西安交通大学机械工程学院研究生学位课程现代信号处理技术及应用第二章信号的时域分析2007-11-26机械工程及自动化研究所引言以时间为自变量描述物理量的变化是信号最基本、最直观的表达形式。在时域内对信号进行滤波、放大、统计特征计算、相关性分析等处理，统称为信号的时域分析。通过时域分析方法，可以有效提高信噪比，求取信号波形在不同时刻的相似性和关联性，获得反映机械设备运行状态的特征参数，为机械系统动态分析和故障诊断提供有效的信息。2.1 信号的预处理传感器获取的信号往往比较微弱，并伴随着各种噪声。不同类型的传感器，其输出信号的形式也不尽相同。为了抑制信号中的噪声，提高检测信号的信噪比，便于信息提取，须对传感器检测到的信号进行预处理。所谓信号预处理，是指在对信号进行变换、提取、识别或评估之前，对检测信号进行的转换、滤波、放大等处理。第二章信号的时域分析2.1 信号的预处理2.2 信号的采样2.3 时域统计分析2.4 相关分析及应用第二章信号的时域分析2.1 信号的预处理2.2 信号的采样2.3 时域统计分析2.4 相关分析及应用2.1 信号的预处理常用的信号预处理方法信号类型转换应变测力传感器、热电阻传感器输出的信号均为电阻信号，为了便于后续处理常用电桥将电阻信号转变为电压信号信号放大常用的信号放大器包括：测量放大器、隔离放大器、可编程增益放大器等信号滤波（本节重点介绍）去除均值在计算信号的标准差等统计量时，需要去除信号均值去除趋势项常用的趋势项消除方法有滤波法、多项式拟合法12.1.1 信号的滤波处理信号滤波处理是消除或减弱干扰噪声，保留有用信号的过程。把实现滤波功能的系统称之为滤波器。滤波器可分为两大类，即经典滤波器和现代滤波器。1) 经典滤波器原理经典滤波概念和方法建立在频域分析基础上x(t)=s(t)+n(t)滤波后的信号为y(t)滤波器的传递函数或滤波器的频率响应函数H(ω)=Y(ω)/X(ω)y(t)=x(t)*h(t)(2.1.1)滤波器的单位脉冲响应函数h(t)=F−1{H(ω)}在噪声频带和有用成分频带分离的情况下，通过设计如下的滤波器函数⎧⎨H(ω)=1, 当S(ω)≠0时⎩H(ω)=0, 当S(ω)=0 时H(ω)×X(ω)=S(ω)+N(ω)Y(ω)=S(ω)理想模拟滤波器由于理想低通滤波器具有矩形幅频特性和线性相位特性。同时，理想高通、带通和带阻滤波器均可以由理想低通滤波器串联得到。因此，以后均以理想低通滤波器为例来说明理想低通滤波器的矩形⎧⎪H(jω)=1 ω<ωc幅频、相频特性⎨⎪(2.1.4)⎩ϕ(jω)=−τ0ω ω<ωc | H( jω )| ϕ( jω )10ω-ω-τ0 ωc0ωcω幅频特性相频特性1. 经典滤波器定义：当噪声和有用信号处于不同的频带时，噪声通过滤波器将被衰减或消除，而有用信号得以保留分类根据幅频特性的不同，滤波器分为低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器、带阻滤波器等类型。根据处理信号类型的不同，滤波器可分为模拟滤波器和数字滤波器。对于数字滤波器来说，根据滤波器的单位脉冲响应序列长度的无限和有限，数字滤波器可进一步分为无限冲击响应滤波器(IIR)和有限冲击响应滤波器(FIR)两类2)理想模拟滤波器理想模拟滤波器是一个理想化的模型，对其讨论有助于进一步了解和改进实际滤波器的性能理想模拟滤波器的幅频特性曲线 | H( j ω )| | H( j ω )| 图2.1.1ωcωω ω ( a ) 低通 | H( j ω )|c ( b ) 高通 | H( j ω )|ωc1ωc2ωωc1ωc2ω( c ) 带通( d ) 带阻理想模拟滤波器理想低通滤波器的单位脉冲响应函数h(t)=sin[ωc(t−τ0)]π(t−τ=ωcsinc[ωc(t−τ0)](2.1.5)0)πh( t ) h( t ) ω c = 2ω c = 3ω c = 4 0τ0tππtω•ω23)实际滤波器及其基本参数实际的滤波器为了物理上可实现，通常在通带和阻带之间设置过渡带⏐H(jω)⏐ωp通带边缘频率11-δωps阻带边缘频率0.707ωc截止频率(滤波器的半功率点) δs0ωpωcωsω4)数字滤波器的设计数字滤波器有无限冲击响应IIR型滤波器和有限冲击响应FIR型滤波器之分IIR型数字滤波器的传递函数是M−rrzH(z)=∑br=0Nt1+∑akz=ejωΔkz−k=1FIR型数字滤波器的传递函数是H(z)=∑N−1h(n)z−nh(n)滤波器的单位脉冲n=0响应函数数字滤波器的设计方法简述不论是FIR型数字滤波器还是IIR型数字滤波器的设计都包括三个步骤Matlab数字滤波器设计演示(FDATool.fda,SPTool.fda)实际滤波器及其基本参数实际滤波器的幅频特性幅值在通带和阻带内一般不严格为1和0。