来安县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 设k=1，2，3，4，5，则（x+2）5的展开式中xk的系数不可能是（ ） A．10

B．40

C．50

D．80

2． 冶炼某种金属可以用旧设备和改造后的新设备，为了检验用这两种设备生产的产品中所含杂质的关系，调查结果如下表所示． 旧设备 新设备

杂质高 37 22

杂质低 121 202

根据以上数据，则（ ） A．含杂质的高低与设备改造有关 B．含杂质的高低与设备改造无关 C．设备是否改造决定含杂质的高低 D．以上答案都不对

3． 函数y=ecosx（﹣π≤x≤π）的大致图象为（ ）

A．

B． C． D．

4． 已知角α的终边上有一点P（1，3），则的值为（ ）

A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣4

5． 已知直线x+ay﹣1=0是圆C：x2+y2﹣4x﹣2y+1=0的对称轴，过点A（﹣4，a）作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ） A．2

B．6

C．4

B．2

D．2

C．3

D．4

6． 若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ） A．3

7． “a＞b，c＞0”是“ac＞bc”的（ ） A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

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C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8． 在△ABC中，AB边上的中线CO=2，若动点P满足•

的最小值是（ ）

B．﹣1 C．﹣2 D．0

A．1

=（sin2θ）+（cos2θ）

（θ∈R），则（+）

9． 已知函数f（x）=，则f（0）=（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．3

10．函数f(x)2cos(x)（0，0）的部分图象如图所示，则 f （0）的值为（ ） A.3 2B.1 C. 2 D. 3

【命题意图】本题考查诱导公式，三角函数的图象和性质，数形结合思想的灵活应用.

x1,x0,11．若函数f(x)则f(3)的值为（ ）

f(x2),x0,A．5 B．1 C．7 D．2

12．“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的（ ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

二、填空题

13．一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．

14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA，sinB，sinC依次成等比数列，c=2a且则△ABC的面积是 ．

15．如果定义在R上的函数f（x），对任意x1≠x2都有x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2（fx1），则称函数为“H函数”，给出下列函数

•=24，

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①f（x）=3x+1 ②f（x）=（）x+1 ③f（x）=x2+1 ④f（x）=

其中是“H函数”的有 （填序号）

16．由曲线y=2x2，直线y=﹣4x﹣2，直线x=1围成的封闭图形的面积为 ．

x1x0 ，若函数y=f（f（x）17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f（x）={exx22x1(x0)﹣a）﹣1有三个零点，则a的取值范围是_____．

18．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为 ．

三、解答题

19．己知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a＞0）． （1）试探究函数f（x）的零点个数；

（2）若f（x）的图象与x轴交于A（x1，0）B（x2，0）（x1＜x2）两点，AB中点为C（x0，0），设函数f（x）的导函数为f′（x），求证：f′（x0）＜0．

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20．（本小题满分16分）

给出定义在0,上的两个函数f(x)x2alnx,g(x)xax. （1）若f(x)在x1处取最值．求的值；

（2）若函数h(x)f(x)g(x2)在区间0,1上单调递减，求实数的取值范围； （3）试确定函数m(x)f(x)g(x)6的零点个数，并说明理由．

21．（文科）（本小题满分12分）

我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟 确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超过的部分 按议价收费，为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨）， 将数据按照0,0.5,0.5,1,,4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）求直方图中的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用量不低于3吨的人数，并说明理由；

（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由．

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22．如图，椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）的离心率e=

，且椭圆C的短轴长为2．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设P，M，N椭圆C上的三个动点．

（i）若直线MN过点D（0，﹣），且P点是椭圆C的上顶点，求△PMN面积的最大值；

（ii）试探究：是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形，若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．

23．已知向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2），求向量，的夹角θ．

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24．已知函数f（x）=lnx﹣kx+1（k∈R）．

（Ⅰ）若x轴是曲线f（x）=lnx﹣kx+1一条切线，求k的值； （Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．

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来安县二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】

【解析】 二项式定理． 【专题】计算题．

C

k

【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的x的系数，将k的值代入求出各种情况的系数．

5kk5k

【解答】解：（x+2）的展开式中x的系数为C52﹣ k5k14

当k﹣1时，C52﹣=C52=80， k5k23

当k=2时，C52﹣=C52=80， k5k32

当k=3时，C52﹣=C52=40， k5k4

当k=4时，C52﹣=C5×2=10， k5k5

当k=5时，C52﹣=C5=1，

故展开式中x的系数不可能是50

k

故选项为C 2． 【答案】 A

【解析】

【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式求特定项的系数．

独立性检验的应用． 【专题】计算题；概率与统计．

【分析】根据所给的数据写出列联表，把列联表的数据代入观测值的公式，求出两个变量之间的观测值，把观测值同临界值表中的数据进行比较，得到有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．

