和平区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析

一、选择题

1． 如图所示，阴影部分表示的集合是（

）

A．（∁UB）∩AB．（∁UA）∩BC．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）

2． 已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=5﹣b，P=（）c，则M、N、P的大小关系为（

）

A．M＞N＞PB．P＜M＜NC．N＞P＞M

3． 5名运动员争夺3项比赛冠军（每项比赛无并列冠军），获得冠军的可能种数为（ A．35　

4． sin 15°－2sin 80°的值为（ ）

sin 5°A．1 B．－1C．2

5． 下列关系正确的是（ A．1∉{0，1}

D．－2）

C．1⊆{0，1}

D．{1}∈{0，1}

B．1∈{0，1}B．

C．

D．53

）

　6． 在等差数列{an}中，a1=1，公差d0，Sn为{an}的前n项和.若向量m=(a1,a3)，n=(a13,-a3)，

2S+16n=0，则n且m×的最小值为（ ）

an+3A．4

B．3

C．23-2

D．

92【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．

7． 圆心在直线2x＋y＝0上，且经过点（－1，－1）与（2，2）的圆，与x轴交于M，N两点，则|MN|＝（

）

B．45D．25）

A．42 C．22

8． 已知向量与的夹角为60°，||=2，||=6，则2﹣在方向上的投影为（

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A．1B．2C．3D．4

）

9． 数列{an}满足a1=3，an﹣an•an+1=1，An表示{an}前n项之积，则A2016的值为（ A．﹣

B．

C．﹣1

D．1

10．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F 分别为BC,BB1的中点，则下列直线中与直线 EF相交

的是（

）

B．直线A1B1

C. 直线A1D1

D．直线B1C1 A．直线AA1 11．由直线

与曲线所围成的封闭图形的面积为（ ）

AB1CD

12．已知△ABC的周长为20，且顶点B （0，﹣4），C （0，4），则顶点A的轨迹方程是（ A．C．　

（x≠0）（x≠0）

B． D．

（x≠0）（x≠0）

）

二、填空题

13．【徐州市2018届高三上学期期中】已知函数

，则实数 的取值范围为______．

14．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】函数f（x）=x﹣lnx的单调减区间为 15．抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为　　　　　　．　

16．命题“∃x∈R，2x2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a的取值范围为　　．

17．已知偶函数f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（﹣1）=　　．18．已知α为钝角，sin（　

+α）=，则sin（

﹣α）=　　　　　　．．（为自然对数的底数），若

三、解答题

19．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：

为参数），曲线C2：

=1．

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（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ=　

（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．

20．设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=af（x）﹣1（a＞0且a≠1）．（Ⅰ）求k的值；

（Ⅱ）求g（x）在[﹣1，2]上的最大值；（Ⅲ）当

时，g（x）≤t2﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

21．巳知二次函数f（x）=ax2+bx+c和g（x）=ax2+bx+c•lnx（abc≠0）．

（Ⅰ）证明：当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；

（Ⅱ）在同一函数图象上取任意两个不同的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点C（x0，y0），记“K函数”．=ax2+bx+c与g（x）=ax2+bx+c•lnx直线AB的斜率为k若f（x）满足k=f′（x0），则称其为判断函数f（x）是否为“K函数”？并证明你的结论．

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22．甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化•印象莆田”知识竞赛活动，进行针对性训练，近8次的训练成绩如下（单位：分）：甲 83 81 93 79 78 84 88 94乙 87 89 89 77 74 78 88 98

（Ⅰ）依据上述数据，从平均水平和发挥的稳定程度考虑，你认为应派哪位选手参加？并说明理由；（Ⅱ）本次竞赛设置A、B两问题，规定：问题A的得分不低于80分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值100元的奖品，问题B的得分不低于90分时答题成功，否则答题失败，答题成功可获得价值300元的奖品．答题顺序可自由选择，但答题失败则终止答题．选手答题问题A，B成功与否互不影响，且以训练成绩作为样本，将样本频率视为概率，请问在（I）中被选中的选手应选择何种答题顺序，使获得的奖品价值更高？并说明理由．　

23．在平面直角坐标系xOy中，经过点和Q．

（Ⅰ）求k的取值范围；

且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P

（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

与共线？

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24．甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为，但由于体力原因，第7场获胜的概率为．

