2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期12月月考数学试题(解析版)

数学试题

一、单选题

1．若sin0，且tan0，则是（ ） A．第一象限角 【答案】C

【解析】sin0，则的终边在三、四象限；tan0则的终边在三、一象限，

B．第二象限角

C．第三象限角

D．第四象限角

sin0，tan0，同时满足，则的终边在三象限。

2．已知集合Axlog3x1，Byy3,x0，则AA． 【答案】D

【解析】先化简集合A和B,再求A【详解】

由题得Ax0x3，Byy1， 所以A故选：D 【点睛】

本题主要考查对数指数不等式的解法，考查集合的交集的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

3．函数f(x)=2x3x的零点所在的一个区间是 A．（-2，-1） 【答案】B

【解析】试题分析：因为函数f(x)=2x+3x在其定义域内是递增的，那么根据f(-1)=

B．（-1,0）

C．（0,1）

D．（1,2）

B．x1x3

xB（ ）

D．x1x3

C．x1x3

B得解.

Bx1x3.

1530,f（0）=1+0=1>0,那么函数的零点存在性定理可知，函数的零点的22区间为（-1,0），选B。

【考点】本试题主要考查了函数零点的问题的运用。

点评：解决该试题的关键是利用零点存在性定理，根据区间端点值的乘积小于零，得到函数的零点的区间。

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4．已知cosA．

π3π3π,且,,则tan 2522B．

4 33 4C．3 4D． 3 4【答案】B

334ππ3πcos=,,sinsin【解析】由即又,,所以cos,

555222则tan故选B．

3. 41312311cln5．设a，则( ) ，b，23A．cab 【答案】B

B．cba

C．abc

D．bac

1111lnlnlnlna3223【解析】很明显：a0,b0,c0，且：1， 111lnbln2323lnxlna1,lnalnb,ab， 函数fx在区间0,e上单调递增，则

xlnb据此可得：c6．函数f(x)ln(x22)的图象大致是( )

A． B．

C．

D．

【答案】D

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【解析】【详解】

由题意可得函数f(x)为偶函数，排除C， 由f(0)=ln2>0排除A、B; 故选D.

p7．设p:ln2x10,q:xaxa10，若q是的必要而不充分条件，

则实数a的取值范围是( ) A．0,

2

【答案】A

【解析】分析：根据不等式的性质求出p,q对应的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义建立条件关系，即可得到结论. 详解：由2x11，得02x11，即

1B．0,



12

C．,0,12D．,0(,）

1211x1，即p:x1，

22由(xa)[x(a1)]0，得axa1，即q:axa1，

11aa1若q是p的必要不充分条件，则2，则0≤a≤， 2，即2a0a11所以实数a的取值范围是[0,]，故选A.

点睛：本题考查充要条件的判断，若pq，则p是q的充分条件，若qp，则p是q的必要条件，若pq，则p是q的充要条件；从集合的角度看，若AB，则A是B的充分条件，若BA，则A是B的必要条件，若AB，则A是B的充要条件，若A是B的真子集，则A是B的充分不必要条件，若B是A的真子集，则A是B的必要不充分条件.

8．若函数fx2cosx对任意实数x都有f12xfx，那么33f的值等于（ ） 3A．2 【答案】C 【解析】由fB．2

C．2

D．不能确定

xfx得函数图象的对称轴为x，即得

333第 3 页 共 13 页

f的值. 3【详解】 由fxfx得函数图象的对称轴为x，

333因为余弦函数在对称轴取到函数的最值，

f所以=2. 3故选：C 【点睛】

本题主要考查余弦函数的对称轴和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 9．关于函数f(x)sin|x||sin x|有下述四个结论：

①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（

,）单调递增 2③f(x)在[,]有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ 【答案】C

【解析】化简函数fxsinxsinx，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】

B．②④

C．①④

D．①③

fxsinxsinxsinxsinxfx,fx为偶函数，故①正

确．当

x时，fx2sinx，它在区间,单调递减，故②错误．当220x时，fx2sinx，它有两个零点：0；当x0时，

fxsinxsinx2sinx，它有一个零点：，故fx在,有3个

零点：0，故③错误．当x2k,2kkN时，fx2sinx；当

x2k,2k2kN时，fxsinxsinx0，又fx为偶函数，

fx的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C．

【点睛】

画出函数fxsinxsinx的图象，由图象可得①④正确，故选C．

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10．设a,bR，且ab3，则2a2b的最小值是（ ） A．6 【答案】B