【解答】解：由已知数据得到如下2×2列联表 旧设备 新设备 合计

2

由公式κ=

杂质高 37 22 59

杂质低 121 202 323

合计 158 224 382

≈13.11，

由于13.11＞6.635，故有99%的把握认为含杂质的高低与设备是否改造是有关的．

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【点评】本题考查独立性检验，考查写出列联表，这是一个基础题． 3． 【答案】C

【解析】解：函数f（x）=e

cosx

（x∈[﹣π，π]）

cosxcosx

∴f（﹣x）=e（﹣）=e=f（x），函数是偶函数，排除B、D选项． t

令t=cosx，则t=cosx当0≤x≤π时递减，而y=e单调递增，

由复合函数的单调性知函数y=e故选：C．

cosx

在（0，π）递减，所以C选项符合，

【点评】本题考查函数的图象的判断，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合的思维能力．

4． 【答案】A

【解析】解：∵点P（1，3）在α终边上， ∴tanα=3， ∴

故选：A．

5． 【答案】B

2222

【解析】解：∵圆C：x+y﹣4x﹣2y+1=0，即（x﹣2）+（y﹣1）=4，

====﹣．

表示以C（2，1）为圆心、半径等于2的圆．

由题意可得，直线l：x+ay﹣1=0经过圆C的圆心（2，1）， 故有2+a﹣1=0，∴a=﹣1，点A（﹣4，﹣1）． ∵AC=

∴切线的长|AB|=故选：B．

【点评】本题主要考查圆的切线长的求法，解题时要注意圆的标准方程，直线和圆相切的性质的合理运用，属于基础题．

6． 【答案】A

=

=2=6．

，CB=R=2，

【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线， ∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0， ∴两直线的距离为

=

，

∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值

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∴AB的中点M到原点的距离的最小值为故选：A

+

=3，

【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．

7． 【答案】A

【解析】解：由“a＞b，c＞0”能推出“ac＞bc”，是充分条件，

由“ac＞bc”推不出“a＞b，c＞0”不是必要条件，例如a=﹣1，c=﹣1，b=1，显然ac＞bc，但是a＜b，c＜0， 故选：A．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查了不等式的性质，是一道基础题

8． 【答案】 C 【解析】解：∵∴即可得

=（sin2θ）+（cos2θ）﹣

），

+（cos2θ）=

（θ∈R），

﹣

），

22

且sinθ+cosθ=1，

=（1﹣cos2θ）﹣

=cos2θ•（

，

=cos2θ•

+cos2θ•（

2

又∵cosθ∈[0，1]，∴P在线段OC上，

由于AB边上的中线CO=2， 因此（可得（故选C．

【点评】本题着重考查了向量的数量积公式及其运算性质、三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式和二次函数的性质等知识，属于中档题．

9． 【答案】B

【解析】解：函数f（x）=

则f（0）=f（2）=log22﹣1=1﹣1=0． 故选B．

【点评】本题考查分段函数的运用：求函数值，注意运用各段的范围是解题的关键，属于基础题．

10．【答案】D 【解析】易知周期T2(，

++

）•）•

=2 +

•）•

，设|

|=t，t∈[0，2]，

=﹣2t（2﹣t）=2t2﹣4t=2（t﹣1）2﹣2，

的最小值等于﹣2．

∴当t=1时，（

211552.由22k（k），得2k)，∴T1212126第 9 页，共 19 页

（kZ），可得11．【答案】D111] 【解析】

555)，则f(0)2cos()3，故选D. ，所以f(x)2cos(2x666试题分析：f3f1f1112. 考点：分段函数求值． 12．【答案】B

【解析】解：当m=0时，两条直线方程分别化为：﹣2x﹣1=0，2x﹣2y+3=0，此时两条直线不垂直，舍去；

当m=2时，两条直线方程分别化为：﹣6y﹣1=0，4x+3=0，此时两条直线相互垂直； 当m≠0，2时，两条直线相互垂直，则

×

=﹣1，解得m=1．

综上可得：两条直线相互垂直的充要条件是：m=1，2．

∴“m=1”是“直线（m﹣2）x﹣3my﹣1=0与直线（m+2）x+（m﹣2）y+3=0相互垂直”的充分不必要条件．

故选：B．

【点评】本题考查了直线相互垂直的充要条件、充要条件的判定，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．