它们分别允许的波动量分别为δpδs波动的大小分别用通带和阻带内的衰减|H(ejωα20lg)ω=0||H(ejωp1)|=−20lg|H(ejωp1p=)|=−20lg(1−δp)α=20lg|H(ejω)ω=0|se)|=−20lg|H(ejωs1|H(jωs1)|=−20lg(1−δs)实际滤波器的参数还有：波纹幅度、带宽、品质因数和倍频程选择性等数字滤波器的设计方法简述FIR型数字滤波器的设计方法主要是建立在对理想滤波器频率特性作某种近似的基础上的。这些近似方法有窗函数法、频率抽样法等；IIR型数字滤波器的设计属于间接设计法。IIR型数字滤波器目前最通用的设计方法是利用已经很成熟的模拟滤波器的设计方法来进行设计。而模拟滤波器的设计方法又有巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)和椭圆滤波器等不同的设计方法。2．现代滤波器当噪声频带和有用信号频带相互重叠时，经典滤波器就无法实现滤波功能现代滤波器也称统计滤波器，从统计的概念出发对信号在时域进行估计，在统计指标最优的意义下，用估计值去逼近有用信号，相应的噪声也在统计最优的意义下得以减弱或消除常用的统计滤波器有维纳滤波器和卡尔曼滤波器两类31）维纳滤波器20世纪40年代第二次世界大战期间，由于军事上的需要，Wiener提出并解决了平稳过程的最佳线性滤波问题采用线性最小均方误差估计准则，设计的最佳滤波器称为维纳(Wiener)滤波器x(t)=s(t)+n(t)sˆ(t)=∫tfx(τ)h(t(2.1.8)t−τ)dτ0h(t): 脉冲响应函数，按最小均方误差准则确定E{e2(t)}=min{E[s(t)−sˆ(t)]2}(2.1.9)2）卡尔曼滤波器维纳滤波器由于计算量大，难以作实时处理，故不能广泛应用，同时它对非平稳信号的滤波也无能为力。60年代初由于航天事业发展的需要，卡尔曼(Kalman)和布西(Bucy)在解决非平稳、多输入输出随机序列的估计问题中引入了状态变量，在克服维纳滤波某些局限的基础上，提出了被后人称为卡尔曼滤波的新滤波方法。该方法在雷达、通信、控制、生物和勘探等领域得到了广泛的应用维纳滤波器与卡尔曼滤波器对比卡尔曼滤波的特点是把信号的先验知识用信号的模型表达出来；在时域上引入状态变量法进行处理；采用递推型的线性最小均方误差算法。卡尔曼滤波和维纳滤波都是在应用随机信号和观测噪声的前二阶矩的统计特性，以线性最小均方估计解决随机信号的滤波问题。维纳滤波需要给出随机信号和噪声的有理谱形式；卡尔曼滤波则要求把随机信号规定为白噪声驱动的线性系统的输出。维纳滤波理论适应于平稳随机过程；卡尔曼滤波适用于有限初始时间的非平稳随机过程维纳滤波器维纳滤波器可根据t时刻，及t以前时刻的观测值x(t)，实现以下三个方面的应用卡尔曼滤波器卡尔曼滤波是线性最小均方误差滤波器的另一种处理方法。卡尔曼滤波建立在已知随机信号模型的基础上，包括模型的阶次、模型的参数和激励白噪声的统计特性。其原理是用信号前一时刻的估计值与测量值的误差项的加权平均作为当前时刻的估计值。sˆ(n)=asˆ(n−1)+Gn[x(n)−acsˆ(n−1)](2.1.10)信号前一时测量值的误刻估计值差项常数a和c分别表示参数模型和测量模型的参数，用Gn表示时刻的加权系数。第二章信号的时域分析2.1 信号的预处理2.2 信号的采样2.3 时域统计分析2.4 相关分析及应用4将连续信号转换成离散的数字序列过程就是信号的采样，它包含了离散和量化两个主要步骤。本节主要介绍采样过程中采样与混频、量化与误差、采样长度与分辨率及窗函数与泄露四方面的内容。