新课标数学选修 4-5柯西不等式教课题库大全一、二维形式的柯西不等式 (a b)(c d) (ac bd)(a,b,c,d R,当且仅当ad
2
2
2
2
2
bc时,等号建立.)
二、二维形式的柯西不等式的变式
(1) ab
2 2
c
2
d2
ac bd (a,b,c,d ac bd(a,b,c,d
bd) (a,b,c,d
2R,当且仅当ad R,当且仅当ad 0,当且仅当ad
bc时,等号建立.) bc时,等号建立.) bc时，等号建立.) (2) a2 (3)( a
b2 c2 d2 b)(c d) (ac
三、二维形式的柯西不等式的向量形式
.(当且仅当 是零向量,或存在实数k,使 k 时,等号建立.)
借用一句革命口号说：有条件要用；没有条件，创建条件也要用。比方说吧，对 其实不是不等式的形状，但变为(1/3)*(1^2+1^2+1^2)*(a^2+b^2+c^2) 等式了。 基本方法
a^2+b^2+c^2， 就能够用柯西不
（1）巧拆常数：
例1：设a、b、c为正数且各不相等。求证：
2 ab
2 bc
2 ca
9 a bc
（2）从头安排某些项的序次：
例：a 、b为非负数，a b ，
2 + =1 x1,x2
（3）改变构造： 例3、若
R 求证：(ax1
bx2)(bx1 ax2) x1x2
1 1 4
a>b>c 求证：
a b b c a c
（4）添项：
b 例4：a,b,cR 求证： a b c c aa
c 3 b 2
【1】、设a (2,1,2),b 答案：18;
6，则a b之最小值为________；此时b
ab
2a
________。
18
(4,2, 4) 分析：a b
18，此时b
∴ab
(4,2,4)
18∴ 18 ab
ab之最小值为
1页脚内容1
柯西不等式习题
【2】设a 【解】 ∵a
(1，0， 2)，b
(x，y，z)，若x2
y2
z2
16，则ab的最大值为
。
(1，0，2)，b
0 (x
(
(x，y，z)∴a．b 2)2](x2
x (x 5 5
2z 0
由柯西不等式[12
y2 z2) 4
2z)
2
5 4
16
5
2z)2
4
4 5 x
a．b
v
a
5 ，故a．b的最大值为4 v
【3】空间二向量
Ans：(1)28 ：(2)(2,4,6)
(1,2,3)
，
b (x,y,z)
v
v v
a b
，已知b
56，则(1)
的最大值为多少？(2) 此时
b
v
？
【4】设a、b、c为正数，求(a
b c)(
4
a
9 b 36
c
)的最小值。Ans：121
【5】.设x，y，z
解(x
2y
3z) 2
R，且知足x2
(x
2
y2
22
z2
32)
5，则x
5．14 2y
3z之最大值为
y2 z2)(1
2
70
∴x 2y 3z 最大值为
70
【6】设x，y，z (x，y，z) 解(x ∴ x
R，若x2
y2
z2
4，则x
2y
2z之最小值为
时，
2y 2y
2z)2
(x2
y2 z2)[12 ( 2)
2 22]
4．936 y
z
2222
2z最小值为
6，公式法求(x，y，z)
此时
x
∴ x
2
3
，y
4
1
6 (2)2
22
2
3
，z
3
4 3
【7】设x,y,z
R， 2 2 2 ，试求 与最小值。
m x y z 25 x 2y 2z的最大值M
15
Ans：M 15;m
【8】、设x,y,z R,x
答：依据柯西不等式
2
y
2
z
2
25
，试求x 2y
2z的最大值与最小值。
(1x2y2z)2
即(x 而有 故x
[12 925
(2)2 22](x2
y2
z2)
2y 2z)2 15 x
2y 2z 15
2y 2z的最大值为 15，最小值为–15。
2页脚内容2
柯西不等式习题
【9】、设x,y,z
R,2x
y 2z6，试求x2
y2 z2之最小值。 答案：考虑以下两组向量
v
v
2
2 2
u=(2,
–1, –2)
v
=(x,y,z)
依据柯西不等式(u v)
u
v，就有 2[2 (1) (2)]2
[22
(1)2
(2)2]( 2 2 )
x
y
z
x y
z 即
(2x y 2z)2 9(x2 y2 z2) 将2x y 2z 6代入此中，得 36 9(x2 y2
z2)
而有
x2
y2
z2
4 故x2 y2 z2之最小值为4。
【10】设x,y,z
R，2x
y 2z 6，求x2
y2 z2的最小值m，并求此时x、y、z之值。
Ans：m4;(x,y,z)
(4
, 2, 4)
3
3
3
【11】设x，y，z
R，2x
2y
z 8
0，则(x 1)2
(y
2) 2
(z
3)2
之最小值为
解：2x2y z8 0
2(x
1)
2(y2) (z
3)
9， 考虑以下两组向量
v
v
2
2 2
u=(,, )
，v=(,, ) (uv)
u
v
[2(x 1)
2(y
2)
(z
3)]2
[(x
1)2
(y 2)2
(z
3)2]．(22 22
1 2)