（Ⅰ）求甲队分别以4：2，4：3获胜的概率；

（Ⅱ）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．　

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和平区二中2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：由图象可知，阴影部分的元素由属于集合A，但不属于集合B的元素构成，∴对应的集合表示为A∩∁UB．故选：A．　

2． 【答案】A

【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，∴1＜2a＜2，5﹣b=（故选：A

【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．　

3． 【答案】D

【解析】解：每一项冠军的情况都有5种，故5名学生争夺三项冠军，获得冠军的可能的种数是 53，故选：D．

【点评】本题主要考查分步计数原理的应用，属于基础题．　

4． 【答案】

【解析】解析：选A.sin 15°－2 sin 80°

sin 5°

（＋）105sin°°＝－2cos 10°＝

sin 5°

sin 10°cos 5°＋cos 10°sin 5°－2 cos 10°sin 5°sin 5°－ 5sin 10°cos°cos 10°sin 5°sin（10°－5°）

＝＝＝1，选A.

sin5 °sin 5°

5． 【答案】B

【解析】解：由于1∈{0，1}，{1}⊆{0，1}，故选：B

【点评】本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．

＜5﹣b＜1，

）c＞（

＜（）c，

）c＜1，

）b＞（

即M＞N＞P，

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6． 【答案】A

【

解

析

】

7． 【答案】

【解析】选D.设圆的方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）．

2a＋b＝0

由题意得（－1－a）2＋（－1－b）2＝r2，

（2－a）2＋（2－b）2＝r2

{解之得a＝－1，b＝2，r＝3，

∴圆的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝9，

)令y＝0得，x＝－1±5，∴|MN|＝|（－1＋5）－（－1－5）|＝25，选D.8． 【答案】A

【解析】解：∵向量与的夹角为60°，||=2，||=6，∴（2﹣）•=2

﹣

=2×22﹣6×2×cos60°=2，

=

．

∴2﹣在方向上的投影为故选：A．

【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与投影的计算问题，是基础题目．　

9． 【答案】D

【解析】解：∵a1=3，an﹣an•an+1=1，∴…

∴数列{an}是以3为周期的周期数列，且a1a2a3=﹣1，

，得

，

，a4=3，

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∵2016=3×672，∴A2016 =（﹣1）672=1．故选：D．　

10．【答案】D【解析】

试题分析：根据已满治安的概念可得直线AA1,A1B1,A1D1都和直线EF为异面直线，B1C1和EF在同一个平面内，且这两条直线不平行；所以直线B1C1和EF相交，故选D.考点：异面直线的概念与判断.11．【答案】D

【解析】由定积分知识可得12．【答案】B

【解析】解：∵△ABC的周长为20，顶点B （0，﹣4），C （0，4），∴BC=8，AB+AC=20﹣8=12，∵12＞8

∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆，∵a=6，c=4∴b2=20，∴椭圆的方程是故选B．

，故选D。

【点评】本题考查椭圆的定义，注意椭圆的定义中要检验两个线段的大小，看能不能构成椭圆，本题是一个易错题，容易忽略掉不合题意的点．　

二、填空题

13．【答案】【解析】令所以即

点睛：解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为

的形式，然后根据函数的单调性

，则

为奇函数且单调递增，因此

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去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意14．【答案】（0,1）

与的取值应在外层函数的定义域内

【解析】

考点：本题考查函数的单调性与导数的关系15．【答案】　（ 1，±2

）　．

【解析】解：设点P坐标为（a2，a）依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2a2+2=

，求得a=±2

）

∴点P的坐标为（ 1，±2故答案为：（ 1，±2

）．

【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．　

16．【答案】﹣2≤a≤2【解析】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2故答案为：﹣2

≤a≤2

≤a≤2

．

【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．　

17．【答案】　1　．

【解析】解：f（x）的图象关于直线x=3对称，且f（5）=1，则f（1）=f（5）=1，f（x）是偶函数，所以f（﹣1）=f（1）=1．故答案为：1．　

18．【答案】　﹣

　．

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【解析】解：∵sin（∴cos（=sin（

﹣α）=cos[+α）=，

+α）=，﹣（

+α）]