模拟信号、采样脉冲函数及其频谱x( t ) X( ω ) -max x 0 tω 0 ωma( a )原函数 ( b )原函数频谱 ω p( t ) P( ω ) 1 ωs=2π/Δt • • • • • • • • • • • •Δt 0 t 0 ω( c )采样冲击函数( d )采样冲击函数的频谱 采样定理采样定理：为避免混叠，采样频率ωs必须不小于信号中最高频率ωmax的两倍ωs≥2ωmax即Δt≤π/ωmax或Δt≤1/(2fmax)实际中采样频率的选取往往留有余地，一般选取采样频率ωs为处理信号中最高频率的2.5～4倍。另外，由于测量信号中的高频部分往往是由干扰引起的噪声或我们不感兴趣的频谱，因此采样前须先对信号进行低通滤波(又称抗混滤波)。然后再根据滤波后信号的最高频率ωmax设定采样间隔。2.2.1 采样与混频设模拟信号为x(t) ，间距为Ut的采样脉冲函数为p(t) +∞p(t ) = ∑δ(t - nΔt )采样过程是n=-x(∞t)和p(t)相乘，得到离散信号x(nUt)+x(n∞Δt ) = ∑x( nΔt)δ( t - nΔt )(2.2.1)设x(t)的傅里叶变换为n=-∞x(ω)。采样脉冲函数p(t) 的傅里叶变换为+P∞(ω)= 2π2πmΔtδ(ω−m=-∑∞Δt)(2.2.2)离散信号及其频谱根据频域卷积定理可知，则式(2.2.1)所示离散信号x(nUt)的傅里叶变换为+∞X ω) = 2π2πmΔ((2.2.3)ΔtX( ω - m=-∑∞Δt )频谱混叠，离散信号及其频谱不能由频谱 x( n )=x( t )⋅p( t ) X( ω )*P(ω ) 准确地恢复 ω原信号s=2π/Δt • • •• • • Δt 0 n - ω0 max ωmax ω( e )离散时间信号 ( f )采样序列的频谱 2.2.2 量化与误差量化是对信号采样点取值进行数字化转换的过程。量化结果以一定位数的数字近似表示信号在采样点的取值。由于模/数转换器的位数有限，模/数转换器的输出只能表达一系列具有一定间隔的电平。当模拟信号在采样点上的取值落在两个相邻电平之间时，就要舍入到相近的一个电平上，我们把这一过程称之为量化。若设模/数转换器的位数为N ，采用二进制编码，转换器转换的电压范围为±V，则相邻电平之间的增量为Δ=V 2N−1 (2.2.4)52.2.3 窗函数或泄漏理论上信号的长度是无限的，但任何观测信号都是在有限时间段内进行观测的。因此，信号采样过程须使用窗函数，将无限长信号截断成为有限长度的信号。从理论上看，截断过程就是在时域将无限长信号乘以有限时间宽度的窗函数窗函数或泄漏泄漏与截断长度、所使用的窗函数等有关。不进行信号截断就没有泄漏误差另外，使用不同的窗函数泄漏大小也不同。泄漏取决于窗函数频谱的旁瓣。如果窗函数的旁瓣小，相应的泄漏也小其它窗函数汉宁窗w⎧(t) = ⎪1⎨+1cos(πt) | t |≤T W(ω)= sin(ωT⎪22T)⋅1⎩0 |t |>Tω1−(ωTπ)2 w( t ) W(ω )T-T0Tt-11ωT0T( c ) 汉宁窗函数( d ) 汉宁窗函数幅频曲线窗函数或泄漏最简单的窗函数是矩形窗⎧1 | t | < Tw(t)= ⎪⎨0.5 | t | = T sin(ωT)⎪W(ω) = 2 T ⎩0 | t | > TωT w( t ) W( ω )无限带宽12T泄漏-T0Tt-π0πωTT( a ) 矩形窗函数( b ) 矩形窗函数幅频曲线其它窗函数三角窗w⎧(t) = ⎪⎨1−1| t | ⎡sin(ωT/2)⎤2⎪T | t |≤T W(ω) = T ⎢⎩0 | t |>T⎣ωT/2⎥⎦ w( t ) W( ω )T1-Tt2πω0T-2πT0T( a ) 三角窗函数( b ) 三角窗函数幅频曲线2.2.4 采样长度与分辩率数字信号的分辨率包括时间分辨率和频率分辨率。数字信号的时间分辨率即采样间隔Ut，它反映了数字信号在时域中取值点之间的细密程度。数字信号的频率分辨率为Uω=2π/T，其中T=NUt为数字信号的时间跨度，N为数字信号的长度。频率分辨率表示了数字信号的频谱在频域中取值点之间的细密程度。因此，当采样频率或采样间隔确定后，增大采样点数就可增加信号的时间长度和频率分辨率。