2 (x 1) 2
2
3) 2
(9)
(y
2)
(z
9
9
【12】设x,y,z
R，若2x 3yz
3，则x2 (y 1)2 z2之最小值为________，又此时 y________。
解：2x3yz
3
2x
3(y 1)
z
(
) ，
考虑以下两组向量
v v
u=(,, )
，v=(,,
)
分析：[x
2
(y
1)2 z2
][2
2
(3)
2
12
](2x
3y
3
z)2[x2 (y1)
2
z2] 36 ∴最小值18
14
7
3页脚内容3
柯西不等式习题
x 2
y1 3 3 7
z 1
t,
Q2x
3yz
3,
2(2t)3(3t 1) t3
2 ∴t
∴y
7
【13】设a，b，c均为正数且a b
c
9，则
4
9
a b
16c
之最小值为 解：考虑以下两组向量
v u=(,, (uv)2
u
) v
(
2
v ，v=(,,
a
) b
3 b
4
c)2
(
4
9 16)(abc)
2 2
(
4
9
16
a
c
a b
81
c
)．9
(2
3
4)
2
a b c
81 9
4 9 16 a b
c
9
【14】、设a,b,c均为正数，且a
2b3c 2 ，则
1 a
之最小值为________，此时a________。 2
b c
3解：考虑以下两组向量 v
u=(,, (uv)
)
u
v ，v=(,,
)
2
2 2
v
[(a)
2 2 ( (2b)
3c)2][( 1)2
a
(2)2
b
( 3)2] c
(123)2
∴( 1 2 3)
18，最小值为18 等号发生于 u//v 故
a b c
a 1 a
2b 2 b
3c 3 c
∴abc又a2b3c2∴
csc2
1 a
3
， ， ，0
【15】. 设空间向量a的方向为 ， ，
，csc2
9csc2
25
的最小值为
sin2
sin 2
。
sin
2
解∵
2 由柯西不等式 )[(
∴ (sin2 sin
2 sin2
1 )sin
2
( 3)2 sin sin
()](135) 2 2(csc2
529csc2
25csc2 )
81
4页脚内容4
柯西不等式习题
∴csc2
9csc2
25csc2
81∴ 2
2
故最小值为81
2
与cot2
9cot2
【注】此题亦可求tan2
9tan 25tan2
25cot2
之最小值，请自行练习。
【16】.空间中一直量a与x轴，y轴，z轴正向之夹角挨次为 ， ， （，，
角），求 1 4 9 的最小值。
sin2 sin
2
sin
2
解
: 由柯西不等式
[( 1 )2 ( 2 )2
(
3
)2](sin2
sin2
sin2
)
si
sin
sin
n
( 1
sin
2 sin 3 sin )2 sin
sin
sin
1 4
9
2
si
2
si2
2
( 2 ) ( 2 )
( si
2)](sin
n
n
)(1
23)
sin sin
n
∵ sin 2
sin
2
sin 2 2 ∴
1
4
9
1
4
9
2(
) 36 (
) 18
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2
sin2
∴
1
4
9
的最小值
sin
sin
sin
18
2
2 2
v
9
25 16
【17】.空间中一直量a的方向角分别为,
2
的最小值。
, ，求
sin2
sinsin2 答【1872】、利用柯西不等式解之设x,y,z R，若(x 1)2
(y 2)2 z2 4，则3x y
2z之范围为什么？又3x
y
埙貸瀆狹鈄記嗚蘆劊罂婭蒼缦龅饱。 最小值时， x ？
答案： [(x1)2 (y2)2 z2][32 (1)2 (2)2](3x3y22z)2
4(14) (3x y 2z 2z5 5)2214 3x y 214
5 2 14 3x y2z x 5 214
若3x y 2z 5
214 又1 y2
z t∴3(3t1)(t2)2(2t)5214
3
1
2
14 3 14
∴t
∴x
1
7
7
【
19】设
ABC之三边长x，y，z知足x 2y+z=0 及3x+y 2z=0，则
角是多少度？
5页脚内容5
均非象限
2z发生
ABC之最大
柯西不等式习题
【解】 x2yz0
x：y：z=
21 ： 11 ：
1
2
=3：5：7
3xy2z 0
1
2
2 3
3
1
设三边长为x=3k，y=5k，z=7k则最大角度之cos
=(3k)2 (5k)2 (7k)2 =
1
，∴=120
2(3k)(5k)
2
【20】. 设x，y，z
R且(x1)2
(y 2)2 (z 3)2 1
，求x y
z之最大值，最小值。
16
5 4
Ans
最大值7；最小值 3 【解】
(x1)2 (y2)2 (z3)
2 ∵
16
5
4 1
由柯西不等式知
[4 2
2
z3
( 5)
2] 2 (
x1 ) 2 y2
2
(
)
(
) 2
4．( x1
) 5．(
y2 )2．
4 5 2
4 5
z
3
