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中考数学真题汇编:二次函数
一、选择题
1. 已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度 h（m）与飞行时间 t（s）满足函数表达式
h＝﹣t2＋24t＋1．则下列说法中正确的是（ ）
A. 点火后 9s 和点火后 13s 的升空高度相同 C. 点火后 10s 的升空高度为 139m 【答案】D
B. 点火后 24s 火箭落于地面
D. 火箭升空的最大高度为 145m
2. 关于二次函数
，下列说法正确的是（ ）
B. 图像的对称轴在 轴的右侧
D. 的最小值为-3
A . 图像与 轴的交点坐标为 C. 当 【答案】D 3. 如图,函数 （
时， 的值随 值的增大而减小
和 ( 是常数,且 )在同一平面直角坐标系的图象可能是
）
A.
B. C. D.
【答案】B 4.二次函数
的图像如图所示，下列结论正确是(
)
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A. B. C. D. 有两个
不相等的实数根 【答案】C
5. 给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x；④y=3x，上述函数中符合条作“当 x＞1 时，函数值 y 随自变量 x 增大而增大“的是（ ）
2
A. ①③ C. ②④ 【答案】B
B. ③④ D. ②③
6.若抛物线 y=x+ax+b 与 x 轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛物线。已知某定弦抛物线的对称轴为直线 x=1，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线过点（ A. （-3，-6）
B. （-3，0）
D. （-3，-1）
【答案】B
7. 如图，若二次函数 y=ax+bx+c（a≠0）图象的对称轴为 x=1，与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为 a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b﹣4ac＜0；④当 y＞0 时， ﹣1＜x＜3，其中正确的个数是（ ）
2
）
C. （-3，-5）
2
2
A. 1
C. 3
【答案】B
B. 2
D. 4
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8. 若抛物线 线的对称轴为直线
与 轴两个交点间的距离为 2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物，将此抛物线向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，得到的抛物线过点(
)
A.
D.
【答案】B 9.如图是二次函数 点
和 ；④
）
B. C.
（ ， ， 是常数，
）图象的一部分，与 轴的交点 在
之间，对称轴是
.对于下列说法：① ；② 时，
；③
，其中正确的是（
（ 为实数）；⑤当
A. ①②④ ②③④ 【答案】A
B. ①②⑤ D. ③④⑤
C.
10. 如图，二次函数 y=ax+bx 的图象开口向下，且经过第三象限的点 P．若点 P 的横坐标为-1，则一次函
2
数 y=（a-b）x+b 的图象大致是（ ）
A. 【答案】D
B. C. D.
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11. 四位同学在研究函数
（b，c 是常数）时，甲发现当 时，函数有最小值；乙发
的一个根；丙发现函数的最小值为 3；丁发现当 时，
．已知
现 是 方程
这四位同学中只有一位发现的结论是错误的，则该同学是（ ） A. 甲
B. 乙 C. 丙
丁 【答案】B
12. 如图所示,△DEF 中,∠DEF=90°,∠D=30°,DF=16,B 是斜边 DF 上一动点,过 B 作 AB⊥DF 于 B,交边 DE(或
D.
边 EF)于点 A,设 BD=x,△ABD 的面积为 y,则 y 与 x 之间的函数图象大致为（ ）
A. （
B.
C.
