高中数学同构思想题型归纳

构造大法：高中数学中的同构思想及其变式

1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式 2、同构式的应用：

（1）在方程中的应用：如果方程fa0和fb0呈现同构特征，则a,b可视为方程

fx0的两个根

（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式

（3）在解析几何中的应用：如果Ax1,y1,Bx2,y2满足的方程为同构式，则A,B为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB的方程 （4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于an,n与an1,n1的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解

5x12xsinx13例题1 设x,yR，满足 ，则xy（ ）

5y12ysiny11A. 0 B. 2 C. 4 D. 6

例题2 若函数fxab则实数m的x1m在区间a,b上的值域为,ba1，

22取值范围是_____________

例题3 设a,bR，则|“ab”是“aabb”的（ ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充要又不必要条件

例题4 若0x1x21，则（ ） A. ex2ex1lnx2lnx1 B. ex1ex2lnx2lnx1

x1C. x2e

x1ex2 D. x2ex1x1ex2

例题5 已知函数fx是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有

2015xfx1x1fx，则f的值是（ ）

2A. 0 B.

例题6 如果cos5sin57sin3cos3,0,2，那么________

例题7 如图，设点Px0,y0在直线xmym,0m1,且m为常数上，过点P作双曲线xy1的两条切线PA,PB，切点为A,B，求证：直线AB过某一个定点

2215 C. 1 D. 22的取值范围是



例题8 已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为0,1，离心率为（1）求椭圆C的方程

（2）过右焦点F作直线l交椭圆于A,B，交y轴于R，若RAAF,RBBF，求

例题9 已知函数x25 5a，a为正常数，若gxlnxx，且对任意x1x1,x20,2,x1x2，都有

gx2gx1x2x11，求a的取值范围．

例题10 已知数列

an 满足

a12t3tR,t1，且

an12tn13an2t1tn1an2tn1，求数列an的通项公式

【巩固提升】

巩固1. （2020·新课标卷Ⅱ文数·12）若223xyx3y，则（ ）

A．ln(yx1)0 B．ln(yx1)0 C．ln|xy|0 D．ln|xy|0

ab巩固2. （2020·新课标Ⅰ理数·12）若2log2a42log4b，则（ ）

A. a2b

B. a2b C. ab2 D. ab2

巩固3. 如果cos5sin57(cos3sin3)，[0,2)，则的取值范围是_____.

巩固4. 不等式

巩固5. 已知0,2，若关于k的不等式sincosksin3cos3在,2上恒

成立，则的取值范围为 ．

8103x5x0的解集是______________. 3(x1)x1

xx巩固6. 已知函数f(x)33，f(12log3t)f(3log3t1)log1t，则t的取值范围

3是 ．

b(0，巩固7. 已知实数a，且满足ab42)，

5x3巩固8. 已知实数x1，x2满足x1e1e，x2lnx22e，则x1x2______.

224a24b，则a＋b的值为_______． b2

巩固9. 设方程x24的根为m，设方程xlog2x4的根为n，则mn= .

巩固10. 已知a3－3a2＋5a＝1，b3－3b2＋5b＝5，那么a＋b的值是 .

巩固11. 不等式x(x)xx(x)x的解集是 .

xln(x1),x0，若 巩固12. （2020·广东中山纪念中学高三三模）已知函数f(x)1x1,x02mn,且 f(m)f(n)，则nm的取值范围为（ ）

A．[32ln2,2)

B．[32ln2,2]

巩固13. （2020·南昌县莲塘第一中学高三三模）已知函数f(x)C．[e1,2)

D．[e1,2]

2x1,x1，若

|log(x1),x12f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)(x1,x2,x3,x4互不相等)，则x1x2x3x4取值范围是（ ）

A．(5,11] 2B．(0,11] 2C．(0,5)

D．

[5,11] 2

x121,x1,若互不相等的实数p,q,r满巩固14. （2020·重庆高三三模）设函数f(x)4x,x1足f(p)f(q)f(r),则2p2q2r的取值范围是（ ） A．(8,16)

B．(9,17)

C．(9,16)

D．(1735,) 22exex2ex巩固15. （2020·河南高三三模）设0x1，则a,b(),c2的大小关系是

xxx（ ） A．abc

巩固16. （2020·福建漳州·高三三模）已知f(x)是定义在

2B．acb C．cab D．bac

上的函数f(x)的导函数，且

f(1x)f(1x)e2x，当x1时，f(x)f(x)恒成立，则下列判断正确的是（ ）

A．ef2f3

5B．f2ef3

5C．ef2f3

5D．f2ef3

5

巩固17. （2020·霍邱县第二中学高三三模）已知函数fx的定义域为0,，且满足

fxxfx0（fx是fx的导函数），则不等式x1fx21fx1的解集为（ ） A．,2

B．1,

C．1,2

D．1,2

巩固18. （2020·上海嘉定·高三三模）设数列an的前n项和为Sn，且2Sn是6和an的等差

中项．若对任意的nN*，都有3SnA．

1[s,t]，则ts的最小值为（ ）． SnC．

2 3B．

9 41 2D．

1 6

巩固19. （2020·安徽六安一中高三三模）已知数列an前n项和为

3Sn,a12,Sn1Sn(n1)(an2).

n（1）求数列an的通项公式； （2）求数列an的前n项和Sn.

2巩固20. （2020·湖南永州·高三三模）已知抛物线C:x2py(p0)的焦点为F，过点F且

斜率为

1的直线与抛物线C交于A，B两点，|AB|5. 2（1）求抛物线C的标准方程；

（2）过点F的直线l交抛物线C于D，E两点.过D，E分别作抛物线C的切线，两切线交于点M，若直线l与抛物线C的准线交于第四象限的点N，且MNDE，求直线l的方程.

x2y2巩固21. （2020·宝山·上海交大附中高三三模）已知椭圆221ab0的左、右焦

ab点分别为F1、F2，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l经过点F2，倾斜角为45°，与椭圆交于A、B两点. （1）若F1F222，求椭圆方程； （2）对（1）中椭圆，求ABF1的面积；

（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数，，使得OMOAOB，试确定，满足的等式关系.

1x2y2巩固22. （2020·安徽高三三模）椭圆C:221(ab0)的离心率为，上顶点为M，

3ab右焦点为F，原点O到直线MF的距离为（1）求椭圆C的方程；

（2）直线l为抛物线y236x的准线，A,B分别为椭圆的左、右顶点，P为直线l上的任一点（P不在x轴上），PA交椭圆C于另一点S,PB交椭圆C于另一点T，求证：S,F,T三点共线．

22． 3x2y2巩固23. （2020·沙坪坝·重庆一中高三三模）已知椭圆E:221ab0的右焦点为

abF3,0，离心率e3，点A、B分别是椭圆E的上、下顶点，O为坐标原点.

2（1）求椭圆E的方程；

（2）过F作直线l分别与椭圆E交于C、D两点，与y轴交于点P，直线AC和BD交于点Q，求OPOQ的值.