【解析】直接利用基本不等式求解. 【详解】

由题得2a2b22a2b=22ab2842. 当且仅当ab故选：B 【点睛】

本题主要考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

2fxlog1x111．设函数 2B．42 C．22 D．26 3时取等. 2112x，则使得fxf2x1成立的x的取值

范围是（ ） A．,1

B．1,

C．,113

【答案】C

D．,1,

31【解析】 由题意函数的定义域为R， 且fxlog1[1(x)]22112log(1x)fx， 1xx12122所以函数fx为偶函数，且函数fx在(0,)为单调递减函数， 则函数fx在(,0)为单调递增函数， 又因为fxf(2x1)，所以x2x1，解得

1x1，故选C. 312．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，

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f(x)1(xa2x2a23a2)，若xR，都有f(x1)f(x)，则实数a的2取值范围为 （ ） A．[,] 【答案】B

1166B．[66,] 66C．[,]

1133D．[33,] 33【解析】试题分析：当时，

，由是奇函数，可作出的图像，如下图所示,又

因为，，所以的图像恒在

图像的下方，所以

图像的下方，即将

，解得

的图像往右平移一个单位后恒在

．故选B．

【考点】函数的性质

二、填空题

13．若f(cos x)=cos\"3x，则f(sin 30°)的值为 . 【答案】-1 【解析】【详解】

)= f(cos 60°)=cos180°=-1.故可知答案为-1. 根据题意，由于f(cos x)=cos 3x，则f(sin 30°14．已知sin2cos30，则【答案】

sincos__________.

sincos1 3sincos的值.

sincos【解析】先化简已知求出tan2，再求【详解】

因为sin2cos30， 所以sin2cos0，

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所以tan2. 所以

sincostan1211.

sincostan1213故答案为：【点睛】

1. 3本题主要考查诱导公式化简求值，考查同角的商数关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

x24x3,x015．设函数fxx1，则满足fx0的x的取值范围是__________.

21,x0【答案】1x1或x3.

【解析】当x0时，x3或0x1；当x0时，1x0，综合即得解. 【详解】

当x0时，x24x30，x3或x1，因为x0，所以x3或0x1； 当x0时，2x1120,x10,x1，因为x0，所以1x0.

综合得1x1或x3. 故答案为：1x1或x3. 【点睛】

本题主要考查分段函数，考查二次不等式的解法和指数不等式的解法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 16．函数f(x)1的图像与函数g(x)2sinx(0x4)的图像的所有交点为2x2,(xn,yn)，则f(y1y2yn)g(x1x2xn)_______

(x1,y1),(x2,y2),【答案】

1 2【解析】如下图，画出函数fx 和gx 的图象，可知有4个交点，并且关于点2,0 对称，所以y1y2y3y40 ，x1x2x3x48 ，所以

fy1y2y3y4gx1x2x3x4f0g8110 . 22第 7 页 共 13 页

【点睛】本题考查了函数图像的应用，是高考热点，当涉及函数零点个数时，可将问题转化为两个函数图像的交点个数，或是多个零点和的问题，那就需观察两个函数的函数性质.，比如对称性等，帮助解决问题.

三、解答题

17．已知角终边上一点psin（1）求tan的值；

45,cos36 cossinsin2. （2）化简并求值：

119sin2coscossin22【答案】（1）1；(2)

1233【解析】（1）由题得p（2）2,2，再由三角函数的坐标定义求tan的值；

先化简得原式=tan【详解】

tan，再代入tan的值即得解.

tan133321. tan=,（1）由题得p，所以2232第 8 页 共 13 页

cossinsin2 （2）

119sin2coscossin22=sinsinsintan tansincossincostan111=1.

22【点睛】

本题主要考查三角函数的坐标定义，考查诱导公式的化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 18．已知fx2sin2xa1 6（1）若xR时，fx的最大值为4，求a的值； （2）求函数yfx的单调递增区间. 【答案】（1）a1；（2）[k，k]，kZ． 36【解析】（1）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得f(x)在R上的最大值，再根据最大值为4，求得a的值；（2）由题意利用正弦函数的单调性，求得f(x)的单调递增区间． 【详解】

（1）由题得函数的最大值为2a14，\\a=1．

2x2k，求得（2）对于f(x)2sin(2x)a1，令2k剟6262k剟xk，可得f(x)的单调递增区间为[k，k]，kZ．

3636【点睛】

本题主要考查正弦函数的单调性、值域，属于基础题．

19．已知c0 设q：函数ycx在R上单调递减.q：不等式xx2c1的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围.