D. （
【答案】B
二、填空题
13. 已知二次函数
，当 x＞0 时，y 随 x 的增大而 （填“增大”或“减小”）
【答案】增大
14. 右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 2m 时，水面宽 4m，水面下降 2m，水面宽度增加
m。
【答案】4 -4
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三、解答题
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15. 如图，抛物线
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（a≠0）过点E（10，0），矩形ABCD 的边AB 在线段OE 上（点A 在点B
的左边），点 C ， D 在抛物线上．设 A（t ， 0），当 t=2 时，AD=4．
（1） 求抛物线的函数表达式．
（2） 当 t 为何值时，矩形 ABCD 的周长有最大值？最大值是多少？
（3） 保持 t=2 时的矩形 ABCD 不动，向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点 G ，， 且直线 GH 平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离． 【答案】（1）设抛物线的函数表达式为 y=ax（x-10） ∵当 t=2 时，AD=4 ∴点 D 的坐标是（2，4） ∴4=a×2×（2-10），解得 a=
∴抛物线的函数表达式为
（2） 由抛物线的对称性得 BE=OA=t
∴AB=10-2t 当 x=t 时，AD=
∴矩形 ABCD 的周长=2（AB+AD）=
∵
<0
∴当 t=1 时，矩形 ABCD 的周长有最大值，最大值是多少
（3） 如图，
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H
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当 t=2 时，点 A，B，C，D 的坐标分别为（2，0），（8，0），（8，4），（2，4） ∴矩形 ABCD 对角线的交点 P 的坐标为（5，2）
当平移后的抛物线过点 A 时，点 H 的坐标为（4，4），此时 GH 不能将矩形面积平分。当平移后的抛物线过点 C 时，点 G 的坐标为（6，0），此时 GH 也不能将矩形面积平分。 ∴当 G，H 中有一点落在线段 AD 或 BC 上时，直线 GH 不可能将矩形面积平分。 当点 G，H 分别落在线段 AB，DC 上时，直线 GH 过点 P，必平分矩形 ABCD 的面积。
∵AB∥CD
∴线段 OD 平移后得到线段 GH
∴线段 OD 的中点 Q 平移后的对应点是 P 在△OBD 中，PQ 是中位线 ∴PQ= OB=4
所以，抛物线向右平移的距离是 4 个单位。
16. 学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图 1），顺次输入点 P1 ， P2 ， P3 的坐标，机器人能根
据图 2，绘制图形。若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式。请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式。
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①P1（4，0），P2（0，0），P3（6，6）。 ②P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6）。
【答案】①∵P1（4，0），P2（0，0），4-0=4＞0， ∴绘制线段 P1P2 ， P1P2=4.
②∵P1（0，0），P2（4，0），P3（6，6），0-0=0， ∴绘制抛物线，
设 y=ax（x-4），把点（6，6）坐标代入得 a= ， ∴
，即
。
2
17. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，
小球的飞行高度 y（单位：m）与飞行时间 x（单位：s）之间具有函数关系 y=﹣5x+20x，请根据要求解答下列问题：
（1） 在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是多少？ （2） 在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3） 在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
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【答案】（1）解：当 y=15 时， 15=﹣5x+20x， 解得，x1=1，x2=3，
答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为 15m 时，飞行时间是 1s 或 3s （2）解：当 y=0 时， 0═ ﹣5x+20x， 解得，x3=0，x2=4， ∵4﹣0=4，
∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是 4s （3）解：y=﹣5x+20x=﹣5（x﹣2）+20， ∴当 x=2 时，y 取得最大值，此时，y=20，
答：在飞行过程中，小球飞行高度第 2s 时最大，最大高度是 20m
2
2
22
18. 在平面直角坐标系中，点 ，点 .已知抛物线 （ 是常数），定点
为 .
（1） 当抛物线经过点 时，求定点 的坐标； （2） 若点 在 轴下方，当
（3） 无论 取何值，该抛物线都经过定点
时，求抛物线的解析式； .当 经过点
. . ，
，
时，求抛物线的解析式.
【答案】（1）解：∵抛物线 ∴
，解得
∴抛物线的解析式为 ∵
∴顶点 的坐标为
（2） 解：如图 1，
.
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抛物线
的顶点 的坐标为
.
由点 在 轴正半轴上，点 在 轴下方， ，知点 在第四象限. 过点 作 轴于点 ，则 .
可知 ，即 ，解得
，
.
当
时，点 不在第四象限，舍去.
∴
.
∴抛物线解析式为
.
（3） 解： 如图 2：
由
可知，
当
时，无论 取何值， 都等于 4. 得点
的坐标为
. 过点 作 ，交射线
于点 ，分别过点 ， 作 轴的垂线，垂足分别为 ，则
.
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，
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∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴
， .∴
.
，
，
. . ，
或
. .
的解析式为 上，
. 解 得
时，点 与点
，
可得点 的坐标为 当点 的坐标为 ∵点 ∴ 当
时，可得直线 在直线
.
. .
重合，不符合题意，∴
当点 的坐标为 时，
.
上，
. 解得
可得直线 ∵点 ∴ ∴ 综上，
.
或
.
或
的图象经过点
.
，与 轴分别交于点 ，点
.点
的解析式为
在直线
（舍）， .
