石家庄市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

石家庄市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+n，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是（ ）

A．n≤8？ B．n≤9？ C．n≤10？ D．n≤11？

2． 如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（

A．30 B．50 C．75 D．150

3． 如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别为（ ）第 1 页，共 17 页

）

精选高中模拟试卷

A．10 13

4． 如果A．C．

B．12.5 12 C．12.5 13 D．10 15

是定义在上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（ ） B． D．

2

5． 已知抛物线C：y8x的焦点为F，P是抛物线C的准线上的一点，且P的纵坐标为正数，

Q是直线PF与抛物线C的一个交点，若PQ2QF，则直线PF的方程为（ ）

A．xy20 B．xy20 C．xy20 D．xy20 6． 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S4=﹣2，S5=0，则S6=（ ） A．0

B．1

C．2

D．3

7． 设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8． 若抛物线y2=2px的焦点与双曲线A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4

9． 有下列说法：

﹣

=1的右焦点重合，则p的值为（ ）

①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适． ②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．

③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．

其中正确命题的个数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

10．已知 m、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个互不重合的平面，则下列命题中 正确的是（ ） A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则 α∥β C．若m⊥α，n⊥α，则 m∥n D．若 m∥α，m∥β，则 α∥β

第 2 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

11．在二项式（x3﹣）n（n∈N*）的展开式中，常数项为28，则n的值为（ ）

A．12 B．8 C．6 D．4

12．自圆C：(x3)2(y4)24外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为Q，切线的长度等于点P到原点O的长，则点P轨迹方程为（ ）

A．8x6y210 B．8x6y210 C．6x8y210 D．6x8y210

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离，意在考查逻辑思维能力、转化能力、运算求解能力．

二、填空题

13．若(mxy)6展开式中x3y3的系数为160，则m__________．

【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想． 14．下列命题：

①集合a,b,c,d的子集个数有16个； ②定义在R上的奇函数f(x)必满足f(0)0；

③f(x)(2x1)22(2x1)既不是奇函数又不是偶函数； ④AR，BR，f:x⑤f(x)1，从集合A到集合B的对应关系f是映射； |x|1在定义域上是减函数． x其中真命题的序号是 ．

15．球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为 ．

216．要使关于x的不等式0xax64恰好只有一个解，则a_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力.

17．向量=（1，2，﹣2），=（﹣3，x，y），且∥，则x﹣y= ． 则异面直线A1E与GF所成的角的余弦值是 ．

18．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，

第 3 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

三、解答题

19．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，﹣（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）设函数 g（x）=f（x）+cos2x﹣1，将函数 g（x）图象上所有的点向右平行移动得的图象在区间（0，m）内是单调函数，求实数m的最大值．

20．已知直线l：x﹣y+9=0，椭圆E：

+

=1，

个单位长度后，所

＜φ＜

）的最小正周期为π，图象过点P（0，1）

（1）过点M（，）且被M点平分的弦所在直线的方程；

（2）P是椭圆E上的一点，F1、F2是椭圆E的两个焦点，当P在何位置时，∠F1PF2最大，并说明理由；

（3）求与椭圆E有公共焦点，与直线l有公共点，且长轴长最小的椭圆方程．

第 4 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

21．如图，菱形ABCD的边长为2，现将△ACD沿对角线AC折起至△ACP位置，并使平面PAC⊥平面

ABC．

（Ⅰ）求证：AC⊥PB；

（Ⅱ）在菱形ABCD中，若∠ABC=60°，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值； （Ⅲ）求四面体PABC体积的最大值．

22．（本小题满分10分）选修41：几何证明选讲

如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B,C两点，弦CD//AP，AD,BC相 交于点E，F为CE上一点，且DE2EFEC． （Ⅰ）求证：EDFP；

（Ⅱ）若CE:BE3:2,DE3,EF2，求PA的长．

第 5 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

23．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分别是PA、PB、BC的中点． （I）求证：EF⊥平面PAD；

