高等代数2017年南京航空航天大学硕士研究生考试真题

南京航空航天大学 

2017年硕士研究生入学考试初试试题（

科目代码: 科目名称:

814

高等代数

A卷）

分

满分: 150

注意: ①认真阅读答题纸上的注意事项；②所有答案必须写在答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；③本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！  一、(15分)设4阶矩阵A的特征多项式是f(x)=x4−5x3+5x2+ax+b，且x2−1|f(x)，这里“|”表示多项式的整除. 1．求a,b的值； 2．求A的全部特征值；

3．问：x2−1是否有可能成为矩阵A的最小多项式？并说明理由.

二、(15分) 设V1是由向量组α1=(1,0,2)T,α2=(2,1,1)T,α3=(3,a,3)T生成的R3的一个2． 维子空间（这里“T”表示转置，以下各题相同）1．求a的值；

2．求V1的正交补V1的维数和基；

3．若V2是由向量组β1=(1,1,0)T,β2=(2,1,3)T生成的R3的另一个子空间，求V1∩V2的维数和基.

三、(20分)设有非齐次线性方程组

⎧x1−x3=a,⎧x1+3x2+2x3=1,

(II)⎨(I)⎨

++=++=1.xxxxbxx232;2323⎩1⎩1

⊥

1．证明对任意实数a，方程组(I)有无穷多解； 2．求a,b的值，使得方程组(I)和(II)同解;

3．在方程组(I)和(II)同解的情况下，求方程组在实数域上模最小的特解.

四、(20分)设3阶矩阵A与3维列向量α，使得向量组α,Aα,A2α线性无关，且满足

A3α=2A2α−Aα，矩阵P=(α,Aα,A2α). 1．求矩阵B，使得A=PBP−1；

2．求行列式E+A，这里E表示单位矩阵；

3．问：矩阵A是否可以对角化？如能，求与其相似的对角标准形；如不能，求与其相似的Jordan标准形.

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梦想不会辜负每一个努力的人

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五、(20分) 设有二次型f(X)=XTAX=2(x12+x2+x3+tx1x2+tx1x3+tx2x3).

1．写出f(X)在正交变换X=PY下的一个标准形； 2．若f(X)为正定二次型，求t的取值范围； 3．若t=1，求正定矩阵B，使得A=B2.

六、(20分) 设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，且ABA=A，证明： 1．秩(AB)=秩(A);

2．非线性方程组AX=β有解的充分必要条件是ABβ=β；

⎛Er

3．若以Er表示r阶单位矩阵，则AB与形如⎜⎜0

⎝

0⎞⎟的分块矩阵相似，且r是A的秩. ⎟0⎠

七、(20分) 设A,B是两个n阶矩阵，且AB=A−B，证明： １．B可逆的充分必要条件是A可逆;

２．α为B的特征向量的充分必要条件是α为A的特征向量； ３．若A是正定矩阵，则B也是正定矩阵.

八、(20分) 设Γ是n维欧氏空间V的线性变换，Γ满足条件：对任意α,β∈V，有

(Γ(α),β)=−(α,Γ(β))，

这里(⋅,⋅)表示欧氏空间上的内积，证明： 1．若Γ有特征值，则其特征值必为0； 2．若Γ没有特征值，则Γ必可逆；

3．Γ2必有n个实特征值，其特征值均小于或等于0; 4．若n为奇数，则Γ不可逆．

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