故抛物线解析式为
19. 如图，已知二次函数
是直线
上方的抛物线上一动点.
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（1） 求二次函数 （2） 连接
的表达式；
，并把
沿 轴翻折，得到四边形
.若四边形
为菱形，请
，
求出此时点 的坐标；
（3） 当点 运动到什么位置时，四边形
的面积最大？求出此时 点的坐标和四边形 的
最大面积.
【答案】（1）解：将点 B 和点 C 的坐标代入 得
，解得
，
．
．
,
∴ 该二次函数的表达式为
（2） 解：若四边形 POP′C 是菱形，则点 P 在线段 CO 的垂直平分线上；
如图，连接 PP′，则 PE⊥CO，垂足为 E，
∵ C（0，3）， ∴ E（0， ）,
∴ 点 P 的纵坐标等于 ． ∴
,
解得 ， （不合题意，舍去），
∴ 点 P 的坐标为（ ， ）．
（3） 解：过点 P 作y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，
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设 P（m， 则
, 解得
），设直线 BC 的表达式为
. ． ），
，
∴直线 BC 的表达式为 ∴Q 点的坐标为（m， ∴ 当 解得
∴ AO=1，AB=4，
. ， ，
∴ S 四边形 ABPC =S△ABC+S△CPQ+S△BPQ = = 当
时，四边形 ABPC 的面积最大．
，四边形 ABPC 的面积的最大值为
．
.点 从点 出发，沿
以每秒 2 个单位长度的速度
此时 P 点的坐标为
20. 如图 1，四边形
是矩形，点 的坐标为 ，点 的坐标为
以每秒 1 个单位长度的速度向点 运动，同时点 从点 出发，沿
向点 运动，当点 与点 重合时运动停止.设运动时间为 秒.
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（1） 当 （2） 当 （3） 当
时，线段 与 时，抛物线
的中点坐标为 相似时，求 的值；
；
经过 、 两点，与 轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，
如图 2 所示.问该抛物线上是否存在点 ，使 点坐标；若不存在，说明理由.
，若存在，求出所有满足条件的
【答案】（1）（ ，2）
（2）解：如图 1，∵四边形 OABC 是矩形，
∴∠B=∠PAQ=90°
∴当△CBQ 与△PAQ 相似时，存在两种情况： ①当△PAQ∽△QBC 时， ∴
2
，
，
4t-15t+9=0， （t-3）（t- ）=0， t1=3（舍），t2= ， ②当△PAQ∽△CBQ 时， ∴
t-9t+9=0，
2 ，
，
t= ，
∵0≤t≤6， ＞7，
∴x= 不符合题意，舍去，
综上所述，当△CBQ 与△PAQ 相似时，t 的值是 或 （3）解：当 t=1 时，P（1，0），Q（3，2）， 把 P（1，0），Q（3，2）代入抛物线 y=x+bx+c 中得：
2
，解得： ，
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∴抛物线：y=x-3x+2=（x- ）- ， ∴顶点 k（ ，- ）， ∵Q（3，2），M（0，2）， ∴MQ∥x 轴，
作抛物线对称轴，交 MQ 于 E， ∴KM=KQ，KE⊥MQ， ∴∠MKE=∠QKE= ∠MKQ，
如图 2，∠MQD= ∠MKQ=∠QKE，设 DQ 交 y 轴于 H，
22
∵∠HMQ=∠QEK=90°，
∴△KEQ∽△QMH， ∴
，
∴ ∴MH=2，
，
∴H（0，4），
易得 HQ 的解析式为：y=- x+4，
则 x-3x+2=-
2
， x+4，
，
解得：x1=3（舍），x2=- ∴D（- ，
）；
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同理，在 M 的下方，y 轴上存在点 H，如图 3，使∠HQM= ∠MKQ=∠QKE，
由对称性得：H（0，0）， 易得 OQ 的解析式：y= x， 则 x-3x+2=
2
，
x，
，
解得：x1=3（舍），x2= ∴D（ ， ）；
综上所述，点 D 的坐标为：D（- ，
21. 平面直角坐标系
）或（ ， ）
的图象与 轴有两个交点.