（II）求平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小．

24．已知函数f（x）=x3+x．

（1）判断函数f（x）的奇偶性，并证明你的结论； （2）求证：f（x）是R上的增函数；

（3）若f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，求m的取值范围．

3322

（参考公式：a﹣b=（a﹣b）（a+ab+b））

第 6 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

石家庄市民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：n=1，满足条件，执行循环体，S=1+1=2 n=2，满足条件，执行循环体，S=1+1+2=4 n=3，满足条件，执行循环体，S=1+1+2+3=7

n=10，不满足条件，退出循环体，循环满足的条件为n≤9， 故选B．

【点评】本题主要考查了当型循环结构，算法和程序框图是新课标新增的内容，在近两年的新课标地区高考都考查到了，这启示我们要给予高度重视，属于基础题．

2． 【答案】B

【解析】解：该几何体是四棱锥， 其底面面积S=5×6=30， 高h=5， 则其体积V=

S×h=

30×5=50．

故选B．

3． 【答案】C

【解析】解：众数是频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标， ∴中间的一个矩形最高，故10与15的中点是12.5，众数是12.5

而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于Y轴的直线横坐标 第一个矩形的面积是0.2，第三个矩形的面积是0.3，故将第二个矩形分成3：2即可 ∴中位数是13 故选：C．

【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法．频率分布直方图中小长方形的面积=组距×

，各个矩形面积之和等于1，能根据直方图求众数和中位数，属于常规题型．

4． 【答案】B

【解析】【知识点】函数的奇偶性

【试题解析】因为奇函数乘以奇函数为偶函数，y=x是奇函数，故故答案为：B

是偶函数。

第 7 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

5． 【答案】B 【

解

析

】

考点：抛物线的定义及性质．

【易错点睛】抛物线问题的三个注意事项：（1）求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置（或开口方向）判断是哪一种标准方程．（2）注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题．（3）直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行（或重合）时，直线与抛物线也只有一个交点． 6． 【答案】D 则S4=4a1+联立解得∴S6=6a1+故选：D

d=3

【解析】解：设等差数列{an}的公差为d，

d=﹣2，S5=5a1+，

d=0，

【点评】本题考查等差数列的求和公式，得出数列的首项和公差是解决问题的关键，属基础题．

7． 【答案】A

【解析】解：由“|x﹣2|＜1”得1＜x＜3，

第 8 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

2

由x+x﹣2＞0得x＞1或x＜﹣2，

2

即“|x﹣2|＜1”是“x+x﹣2＞0”的充分不必要条件，

故选：A．

8． 【答案】D

【解析】解：双曲线

﹣

=1的右焦点为（2，0），

即抛物线y2=2px的焦点为（2，0）， ∴=2， ∴p=4． 故选D．

【点评】本题考查双曲线、抛物线的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．

9． 【答案】C

【解析】解：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．

②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．

③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．

综上可知：其中正确命题的是①③． 故选：C．

【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题．

10．【答案】C

【解析】解：对于A，若 m∥α，n∥α，则 m与n相交、平行或者异面；故A错误； 对于B，若α⊥γ，β⊥γ，则 α与β可能相交，如墙角；故B错误； 对于C，若m⊥α，n⊥α，根据线面垂直的性质定理得到 m∥n；故C正确； 对于D，若 m∥α，m∥β，则 α与β可能相交；故D错误； 故选C．

【点评】本题考查了空间线线关系．面面关系的判断；熟练的运用相关的定理是关键．

11．【答案】B

【解析】解：展开式通项公式为Tr+1=

•（﹣1）r•x3n﹣4r，

第 9 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

则∵二项式（x﹣）（n∈N）的展开式中，常数项为28，

3

n

*

∴，

∴n=8，r=6． 故选：B．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．

12．【答案】D

【解析】由切线性质知PQCQ，所以PQPCQC222，则由PQPO，得，

(x3)2(y4)24x2y2，化简得6x8y210，即点P的轨迹方程，故选D， 二、填空题

13．【答案】2

33【解析】由题意，得C6m160，即m8，所以m2．

314．【答案】①② 【解析】

试题分析：子集的个数是2，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③fx4x1为偶函数，故错误.