二、填空题

13．【答案】 2 ．

【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5， ∴2+x+4+6+10=5×5， 解得x=3， ∴此组数据的方差∴此组数据的标准差S=故答案为：2

．

[（2﹣5）2+（3﹣5）2+（4﹣5）2+（6﹣5）2+（10﹣5）2]=8， =2

．

【点评】本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．

14．【答案】 4 ．

【解析】解：∵sinA，sinB，sinC依次成等比数列，

22

∴sinB=sinAsinC，由正弦定理可得：b=ac，

∵c=2a，可得：b=a，

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∴cosB=∵

•

==，可得：sinB==，

=24，可得：accosB=ac=24，解得：ac=32，

=4

．

∴S△ABC=acsinB=

故答案为：4．

15．【答案】 ①④

【解析】解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）≥x1f（x2）+x2f（x1）恒成立， ∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0恒成立， 即函数f（x）是定义在R上的不减函数（即无递减区间）； ①f（x）在R递增，符合题意； ②f（x）在R递减，不合题意；

③f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增，不合题意； ④f（x）在R递增，符合题意； 故答案为：①④．

16．【答案】

【解析】解：由方程组

解得，x=﹣1，y=2故A（﹣1，2）．如图，

121

故所求图形的面积为S=∫﹣1（2x）dx﹣∫﹣1（﹣4x﹣2）dx

．

=﹣（﹣4）=

故答案为：

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【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．

17．【答案】[1，3）3

【解析】当x＜0时，由f（x）﹣1=0得x2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，

1e1e当x≥0时，由f（x）﹣1=0得

x110，得x=0， xe

由，y=f（f（x）﹣a）﹣1=0得f（x）﹣a=0或f（x）﹣a=﹣2， 即f（x）=a，f（x）=a﹣2， 作出函数f（x）的图象如图：

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x

1≥1（x≥0）， xe1xy′=x，当x∈（0，1）时，y′＞0，函数是增函数，x∈（1，+∞）时，y′＜0，函数是减函数，

e1x=1时，函数取得最大值：1，

e11当1＜a﹣21时，即a∈（3，3+）时，y=f（f（x）﹣a）﹣1有4个零点，

ee11当a﹣2=1+时，即a=3+时则y=f（f（x）﹣a）﹣1有三个零点，

ee1当a＞3+时，y=f（f（x）﹣a）﹣1有1个零点

e1当a=1+时，则y=f（f（x）﹣a）﹣1有三个零点，

e1a11当{e 时，即a∈（1+，3）时，y=f（f（x）﹣a）﹣1有三个零点．

ea21y=

综上a∈[1，3）3，函数有3个零点． 故答案为：[1，3）3．

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 18．【答案】 9 ．

【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22， 所以总城市数为11÷0.22=50，

平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18， 所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9． 故答案为：9

1e1e1e1e三、解答题

19．【答案】 【解析】解：（1）

，

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令f'（x）＞0，则；令f'（x）＜0，则．

∴f（x）在x=a时取得最大值，即①当（x）→﹣∞

，即0＜a＜1时，考虑到当x无限趋近于0（从0的右边）时，f（x）→﹣∞；当x→+∞时，f

∴f（x）的图象与x轴有2个交点，分别位于（0，）及（即f（x）有2个零点； ②当③当（2）由

，即a=1时，f（x）有1个零点； ，即a＞1时f（x）没有零点；

得

）

（0＜x1＜x2），

=，令

，设

则

，t∈（0，1）且h（1）=0

，又t∈（0，1），∴h′（t）＜0，∴h（t）＞h（1）=0

即，又，

∴f'（x0）=

＜0．

【点评】本题在导数的综合应用中属于难题，题目中的两个小问都有需要注意之处，如（1）中，在对0＜a＜1进行研究时，一定要注意到f（x）的取值范围，才能确定零点的个数，否则不能确定．（2）中，代数运算

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比较复杂，特别是计算过程中，令的化简和换元，使得原本比较复杂的式子变得简单化而可解，这对学