中，二次函数
（1） 当
时，求二次函数的图象与 轴交点的坐标；
作直线
轴，二次函数的图象的顶点 在直线 与 轴之间(不包含点 在
（2） 过点
直线 上)，求 的范围；
（3） 在(2)的条件下，设二次函数图象的对称轴与直线 相交于点 ，求
的面积最大时 的值.
【答案】（1）解：当 m=-2 时，y=x+4x+2 当 y=0 时，则 x+4x+2=0 解之：x1= （2）解：∵
，x2=
=（x-m）+2m+2∴顶点坐标为（m，2m+2）
2
22
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∵此抛物线的开口向上，且与 x 轴有两个交点，二次函数图像的顶点在直线 l 与 x 轴之间（不包括点 A 在直线 l 上）
∴ 解之：m＜-1，m＞-3 即-3＜m＜-1
（3）解：根据(2)的条件可知-3＜m＜-1 根据题意可知点 B（m，m-1）,A（m，2m+2）
∴AB=2m+2-m+1=m+3
S△ABO=
∴ m=− 时，△ABO 的面积最大。
22. 如图，已知抛物线
作
与 轴交于点
轴，交抛物线于点 .
和点 ，交 轴于点 .过点
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 若直线 与线段
轴于点 ，求矩形 将四边形
、 分别交于 、 的最大面积；
两点，过 点作 轴于点
，过点 作
（3） 若直线
分成左、右两个部分，面积分别为 、 ，且
，求 的值.
【答案】（1）解：根据题意得：9a-3b-3=0
a+b-3=0 解之：a=1，b=2
∴抛物线的解析式为 y-=x+2x-3
（2）解：解：∵x=0 时，y=-3∴点 C 的坐标为（0，-3） ∵CD∥X 轴，
2
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∴点 D（-2，-3） ∵A（-3,0），B（1,0） ∴yAD=-3x-9，yBD=x-1
∵直线 ∴ ∴
∴
∴矩形的最大面积为 3
与线段
、 分别交于 、 两点
（3）解：AB=1-（-3）=4，CD=0-（-2）=2,OC=3 ∵CD∥x 轴
∴S 四边形 ABCD= ∵
∴S1=4，S2=5
∵若直线 y=kx+1 经过点 D 时，点 D（-2，-3）
-2k+1=-3 解之：k=2
∴y=2x+1 当 y=0 时，x= ∴点 M 的坐标为 ∴ ∴
设 直线 y=kx+1 与 CD、AO 分别交于点 N、S
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∴ ∴
解之：k=
23. 如图①，在平面直角坐标系中，圆心为 P（x，y）的动圆经过点 A（1，2）且与 x 轴相切于点 B．
（1） 当 x=2 时，求⊙P 的半径；
（2） 求 y 关于 x 的函数解析式，请判断此函数图象的形状，并在图②中画出此函数的图象；
（3） 请类比圆的定义（图可以看成是到定点的距离等于定长的所有点的集合），给（2）中所得函数图
象进行定义：此函数图象可以看成是到 的距离等于到 的距离的所有点的集合．
（4） 当⊙P 的半径为 1 时，若⊙P 与以上（2）中所得函数图象相交于点 C、D，其中交点 D（m，n）在点
C 的右侧，请利用图②，求 cos∠APD 的大小． 【答案】（1）解：由 x=2，得到 P（2，y）， 连接 AP，PB，
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∵圆 P 与 x 轴相切， ∴PB⊥x 轴，即 PB=y， 由 AP=PB，得到 解得：y= ， 则圆 P 的半径为
（2）解：同（1），由 AP=PB，得到（x﹣1）+（y﹣2）=y ， 整理得：y= （x﹣1）+1，即图象为开口向上的抛物线， 画出函数图象，如图②所示；
2
2
2
2
=y，
（3） 点 A；x 轴
（4） 解：连接 CD，连接 AP 并延长，交 x 轴于点 F，
设 PE=a，则有 EF=a+1，ED= ∴D 坐标为（1+
，a+1），
，
代入抛物线解析式得：a+1= （1﹣a）+1， 解得：a=﹣2+
或 a=﹣2﹣
（舍去），即 PE=﹣2+
，
2
在 Rt△PED 中，PE= 则 cos∠APD=
=
﹣2，PD=1， ﹣2
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“
“
”
”
At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, \"people who learn to learn are very happy people.\". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of
continuous learning, \"life is diligent, nothing can be gained\can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!
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