2
2 (
)
25
1
(x
y
z 2)
5
|x
yz 2|
2
5 x y
z
2
5∴3 x
y z
7
故x
y
z之最大值为 7，最小值为
3
co
【21】. 求2sin
3cos
sin
cos
s
的最大值与最小值。
答. 最大值为2 2，最小值为22
【详解】
令向量a
(2sin
，3 cos ， cos )，b
(1，sin
，cos )
由柯西不等式| a．b|
|a||b|得
|2sin 3 cos
sin
cos cos |
4sin2 3cos2 cos2 ，
cos1 sin2
2
4(sin2 cos2 )(1sin2
cos2)2
2
所求最大值为2 2，最小值为
2 2
【22】△ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：
(a2 b2 c2)(
1 1 1 )36R2证明：由三角形中的正弦定理得
sin2A sin2 B
sin2C
6页脚内容6
柯西不等式习题
a
sinA
1
4R2
1 sin 4R2 2
，
1
2 4R
2
，所以
2R
2
2 ，同理 2 a
2
si
n
2 于是左侧=
sin
A
2 (a
2
b
2
c2)(4R2
a2
4R 4R) (ab2 c2
2
2R
B b
C c 36R2。
a 2R a b
a 2R)2 c
|Ax0By0 C|
【23】求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=
A
2
B2 .
22220)+(y-y0),A+B≠0,由柯西不等式得 证明:设Q(x,y) 是直线上随意一点 ,则Ax+By+C=0.由于|PQ|2=(x-x
)+B(y-(Ax+By)- 2 2 y ) 2 2 2 ［ (Ax +By) ］ 2
(A+B)［(x-x
)+(y-y )］≥［A(x-x
］= =(Ax +By+C),
所以
0 0 0 0 0
0
0 0
|PQ|≥
|Ax0 By0
A2 B2
y y0
B
C|.
当
x
x0 A
Ax0 By0 C 时,取等号,由垂线段最短得
d=
|AxByC|0 0.
A2 B2
2 A2 B
【24】已知正数x,y,z
知足x+y+z=xyz, 且不等式
1
1
1 z x
≤λ恒建立,求λ的范围.
x y
y z
分析:由二元均值不等式及柯西不等式 , 得
1 1
xyyzzx
1 ≤
1
1 1
2xy2yz2zx
1(
z
2 xyz
x
xyz
y xyz
)
1 (12 12 12)( 2
温馨提示
z
x
xyzxyzxyz
y )
3
2
故λ的取值范围是［
3 ,+∞). 2
此题主要应用了最值法 ,即不等式
1
1 1
≤λ恒建立,等价于(
1
1
1
)max≤λ,问
xyyzzx 1
xyyzzx
题转变为求f(x,y,z)=
1
1
x y y z z x
的最大值.
2
【25】设a,b,c,x,y,z
均为正实数,且知足a2+b2+c2=25,x
+y2+z2=36,ax+by+cz=30a . 求
分析:依据已知等式的特色 ,可考虑用柯西不等式 .
由柯西不等式等号建立的条件
的值. b
x y z
c
,知
a
b
x y
22c
=λ,再由等比定理,得
a
x
z
2
2
2
西不等式,得30=(ax+by+cz)
22≤(a+b+c)(x
2
2
2
2
2+y+z)=25×36,当且仅当
a
即b =λ.所以只要求λ的值即可.由柯 y z
c
于是a=λx,b=λy,c=λz,进而有λ(x+y+z)=25,∴λ=±
5
b x y
c
=λ时,上式等号建立.
(舍负),
a z c z
6
b x y
5. 6
比赛赏识
7页脚内容7
柯西不等式习题
1 （1987年CMO集训队试题）设a,b,c R，求证： 8页脚内容8
柯西不等式习题
a5 b5 c5 b2 c2
a3bcb3cac3ab
（2-10）
证明：因a2
a4
b4
bab c ca，由定理1有
c4 (a2 b2 c2)2 b
bc ca ab c ca ab
a2 b2 c2 此即（2-10）式。
2设a,b,c
R ，求证：
b2
a
c2 a2 b c c2a
3(a2 b2
c2)
证明：由均值不等式得a3
即(a2
b2
2a2c,b3 a2b
bc3 2 b3 c3 a2bb2cc2a2(ab2 a
bcc2)(a b c) 3(ab2 2 ca2).
2ab,c3 b2c 2bc2，故 ca2)
又由柯西不等式知3(a2 又由定理1，得
b2 c2) (a b c)2，故3(a2
b2 c2)
abc
a4 b4 c4 (a2 b2
ca2
c2)2 3(a2 b2 c2) 2
原式左＝
a 2cb2ac2bbc2
c2)(abc)
原式右
ab2 (a2 b2
9页脚内容9
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