生的综合能力有比较高的要求．

20．【答案】（1） a2 （2） a≥2（3）两个零点． 【解析】

(1)0 ，解得a2 ，需试题分析：（1） 开区间的最值在极值点取得，因此f(x)在x1处取极值，即f′(x)≤0在区间0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应验证（2） h(x)在区间0,1上单调递减，转化为h′4x24x2函数最值：a≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得Fx最大值2（3）先利用导数研究函数

x1x1mx单调性：当x0,1时，递减，当x1,时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：m10，

m（e4)0 ， m(e4)0，结合零点存在定理可得零点个数

a(1)0即: 2a0, 由已知，f′x解得：a2 经检验 a2 满足题意 (x)2x试题解析：（1） f′所以 a2 ………………………………………4分

12112 因为x0,1，所以1,，所以xxxmin所以Fxmax2，所以a≥2 ……………………………………10分

2（3）函数mxf(x)g(x)6有两个零点．因为mxx2lnxx2x6

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2212x2xx所以m′x2x1xxxx12xx2xx2x ………12分

当x0,1时，mx0，当x1,时，mx0

所以mxminm140， ……………………………………14分

12e8e4(2e21)（1-e)(1+e+2e3)4m(e）=0 ，m（e)0

e4e84m(e4)e（e41)2(e27)0 故由零点存在定理可知：

2 函数mx在(e4,1) 存在一个零点，函数mx在(1,e4) 存在一个零点，

所以函数mxf(x)g(x)6有两个零点． ……………………………………16分 考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性 【思路点睛】

对于方程解的个数（或函数零点个数）问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．

21．【答案】（1）a0.3；（2）3.6万；（3）2.9. 【解析】

（3）由图可得月均用水量不低于2.5吨的频率为：

0.50.080.160.30.40.520.7385%；

月均用水量低于3吨的频率为：

0.50.080.160.30.40.520.30.8885%；

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则x2.50.50.850.732.9吨．1

0.30.5考点：频率分布直方图．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由题意得

解得a=2，b=1，

所以椭圆方程为．

（Ⅱ）（i）由已知，直线MN的斜率存在，

设直线MN方程为y=kx﹣，M（x1，y1），N（x2，y2）．

由22

得（1+4k）x﹣4kx﹣3=0，

∴x1+x2=又

．

，x1x2=，

所以S△PMN=|PD|•|x1﹣x2|==令t=所以S△PMN=令h（t）=则t=

，t∈[，则t≥

2，k=

．

，

，+∞），则h′（t）=1﹣

=）=

＞0，所以h（t）在[，

，+∞），单调递增，

，即k=0时，h（t）的最小值，为h（

．

所以△PMN面积的最大值为

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（ii）假设存在△PMN是以O为中心的等边三角形．

（1）当P在y轴上时，P的坐标为（0，1），则M，N关于y轴对称，MN的中点Q在y轴上． 又O为△PMN的中心，所以从而|MN|=

，|PM|=

，可知Q（0，﹣），M（﹣

，

），N（

，

）．

，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾．

（2）当P在x轴上时，同理可知，|MN|≠|PM|，与△PMN为等边三角形矛盾． （3）当P不在坐标轴时，设P（x0，y0），MN的中点为Q，则kOP=又O为△PMN的中心，则

，可知

．

，

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=2xQ=﹣x0，y1+y2=2yQ=﹣y0，

2222

又x1+4y1=4，x2+4y2=4，两式相减得kMN=

，

从而kMN=所以kOP•kMN=

． •（

）=

≠﹣1，

所以OP与MN不垂直，与等边△PMN矛盾． 综上所述，不存在△PMN是以O为中心的等边三角形．

【点评】本小题考查点到直线的距离公式、椭圆的性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、分析解决问题能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、特殊与一般思想、化归与转化思想

23．【答案】

【解析】解：∵向量（+3）⊥（7﹣5）且（﹣4）⊥（7﹣2）， ∴

+8

∴化为化为：∴∴θ=

或

+16， ．

=0， =0， =

， ，代入

﹣

=0，

cos2θ，

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【点评】本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

24．【答案】

【解析】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=﹣k=0， ∴x=，

由ln﹣1+1=0，可得k=1；

（2）当k≤0时，f′（x）=﹣k＞0，f（x）在（0，+∞）上是增函数；

当k＞0时，若x∈（0，）时，有f′（x）＞0，若x∈（，+∞）时，有f′（x）＜0， 则f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数． k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数， 而f（1）=1﹣k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0， ∵f（x）的最大值为f（），要使f（x）≤0恒成立， 则f（）≤0即可，即﹣lnk≤0，得k≥1．

【点评】本题考查导数的几何意义，考查函数单调区间的求法，确定实数的取值范围，渗透了分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．

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