浙江师范大学《数值分析》考试卷(07下)

浙江师范大学《数值分析》考试卷

（2007∽2008 学年第一学期）

考试类别 选修 使用学生 计算机05 考试时间 120分钟 出卷时间 说明：考生应将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。 一．填空题（每题2分，共10分）

1．牛顿插值余项公式为 。

2．复化辛浦生公式为：Sn 。 3．雅可比迭代方法的矩阵形式为 。 4．设A为n阶方阵，则A 。

5．当方程组Axb的系数矩阵为 时，在高斯消元法解题中不需要选主元。 二．计算题（第1，2题，每题18分，第3，4题，每题15分共66分） 1．用龙贝格方法求解积分2．已知函数值

1（可以从辛甫生公式入手计算） 01xdx。

1xi f(xi) 0 1 0.15 1.004 0.31 1.031 20.5 1.117 0.6 1.223 0.75 1.422

利用最小二乘法求二次式abxcx，使得与上述数据相拟合。 3. 用牛顿迭代法求5的近似值。

3.016.031.991，b1（精确到小数点

4.161.234．用高斯主元消去法解方程组Axb中的A1.270.9874.819.341后面4位）。

三．证明题（三题中任选二题，每题12分，共24分，多选不加分，按前2题给分）

y'axb1．证明：改进的欧拉方法能准确地求解初值问题 

y002．证明：对角占优的线性方程组的雅可比迭代公式对于任意初值都是收敛的。 3．基于迭代原理证明：2222

数理信息学院考试卷 共4 页 第 1 页

参考答案

填空题（每题2分，共10分）

fn1x。 1．牛顿插值余项公式为RxfxPnxn1!n1n1ba2．复化辛浦生公式为：Snfafb2fxi4fxi1。

6ni1i023．雅可比迭代方法的矩阵形式为x4．设A为n阶方阵，则Ak1D1bLxkUxk或xnk1ID1AxkD1b

maxaij1ij。

5．当方程组Axb的系数矩阵为对角占优及对称时，在高斯消元法解题中不需要选主元。 四．计算题（第1，2题，每题18分，第3，4题，每题15分共66分） 1．用龙贝格方法求解积分构建函数表： 1（可以从辛甫生公式入手计算） 01xdx。

1x f(x) 0 1 0.125 0.89 0.25 0.8 0.375 0.73 0.5 0.67 0.625 0.615 0.75 0.571 0.875 0.53 1 0.5 114*0.670.50.697 61S210.52*0.674*0.80.5710.694

121S410.52*0.80.670.5714*0.890.730.6150.530.693 24161C1S2S11.067*0.6940.067*0.6970.6938

1515161C2S4S21.067*0.6930.067*0.6940.6929

1515641R1C2C11.0159*0.69290.0159*0.69380.6929

636311dx0.6929 所以：积分01xS12．已知函数值

xi f(xi) 0 1 0.15 1.004 0.31 1.031 20.5 1.117 0.6 1.223 0.75 1.422

利用最小二乘法求二次式abxcx，使得与上述数据相拟合。

数理信息学院考试卷 共4 页 第 2 页

Nabxjcx2jyj23解：根据多项式拟合公式axjbxjcxjxjyj

ax2bx3cx4x2yjjjjj6a2.31b1.29c6.797求得方程组2.31a1.29b0.796c2.829

1.29a0.796b0.518c1.641a1.01解此方程得b0.175，所以所求多项式为fx1.010.175x0.93x2

c0.933. 用牛顿迭代法求5的近似值。

1Cxx解：根据牛顿迭代开方公式为k1k，取初值x02，得

2xkk 0 1 2 3

xk 2 2.25 2.236111 2.236068 5 xk2.5 2.222222 2.236025 3.016.031.991，b1（精确到小数点

4.161.234．用高斯主元消去法解方程组Axb中的A1.270.9874.819.341后面4位）。

6.031.9913.016.031.9913.010

4.161.2313.82954.90521.3701解：A b1.2720.698826.49372.04960.9874.819.34106.031.9913.016.031.9913.0100

20.698826.49372.049620.698826.49372.04963.82954.90521.370100.91949.455100x116.03x21.99x3/3.01x133.698得：x22.049626.4937x3/20.6988 即x213.262

x10.284x39.4551/0.91943五．证明题（三题中任选二题，每题12分，共24分，多选不加分，按前2题给分）

数理信息学院考试卷 共4 页 第 3 页

y'axb1．证明：改进的欧拉方法能准确地求解初值问题 

y00证明：用积分方法求原函数可得方程通解，y所以初值问题的解为：y12axbxC，再根据初值条件知C0 212axbx 2hfxn,ynfxn1,ynhfxn,yn而用改进的欧拉方法：yn1yn 2x12设xn0,xn1x，则有f0,0b,fx,yaxb，所以得 y0baxbaxbx

22y'axb与积分方法一致，故该方法能准确求解初值问题。

y002．证明：对角占优的线性方程组的雅可比迭代公式对于任意初值都是收敛的。 证明：因为方程对角占优，故系数矩阵A的对角线元素aii不为0，且有aiinaj1jiij, i1,2,,n

0a21a1GIDA雅可比迭代矩阵为，

22an1ann因为 Ga12a110an2anna1na11a2na22

0maxgijmaxij1ij1jinnaijaii1 根据定理知命题成立。

3．基于迭代原理证明：2222 证明：建立迭代公式，令xk222 1x2xk则有迭代公式k1。 因为迭代函数x2x，'x

x022x0而当x0时，有'x12211 22根据压缩映像原理，这一迭代过程收敛于方程xx20的正根x2

*数理信息学院考试卷 共4 页 第 4 页