n2对于④x0没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误. 考点：子集，函数的奇偶性与单调性．

【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2个；对于

n奇函数来说，如果在x0处有定义，那么一定有f00，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要元素在集合B中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1 15．【答案】

．

根据定义fxfx,fxfx，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A中任意一个

【解析】解：由题意画出几何体的图形如图

由于面SAB⊥面ABC，所以点S在平面ABC上的射影H落在AB上，根据球体的对称性可知，当S在“最高点”，也就是说H为AB中点时，SH最大，棱锥S﹣ABC的体积最大． ∵△ABC是边长为2的正三角形，所以球的半径r=OC=在RT△SHO中，OH=

OC=

OS

CH=

．

第 10 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

∴∠HSO=30°，求得SH=OScos30°=1， ∴体积V=故答案是

Sh=．

×

×2×1=

2

．

【点评】本题考查锥体体积计算，根据几何体的结构特征确定出S位置是关键．考查空间想象能力、计算能力．

16．【答案】22.

【解析】分析题意得，问题等价于xax64只有一解，即xax20只有一解， ∴a80a22，故填：22. 17．【答案】 ﹣12

【解析】解：∵向量∴

==

，

．

222=（1，2，﹣2），=（﹣3，x，y），且∥，

解得x=﹣6，y=6， 故答案为：﹣12．

x﹣y=﹣6﹣6=﹣12．

【点评】本题考查了空间向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．

18．【答案】0 【解析】

【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．

【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系， ∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点， ∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），

=（﹣1，0，﹣1），

=﹣1+0+1=0，

=（1，﹣1，﹣1），

第 11 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

∴A1E⊥GF，

∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0． 故答案为：0．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）+1（ω＞0，﹣∴ω=

=2，

＜φ＜）的最小正周期为π，

又由函数f（x）的图象过点P（0，1）， ∴sinφ=0， ∴φ=0，

∴函数f（x）=sin2x+1；

（Ⅱ）∵函数 g（x）=f（x）+cos2x﹣1=sin2x+cos2x=将函数 g（x）图象上所有的点向右平行移动所得函数的解析式是：h（x）=∵x∈（0，m）， ∴2x﹣

∈（﹣

，2m﹣

），

sin[2（x﹣

sin（2x+

），

个单位长度后， ）+

]=

sin（2x﹣

），

又由h（x）在区间（0，m）内是单调函数， ∴2m﹣

≤

，即m≤

， ．

即实数m的最大值为

第 12 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

【点评】本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，函数图象的平移变换，熟练掌握正弦型函数的图象和性质，是解答的关键．

20．【答案】

【解析】解：（1）设以点M（，）为中点的弦的端点为A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴x1+x2=1，y1+y2=1，

把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆E：

+

=1，

得，∴kAB=

=﹣=﹣，

∴直线AB的方程为y﹣=﹣（x﹣），即2x+8y﹣5=0． （2）设|PF1|=r1，|PF2|=r1， 则cos∠F1PF2=又r1r2≤（

=

22

）=a（当且仅当r1=r2时取等号）

﹣1=

﹣1=

﹣1，

∴当r1=r2=a，即P（0，（3）∵

=12，

）时，cos∠F1PF2最小，

=9． +

=1（a2＞9），

又∠F1PF2∈（0，π），∴当P为短轴端点时，∠F1PF2最大．

=3，∴

则由题意，设所求的椭圆方程为

22224

将y=x+9代入上述椭圆方程，消去y，得（2a﹣9）x+18ax+90a﹣a=0， 22224

依题意△=（18a）﹣4（2a﹣9）（90a﹣a）≥0， 22

化简得（a﹣45）（a﹣9）≥0， 22

∵a﹣9＞0，∴a≥45，

故所求的椭圆方程为=1．

【点评】本题考查直线方程、椭圆方程的求法，考查当P在何位置时，∠F1PF2最大的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、余弦定理、椭圆性质的合理运用．