6第二章信号的时域分析2.1 信号的预处理2.2 信号的采样2.3 时域统计分析2.4 相关分析及应用2.3.1 时域指标参数(1) 均值μ1∫Tx=Tlim→ ∞T0x(t)dt(2) 均方值、方差ψ21T2x=Tlim→ ∞T∫0x(t)dtσ2=lim1T2xT→ ∞T∫0[x(t)−μx]dtσ2x=ψ2x−μ2x时域指标参数(5) 有量纲参数指标有量纲参数指标包括方根幅值、平均幅值、均方幅值和峰值四种。若随机信号符合平稳、各态历经条件，且均值为零，概率密度函数为p(x) ，则有量纲参数指标的定义如下⎧xr, l=1/2方根幅值x∞l1/l⎪x, l=1d=⎡⎢⎣∫−∞xp(x)dx⎤⎪平均幅值⎥⎦=⎨⎪xrms, l=2均方幅值⎪⎩xp, l→ ∞峰值2.3 时域统计分析信号的时域统计分析是指对信号的各种时域参数、指标的估计或计算。常用的时域参数和指标包括：1) 均值；2) 均方值；3) 均方根值；4) 方差；5) 标准差；6) 概率密度函数；7) 概率分布函数；8) 联合概率密度函数等。本节先介绍常见参数的概念，然后给出它们的应用。时域指标参数(3) 概率密度函数随机信号的取值落在区间内的概率可用下式表示Pprb[x
=∫T0x(t)y(t)dt(2.4.1)如果信号和随自变量时间的取值相似，内积结果就大。反之亦然。因此，通过式(2.4.1)可定义信号和的相关性度量指标。R(τ)=lim1T(2.4.1)T→∞T∫0x(t)y(t+τ)dt自相关函数及其应用几种常见信号的自相关函数 x (t) Rx( τ )τ0t0( a ) 正弦信号( b ) 正弦信号的自相关函数 x ( t ) R( τ )0tτ0( c ) 正弦加随机噪声信号( d ) 正弦加随机噪声的自相关函数第二章信号的时域分析2.1 信号的预处理2.2 信号的采样2.3 时域统计分析2.4 相关分析及应用2.4.2 自相关函数及其应用信号x(t)的自相关函数和自相关系数定义为Rx(τ)=TTlim1→ ∞T∫0x(t)x(t±τ)dtρ(τ)x(τ)=Rxσ2xx(t)=x0sin(ω0t+ϕ)x2Rx(τ)=02cos(ω0t)自相关函数及其应用几种常见信号的自相关函数 x ( t ) Rx( τ )0tτ0( e ) 窄带随机噪声( f ) 窄带随机噪声的自相关函数 x ( t ) Rx( τ )0tτ0( g ) 宽带噪声信号( h ) 宽带噪声信号的自相关函数9自相关函数及其应用可以看出信号中的周期性分量在相应的自相关函数中不会衰减，且保持了原来的周期。因此，自相关函数可从被噪声干扰的信号中找出周期成分。在用噪声诊断机器运行状态时，正常机器噪声是由大量、无序、大小近似相等的随机成分叠加的结果，因此正常机器噪声具有较宽而均匀的频谱。当机器状态异常时，随机噪声中将出现有规则、周期性的信号，其幅度要比正常噪声的幅度大得多。用噪声诊断机器故障时，依靠自相关函数就可在噪声中发现隐藏的周期分量，确定机器的缺陷所在。自相关分析诊断的实例自相关分析识别车床变速箱运行状态，确定存在缺陷轴的位置R R x( τ )x( τ )0τ0τ( a ) 正常状态变速箱噪声信号的自相关函数( b ) 异常状态变速箱噪声信号的自相关函数互相关函数及其应用互相关函数的性质如下自相关分析诊断的实例汽车车身振动信号x(t)t(a)Rx(τ)0τ0.15s(b)2.4.3 互相关函数及其应用互相关函数可定义为Rxy(τ)=Tlim1→ ∞T∫T0x(t)y(t+τ)dt互相关函数可定义为C1xy(τ)=TlimT→∞T∫0{[x(t)-ux][y(t+τ)-uy]}dt标准化互相关函数为ρ)xy(τ)=Cxy(τσxσy互相关分析的应用实例利用互相关分析测定船舶的航速信号源1信号源2vτ传感器x(t)传感器x(t)x(t)lx(t)海床(a)(b)Rxx(τ)v=l/τmaxτmaxτ10互相关分析的应用实例利用相关分析探测地下水管的破损地点放大器x(t)互相关分析传感器2放大器s=1 x(t)2vτmax水管道若τmax为正，则破损点在两端测R(τ)量点中心靠传感 ls l传感器1器1的一侧。若τ工s漏工max为负，则破作水作损点在两端测量井处井ττ点中心靠传感器υτ2的一侧11