第28卷第7期 文章编号:1006—9348(2011)07—0272—05 计算机仿真 2011年7月 PI调节器设计的可视化算法 伍家驹.刘文 (南昌航空大学无损检测技术教育部重点实验室,江西南昌330063) 摘要:研究控制器优化问题,针对PI控制器的参数通常采用试凑法和归一参数整定法来整定,很难得到最优的整定参数。 数据可视的整定方法,是在所求出的稳定集的基础上利用频域性能来优化Pl控制器参数,把相角裕度和幅值裕度表达式的 非线性方程转化为受控对象频率响应的信息来绘制图形,用相关平面图的交集来取代多元高次方程的解。进行明, 在整定的参数集中频域性能能够得到比较满意的结果,验证了 跃响应数据可视化算法优化的设计效果。 关键词:稳定集;比例积分控制;参数整定;频域性能 中图分类号:TP202+.7 文献标识码:A PI Controller Design Visualization Algorithms WU Jia-ju.LIU Wen (Nondestructive Test Key Laboratory of Ministyr Education,Nanchang Hangkong University, Nanchang Jiangxi 330063,China) ABSTRACT:Usually trial and elror method and normalizing method were used for tuning PI controller parameters, which is,time-consuming,laborious,and diicuh to obtfain the optimal tuning parameters.In this paper,a tuning method of the visualization of data was researched,in the basis of the obtained stable region.The method was used to optimize the performance of frequency domain parameters of PI controller,and the nonlinear equations of the phase margin and gain margin expressions were trnsaformed into the frequency response ofthe controlled object infomariton to draw graphics,and the relevant plan Was used to replace the intersection of multiple high equations solutions.In the tuning parameters,frequency domain of concentration was relatively satisfied with the results.Step response proves the design effect obtained by the data visualization algorithm. KEYWORDS:Stable region;PI eontroUes;rParameter tuning;Frequency domain performance 1 引言 在各种工业控制器中,PID控制器以其算法简单、稳定 性好、工作可靠、鲁棒性好,在工程上易于实现且有效的特点 占据主要的位置,广泛用于工业自动控制过程。迄今为止, 运用图解的方法来解非线性方程,确定交点解,但是对象也 必须是确定的,阶次也不能太高,还得引入一些假设条件,如 开环带宽和闭环带宽的关系,穿越频率和截止频率点相等 处,以获得PID参数解。文献[8]以时域为基础,采用主导极 84%的工业过程闭环控制回路仍采用传统PID控制器,若包 括改进型则超过90%L】.2 J。Ziegler和Nichols首先提出PID 的整定方法以来,到现在又有很多新的PID参数整定方法。 点配置和稳定误差常数的结合来整定一种相位超前补偿器, 但是该方法的误差常数计算由经验而来,且只能得到一个比 较满意的设定点的响应,对于干扰,将存在很大的稳态误差 且也只适用于积分过程。这些方法无法给出完整的稳定集, 文献[3]是首次提出以频域性能指标即相角裕度和幅值裕度 为基础的PID参数自整定方法,但是应用继电器反馈控制, 控制器的频率点必须取在临界点,广泛应用有局限,之后又 有以此为基础的PID整定新方法,文献[4]采用相角裕度和 性能指标只是要求在一定范围内才有用。 本文给出的是一种基于数据可视的PI控制器参数的整 定方法,它是基于稳定集,运用数据可视算法进行参数寻优, 以频域性能为目标函数,在稳定集中选取最佳的PI控制器 参数,这种图形可视PI参数整定与受控对象的阶次,振荡性 质无关,适用于稳定和不稳定的低阶或高阶对象而且也直观 简单。 