21．【答案】

第 13 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

【解析】解：（Ⅰ）证明：取AC中点O，连接PO，BO，由于四边形ABCD为菱形，∴PA=PC，BA=BC，∴PO⊥AC，BO⊥AC，又PO∩BO=O，

∴AC⊥平面POB，又PB⊂平面POB，∴AC⊥PB．

（Ⅱ）∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PO⊂平面PAC， PO⊥AC，∴PO⊥面ABC，∴OB，OC，OP两两垂直， 故以O为原点，以的边长为2， ∴

，

设平面PBC的法向量∴∴

（Ⅲ）法一：

设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π），∴又PO⊥平面ABC，∴（∴

），

，

=

，

，取x=1，则

，直线AB与平面PBC成角为θ，

，于是

，

．

，

y，z轴正方向建立空间直角坐标系，∵∠ABC=60°，方向分别为x，菱形ABCD

，∴直线AB与平面PBC成角的正弦值为

，

∴

，当且仅当

．

，即

时取等号，

∴四面体PABC体积的最大值为

法二：设∠ABC=∠APC=α，α∈（0，π）， ∴∴设∴

，则

，

，且0＜t＜1，

，

，又PO⊥平面ABC， =

（

），

第 14 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

∴当∴当

时，V'PABC＞0，当时，VPABC取得最大值

时，V'PABC＜0，

，∴四面体PABC体积的最大值为

，（0＜x＜2）

．

法三：设PO=x，则BO=x，又PO⊥平面ABC， ∴∵

22

当且仅当x=8﹣2x，即

，

，

时取等号，∴四面体PABC体积的最大值为

．

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理以及性质定理的应用，直线与平面所成角的求法，几何体的体积的最值的求法，考查转化思想以及空间思维能力的培养．

22．【答案】

【解析】【命题意图】本题考查相交弦定理、三角形相似、切割线定理等基础知识，意在考查逻辑推理能力．

第 15 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

23．【答案】

【解析】解：（I）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD， ∴AB⊥平面PAD， ∵E、F为PA、PB的中点， ∴EF∥AB，

∴EF⊥平面PAD； （II）解：过P作AD的垂线，垂足为O， ∵平面PAD⊥平面ABCD，则PO⊥平面ABCD． 取AO中点M，连OG，EO，EM， ∵EF∥AB∥OG，

∴OG即为面EFG与面ABCD的交线

又EM∥OP，则EM⊥平面ABCD．且OG⊥AO， 故OG⊥EO

∴∠EOM 即为所求 在RT△EOM中，EM=∴tan∠EOM=

OM=1

，故∠EOM=60°

∴平面EFG与平面ABCD所成锐二面角的大小是60°．

第 16 页，共 17 页

精选高中模拟试卷

【点评】本题主要考察直线与平面垂直的判定以及二面角的求法．解决第二问的难点在于找到两半平面的交线，进而求出二面角的平面角．

24．【答案】

【解析】解：（1）f（x）是R上的奇函数

33

证明：∵f（﹣x）=﹣x﹣x=﹣（x+x）=﹣f（x），

∴f（x）是R上的奇函数

（2）设R上任意实数x1、x2满足x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，

f（x1）﹣f（x2）=（x1﹣x2）+[（x1）3﹣（x2）3]=（x1﹣x2）[（x1）2+（x2）2+x1x2+1]=（x1﹣x2）[（x1+x2）

2

+x22+1]＜0恒成立，

因此得到函数f（x）是R上的增函数．

（3）f（m+1）+f（2m﹣3）＜0，可化为f（m+1）＜﹣f（2m﹣3）， ∵f（x）是R上的奇函数，∴﹣f（2m﹣3）=f（3﹣2m）， ∴不等式进一步可化为f（m+1）＜f（3﹣2m）， ∵函数f（x）是R上的增函数， ∴m+1＜3﹣2m， ∴

第 17 页，共 17 页