，称为正比例函数． 正比例函数y＝kx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线. k，b 符号 大致 K＞0， b＞0 K＞0， b＜0 K＞0，b=0 k<0， b>0 k<0， b<0 k<0， b＝0 （1）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确定了与y轴交点的位置. （2）比较两个一次函数函数值的 经过象限 图象性质 一、二、三 一、三、四 y随x的增大而增大 一、三 一、二、四 二、三、四 二、四 大小：性质法，借助函数的图象，也可以运用数值代入法. 例：已知函数y=－2x＋b，函数值y随x的增大而减小(填“增大”或“减小”)． 关键点拨与对应举例 例：当k＝1时，函数y＝kx＋k－1.一次函数的相关概念 （2）图象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，1是正比例函数, 2.一次函数的性质 图象 y随x的增大而减小 (1)交点坐标：求一次函数与x轴的交点，只需令y=0,解出x即可；求与y轴的交点，例： 3.一次函数与坐标轴交点坐标 只需令x=0,求出y即可.故一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象与x轴的交点是一次函数y＝x＋2与x轴交点的坐标是（-2,0），与y轴交点的坐标是（0,2）. (b－，0，与y轴的交点是(0，b)； k)(2)正比例函数y＝kx(k≠0)的图象恒过点(0，0)． （1）常用方法：待定系数法，其一般步骤为： ①设：设函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)； ②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组； (1)确定一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表达式，只需一组条件即可. (2)只要给出一次函数与y轴交点坐标即可得出b的值,b值为其纵坐标，可快速解题. 如:已知一次函数经过点（0,2），则可知b=2. 知识点二 ：确定一次函数的表达式 4.确定一次函数表达式的条件 ③解：求出k与b的值，得到函数表达式． （2）常见类型： ①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式； ③平移转化型：如已知函数是由y=2x平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）的坐标代入即可. 5.一次函数图象的平移 规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同. ②若向上平移h单位，则b值增大h；若向下平移h单位，则b值减小h. 例：将一次函数y=-2x+4的图象向下平移2个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2． 知识点三 ：一次函数与方程（组）、不等式的关系 6.一次函数与方程 一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k、b是常数，k≠0）的图象与x轴交点的横坐标. 例： 二元一次方程组 的解两个一次函数y=k1x+b 和y=k2x+b图象的交y=k1x+b 点坐标. y=k2x+b （1）函数y=kx+b的函数值y＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集 （2）函数y=kx+b的函数值y＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集 （1）设出实际问题中的变量； （2）建立一次函数关系式； （3）利用待定系数法求出一次函数关系式； 第 12 页 （1）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0）. （2）一次函数y=-3x+12中，当x ＞4时，y的值为负数． 7.一次函数与方程组 8.一次函数与不等式 知识点四 ：一次函数的实际应用 9.一般步骤 一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的取值往往有一定的限制，其图象为 （4）确定自变量的取值范围； （5）利用一次函数的性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义； （6）做答. （1）求一次函数的解析式. （2）利用一次函数的性质解决方案问题. 射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值. 10.常见题型 第 13 页 第11讲 反比例函数的图象和性质 知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质 k（1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的x取值范围是非零的一切实数． 1.反比例函（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： 数的概念 例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数． 关键点拨与对应举例 k①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0) xk的符号 k>0 图象 经过象限 y随x变化的情况 （1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k. 失分点警示 （2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断. 例：若(a，b)在反比例函数2.反比例函数的图象和性质 k<0 图象经过第每个象限内，函数y的值随x的增大而减小. 一、三象限 （x、y同号） 图象经过第每个象限内，函数y的值随x的增大而增大. 二、四象限 （x、y异号） 3.反比例函数的图象特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可. yk的图x象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在\"、\"不在\") 例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x. 4.待定系数法 知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合 k（1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线x与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|. 失分点警示 已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0. 例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：5.系数k的（2）常见的面积类型： 几何意义 y33或y. xx （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，涉及与面积有关的问题时，①要善于把可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解 点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD. 6.与一次函 数的综合 （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点三：反比例函数的实际应用 第 14 页 （1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； 7 .一般步骤 （2设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 第 15 页 第12讲 二次函数的图象与性质 知识点一：二次函数的概念及解析式 关键点拨与对应举例 例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0. 1.一次函数的定义 形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数. （1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c;②顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）; ③交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标. （2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式. 若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式. 2.解析式 知识点二 ：二次函数的图象与性质 yxOy（1）比较二次函数函数值大图象 xO小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小. 失分点警示 （2）在自变量限定范围求二y=ax2+bx+c(a＞0) y=ax2+bx+c(a＜0) 开口 向上 向下 3.二次函数的图象和性质 对称轴 顶点坐标 当x>bx＝ 2ab4acb2 ,4a2abb首先考虑对当x>时，y随x的增大而减小；次函数的最值时，时，y随x的增大而增大；增减2a2a称轴是否在取值范围内，而不b性 当x＜b时，y随x的增大而减小. 当x＜时，y随x的增大而增大. 能盲目根据公式求解. 2a2a最值 x=例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为7 . 4acbby最小＝. 4a2a，2x=4acbby最大＝. 4a2a，2a 决定抛物线的开口方向及开口大小 当a＞0时，抛物线开口向上； 当a＜0时，抛物线开口向下. 当a，b同号，-b/2a＜0，对称轴在y轴左边； 某些特殊形式代数式的符号： ① a±b+c即为x=±1时，y 的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值. ③ 2a+b的符号，需判断对称 轴-b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则-b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a-b的符号，需判断对称轴与-1的大小. 3.系数a、b、c a、 b 决定对称轴（x=-b/2a）当b＝0时， -b/2a=0，对称轴为y轴； 的位置 当a，b异号，-b/2a＞0，对称轴在y轴右边． c b－4ac 2决定抛物线与y轴的交点的位置 决定抛物线与x轴的交点个数 当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上； 当c＝0时，抛物线经过原点； 当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上. b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点; b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点; b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点 知识点三 ：二次函数的平移 失分点警示： 4.平移与解析式的关系 y=ax2的图象向左(h＜0)或向右(h＞0)平移|h|个单位y=a(x－h)2的图象向上(k＞0)或向下(k＜0)平移|k|个单位y=a(x－h)2＋k 的图象抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反. 例：将抛物线y=x2沿x轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y=（x－2）2． 注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式 知识点四 ：二次函数与一元二次方程以及不等式 第 16 页 5.二次函数与一元二次方程 二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根. 当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根； 当Δ＝b2－4ac＜0，无实根 6.二次函数与不等式 例：已经二次函数y=x2-3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程2抛物线y= ax＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应x2-3x+m=0的两个实数根为的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的2,1. 纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集. 第13讲 二次函数的应用 知识点一：二次函数的应用 一般步骤 实物抛物线 ① 据题意，结合函数图象求出函数解析式； ②确定自变量的取值范围； ③根据图象，结合所求解析式解决问题. ① 分析问题中的数量关系，列出函数关系式； ② 研究自变量的取值范围； ③ 确定所得的函数； ④ 检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值； ⑤解决提出的实际问题. 关键点拨 若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；②使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解. 解决最值应用题要注意两点： ①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数； ②求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内. 实际问题中 求最值 结合几何图形 由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面① 根据几何图形的性质，探求图形中的关系式； 积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样② 根据几何图形的关系式确定二次函数解析式； 需注意自变量的取值范围. ③ 利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题 第 17 页 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容