∵α为钝角，即∴∴sin（∴sin（=﹣=﹣

，

．＜

﹣

＜α＜π，

，

﹣α）＜0，﹣α）=﹣

故答案为：﹣

【点评】本题考查运用诱导公式求三角函数值，注意不同角之间的关系，正确选择公式，运用平方关系时，必须注意角的范围，以确定函数值的符号．　

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）曲线由（Ⅱ）射线射线所以

20．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由f（﹣x）=﹣f（x）得 kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，∴k=0．

（Ⅱ）∵g（x）=af（x）﹣1=a2x﹣1=（a2）x﹣1

①当a2＞1，即a＞1时，g（x）=（a2）x﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a4﹣1．

为参数）可化为普通方程：（x﹣1）2+y2=1，

可得曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）=2．

与曲线C1的交点A的极径为与曲线C2的交点B的极径满足

．

，，解得

，

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②当a2＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a2）x在[﹣1，2]上为减函数，∴g（x）最大值为

．

∴

（Ⅲ）由（Ⅱ）得g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为∴1≤t2﹣2mt+1即t2﹣2mt≥0在[﹣1，1]上恒成立令h（m）=﹣2mt+t2，∴即

所以t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．

【点评】本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值，考查恒成立问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．　

21．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：如果g（x）是定义域（0，+∞）上的增函数，则有g′（x）=2ax+b+=

＞0；

，

从而有2ax2+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立；

又∵a＜0，则结合二次函数的图象可得，2ax2+bx+c＞0对任意x∈（0，+∞）恒成立不可能，故当a＜0时，无论b为何值，函数g（x）在定义域内不可能总为增函数；（Ⅱ）函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”，g（x）=ax2+bx+c•lnx不是“K函数”，事实上，对于二次函数f（x）=ax2+bx+c，k=

又f′（x0）=2ax0+b，故k=f′（x0）；

故函数f（x）=ax2+bx+c是“K函数”；对于函数g（x）=ax2+bx+c•lnx，不妨设0＜x1＜x2，则k=

=2ax0+b+

；

=a（x1+x2）+b=2ax0+b；

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而g′（x0）=2ax0+b+

；

故=，化简可得，

=；

设t=，则0＜t＜1，lnt=

；则s′（t）=

；

＞0；

设s（t）=lnt﹣则s（t）=lnt﹣

故s（t）＜s（1）=0；则lnt≠

；

是（0，1）上的增函数，

故g（x）=ax2+bx+c•lnx不是“K函数”．

【点评】本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的接受能力，属于中档题．　

22．【答案】

【解析】解：（I）记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为

，

、

，方差分别为．…

、

．

，

．…因为

，

，所以甲、乙两位选手的平均水平相当，但甲的发挥更稳定，故应派甲参加．…

（II）记事件C表示为“甲回答问题A成功”，事件D表示为“甲回答问题B成功”，则P（C）=，P（D）=，且事件C与事件D相互独立． …

记甲按AB顺序获得奖品价值为ξ，则ξ的可能取值为0，100，400．P（ξ=0）=P（）=，P（ξ=100）=P（

）=

，P（ξ=400）=P（CD）=

．

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即ξ的分布列为：

0ξP100400所以甲按AB顺序获得奖品价值的数学期望

记甲按BA顺序获得奖品价值为η，则η的可能取值为0，300，400．P（η=0）=P（）=，P（η=300）=P（即η的分布列为：

0ηP300）=

．…

，P（η=400）=P（DC）=400，

所以甲按BA顺序获得奖品价值的数学期望

因为Eξ＞Eη，所以甲应选择AB的答题顺序，获得的奖品价值更高．…

．…

【点评】本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想．　

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为代入椭圆方程得整理得

．①

，

．

，

，

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△=解得

或

．即k的取值范围为

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程①，又而所以

与

共线等价于

．，

将②③代入上式，解得由（Ⅰ）知

或

． ②． ③

．

，

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故没有符合题意的常数k．

【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设甲队以4：2，4：3获胜的事件分别为A，B，∵甲队第5，6场获胜的概率均为，第7场获胜的概率为，∴

，

和

．

，

∴甲队以4：2，4：3获胜的概率分别为

（Ⅱ）随机变量X的可能取值为5，6，7，∴，

∴随机变量X的分布列为 X 5 p．

【点评】本题考查离散型随机变量的分布列，期望的求法，独立重复试验概率的乘法公式的应用，考查分析问题解决问题的能力．　

6 7，P（X=6）=

，P（X=7）=

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