幅值裕度同时作用的情况下,相互约束来整定PID参数,但 整定的对象必须明确而且也是一阶的,阶次高了,计算就繁 琐复杂,文献[5—7]在同时满足频域两性能指标的情况下, 基金项目:国家自然科学基金项目(50467003、50967003) 收稿日期:2010—05—26 .--——272.--—— 2 PI控制器的闭环系统描述 本文研究的SISO单位反馈控制系统如图1所示。其中, 而其中: =R(s)为系统输入,E(s)为误差信号,G (s)为P,控制器, v(s)为控制信号, (s)为被控制对象,Ir(s)为系统输出。 虚部: 南 二麓] (10) 根据式(8)可以把特征多项式(6)O(s)分解成实部和 实部分为: ki一 虚部分为: 图1单位反馈控制系统 一 ㈩ PI控制器的传递函数G (s)为: Gc(s)=kl,+÷ (1) 其中:|i} 是比例增益,k 分别是积分系数。被控制对象 的传递函数Gp(s)表示为: Gp㈤= (2) 其中: a(s)=n0+aIs+a2s +…+口m—lsm一 +口m5m (3) N(s)=b0+bl s+62s +…+6 一1 s 一。+6 s (4) B(s)=sN(s)=bo5+6ls +62s +…+6 一ls +6 s (5) 系数口n6f∈R(i:0,1,…,m;j‘=0,1,…,n)且m≤n; 该闭环系统的特征多项式表示为: D(s)=A(s)( +|l}。s)+N(s)s (6) 简化得: O(s)=a(s)(k +kps)+B(s) (7) 如何建立P,控制器的稳定参数集,进一步在稳定集内确 定满足系统频域性能要求的参数值,使 控制器能够获得最 佳的整定参数是本文所要解决的问题。 3 PI控制器参数稳定集计算及参数寻优 3.1 参数稳定集的计算 在频域内分析该系统,令s= 代入特征多项式(7)式 o(s)中,由代数运算分解成实数部分和虚数部分: 。cs =肌【 一 】[ ]+ [ ]+ =。c8, 其中: =[2 : ], =[ 】 上式A A,和B B,分别代表当s=如代人(7)式中的 实部和虚部。 由于 , 是非奇异矩阵,上式(8)可进行矩阵运算: [ 一 ]【:]+[∞0 ]+月i 日 :。 c9, 分解后的k ,.i}。是关于频率∞的表达式,这样就把PI控 制系统的比例系数和积分系数从参数中分离出来,从而为确 定控制器参数稳定集奠定了基础。 由控制系统原理知闭环系统的稳定也就相当特征多项 无右半平面零点,在参数集中,稳定集边界由∞≥0组成的, 下面分别讨论∞=0, =+ ,0< <+ 三种情况,确定 稳定集边界及约束条件。 1)∞:0时,闭环特征方程式(7)简化得:o。k =0。可 得出,当n。=0时,即对象G (s)有一原点为零点,k 任意值 时aok =0始终成立;当 ≠0时,只有k :0,闭环特征方 程在∞=0时恒等于零,再分别讨论k 在0 和0一的情况:假 设当s类似极限方式趋近0时,特征方程式(6)中N(O)+ kpA(0)≠0,则(6)式近似可得: (N(O)+A(0)kp)s+A(0)k 0 (12) 由(12)解之得: 一N(o)+a(0)k。一a(0)kl ≈bo+aok一—aokf p (13) 分析(13),控制系统要稳定,闭环特征方程零点必须在 左半平面。 k 在0 清况下,即k >0,系统要稳定必须: b 0+% kp>0 (14)、~ k 在0一情况下,即k <0,系统要稳定必须: b 0+00 k<0、 (15), p 2)co=+ 时,闭环特征多项式(7)中,根据文献[9]最 高项系数必须在左半平面,系统才稳定,若多项式(7)中最 高项系数包含右半平面零点,控制器参数任意调节,闭环系 统都是不稳定的。令(7)式中的最高项为零,可解得: 口 J}i。s +6 s 。=0 (16) 当m+1<n+1时,(7)式的最高项系数为b ,一般b ∈R且b ≠0,与控制参数无关。 当m+1=n+1时,(7)式的最高项系数为amkp+b , 要使闭环系统稳定就必须满足j}。<6 /a ; 3)0< <+ 时,由(10)和(11)知在频域中k , 都 是关于 的函数,则可写成: ...——273 ..—— Ki:G(go),kp=f(go),为了求出稳定集,就是使闭环特 征方程不包含右半平面零点,先确定k 的稳定范围,再确定 k 的稳定范围,绘出k。一k 的稳定集图。 由(11)知,列成多项式可令: Ikp一 kl=一 ; 1 1, .|j} —一 GAjo,)g— (23) 对(23)两式实部和虚部分别整理得: D(∞): £ + (A +A;) (17) 对于幅值裕度方程计算分解得: og ‘ 定义: d(go )=一2sgn(D(go )) (18) D ( ):( ) +ks(A + 2 (og 19) =-f(go)(A +A ) 故: d(got)=2sgn E/(go )(A2+ )] f201 =2sgn (go )) ∞ 是(11)是正实数解值,d(go )是D(go )的导数符号; 求k。稳定范围,先选取适当大的 ,利用(11)式绘制ks —og的平面图形,图形拐点处即为,(go)导数的驻点处,根据 文献[9],对于每一个稳定边界,闭环极点的穿越方向仅取决 于go,而且穿越方向的变化仅发生在,(09)的极值点处。把 任一相邻的两拐点作为一区间,再判断其区间d(go )值是否 小于零,若小于零其相邻拐点区间就是k 稳定范围,若在ks —og中不存在拐点,则取适当go作其稳定频率判断,选取适当 k 稳定范围。 求k 稳定范围,在确定kp稳定范围的基础上,再通过取 每个k。的值,由(11)求出相应的一组正实数go 解,每个正实 数解代人(18)式,根据文献[9—1O]可知,判断k 的稳定范 围,若d(go )>0时,k <G(go ),若d(山 )<0时,k > G(∞ ),得出在稳定内的一个k。值对应的一组k 的稳定范 围,以此遍历所有的稳定范围内的 ,最终确定k 的稳定范 围。得出的稳定参数空间画在同一张图上,就得出了 。和k 的稳定集。 3.2整定参数寻优 直接以频域性能指标为目标函数,在得出稳定集的基础 上利用相角裕度和幅值裕度优化参数,不需要了解目标函数 的导数信息,灵敏度和相等频率点信息,进行组合优化,能灵 活满足指定性能指标的要求。设控制系统要求达到的性能 指标通过幅值裕度A 和相角裕度 来给定,具体的求解方 法如下: 由幅值裕度和相角裕度的定义知: G(Jgo 一 )一 1 (21) Ge(jog )( 一 )=一 (22) 其中 和 分别是开环控制系统前向通道传递函数的 相角和幅值的穿越频率,对于上式两目标函数变形得: ....——274...—— r。 N RAR AIN【 —Am (24) 对于相角裕度方程计算分解得: f1 NlAR—N AI. NRAR+AlN J l 皿 —_ _; —一。 “ m一—_ : — 一。。。 m 【 = c c。s + sin 给定幅值裕度 和相角裕度 ,对于足够大的频率 , 利用(24)和(25)式绘制幅值裕度和相角裕度曲线,再由上 面求出的稳定集为基础,根据闭环带宽的要求选定山值。关 于(24)和(25)这两个表达式组的曲线可以画在一个k。一k 平面内,它们组成幅值裕度和相角裕度交叠的区域,这块区 域也在稳定集中,参数的优化就在这块比较小的区域中,从 而可以确定最佳的P,控制器参数。若要求相角裕度和幅值 裕度分别在一定范围内,可以将幅值裕度的界定范围两曲线 和幅值裕度的界定范围两曲线画在同一平面中,其中交集就 为其最佳整定值。 4 仿真实例 考虑一个高阶对象,在此方法下控制器参数的整定,假 定幅值裕度3dB≤A ≤23dB,相角裕度60。≤ ≤90。,其 对象传递函数为: ∞)= 按照上面求解方法,稳定集为灰色区域,其幅值裕度和 相角裕度分别如图2一图5表示 由图观察可知相角裕度在60。一90。所在大部分区域在 幅值裕度3dB一23dB之间,在相角裕度中取值,更进一步对 稳定参数进行优化,分别取出几组稳定参数Q1(ks,k )= (0.5467,0.3276),q2(ks,k1)=(0.5171,0.25),Q3(k。,k ) =(0.5588,0.4009) 看参数整定效果如图6和图7所示 由上三个点可以看出,该方法能快捷的在稳定集中选取 满足频域性能的参数。 5结论 本文研究了一种数据可视的算法,在稳定集的基础上利 用频域性能优化PI控制器参数。该算法简单,快速,无需复 1.6 1.4 1.2 l 0.8 0.6 0.4 O.2 0 0 0.5 l 1.5 2 2.5 3 图2 PI整定参数稳定集 图3 相角裕度在6o。~9o。的优化参数集 图4 幅值裕度3dB一23dB的优化参数集 杂的数学计算,把非线性方程都转化为关于受控对象频率响 应的信息来绘制图形,得到满足频域性能的最佳控制参数。 这为以时域性能指标的条件下来进一步优化参数奠定了基 础,该方法的优越性在于图形可视PI参数整定与受控对象 的阶次,振荡性质无关,适用于稳定和不稳定的低价或高阶 对象。仿真实例验证了该方法的有效性。 参考文献: [1]Wang Wei,Zhang Jingtao,Chai Tinayou.A survery of ad啪eed PID parameter tuning method[J].Acta Automatiea Siniea,2000, 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 y 复甚j _ 图6 在优化的控制参数组下闭环阶跃响应 BodeDittgrtma :::::::::::::::::I—Q1l 钟 彳 ●……ll’’ …lJ● ●●…●● ●………P ●_|. ●●…●● ……■…●I P ●●…●.- -J_J^●t 1…L0●‘…● ^L.●1L●J ●1…U, I .J一●1、 ●一…-LL -● ●…………●●I.、、L_…●● ●…… ……●lI● ●’ …●● ……●……●---…… …’。rrm…i …・t ……。rrm●ll-r..・’。‘_●r’ rr …● ●…… …●il●lI- ●1…●● ●…… ……●-●● ●●…●● …■……-…¨'●■'●… ●●…_● …●…●1. t-●…● 10* 10 R 蚰cy 删8ec) 圈7控制参数Q1下相应的开环bode图 26(3):347—355. 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