（0，][1，+) 【答案】

【解析】分两种情况讨论，对于p真q假以及p假q真分别列不等式组，分别解不等式组，然后求并集即可求得实数m的取值范围. 【详解】

命题p:函数y=cx在R上单调递减，

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12应有：0根据绝对值的几何意义|x|+|x−2c|表示数轴上点x到原点与到点2c的距离之和，

命题q:不等式x+|x−2c|>1的解集为R， 则2c1c1， 2若p∨q为真，p∧q为假，即是说p，q中一真一假。

0c11(1)当p真q假时,应有： 1，∴0c.

20c„21c…(2)当p假q真时,应有1，∴c⩾1；

c2综上(1)(2)可得,c的取值范围是0,[1,).

21【点睛】

解答非命题、且命题与或命题真假有关的题型时，应注意：（1）原命题与其非命题真假相反；（2）或命题“一真则真”；（3）且命题“一假则假”. 20．已知函数fx1xlg2x的定义域为M. （1）判定函数fx在M上的单调性； （2）当xM时，求函数gx42xx1的值域.

【答案】（1）单调递减；（2）[1,0]

【解析】（1）由y1x和ylg(2x)的单调性得到函数的单调性；（2）先求出M,再利用换元求出函数的值域. 【详解】

（1）因为y1x是定义域M上的减函数，ylg(2x)也是定义域M上的减函数，所以函数fx在M上的单调递减.(减函数+减函数=减函数）.

（2）由题得1x0，所以M(2,1].

2x0第 10 页 共 13 页

1gx4x2x1(2x)222x,令2xt，t(,2]，

4所以htt2t，函数的图象的对称轴为t1，

2所以htmin121，htmax240，

22所以函数的值域为[1,0]. 【点睛】

本题主要考查函数的单调性的判定，考查指数函数的图象和性质，考查二次函数的值域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

21．设二次函数fxxbxcb,cR，已知不论，为何实数，恒有

2fsin0且f2cos0.

（1）求证：c3；

（2）若函数fsin的最大值为8，求b，c的值. 【答案】（1）证明见解析；（2）b4，c3.

3．【解析】（1）先分析得到bc10，根据f（3）„0，证得c…（2）首先对函数进

行化简配方，然后利用二次函数的性质结合自变量和对称轴的范围即可获得问题的解答． 【详解】

（1）sin[1，1]，2cos[1，3]，又

f(sin)…0，f(2cos)„0恒成立．

f（1）…0，且f（1）„0，

即 f（1）0恒成立．1bc0．

f（3）„0，93bc„0，93(1c)c„0，c…3．

（2）

f(sin)sin2(1c)sinc(sin1c21c2)c()， 221c…2 2当sin1时，f(sin)的最大值为1bc．

由1bc8与bc1联立， 可得b4，c3． 即b4，c3． 【点睛】

本题主要考查正弦函数、余弦函数的值域，二次函数的性质的应用，属于基础题．

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22．某工厂有214名工人, 现要生产1500件产品, 每件产品由3个A型零件与1个B型零件配套组成, 每个工人加工5个A型零件与3个B型零件所需时间相同. 现将全部工人分为两组, 分别加工一种零件, 同时开始加工. 设加工A型零件的工人有x人, 在单位时间内每人加工A型零件5k个(k∈N), 加工完A型零件所需时间为g(x), 加工完B型零件所需时间为h (x).

(Ⅰ) 试比较g(x)与h(x)大小, 并写出完成总任务的时间f(x)的表达式； (Ⅱ) 怎样分组才能使完成任务所需时间最少?

【答案】(Ⅰ) 当1≤x≤137(x∈N)时, g(x)＞h(x);138≤x≤213(x∈N)时, g(x)＜

900,1x137,kxh(x);f(x){;

500,138x213.k(214x)(Ⅱ)加工A型零件137人, 加工B型零件77人, 完成任务所需时间最少. 【解析】【详解】

(Ⅰ) 由题意知, A型零件共需要4500个, B型零件共需要1500个, 加工B型零件的工人有214－x人, 单位时间内每人加工B型零件3k个, 所以g(x)45009001500500,h(x), 5kxkx3k(214x)k(214x)9005001002(9637x). kxk(214x)kx(214x)所以g(x)h(x)0＜x＜214,且x∈N.

∴ 当1≤x≤137(x∈N)时, g(x)＞h(x); 138≤x≤213(x∈N)时, g(x)＜h(x).

900,1x137,kx∴f(x){（ 其中x∈N).

500,138x213.k(214x)(Ⅱ) 即求当x为何值时, f(x)最小.

500900(138x213)为增函数, (1x137),又为减函数

k(214x)kx而

f(137)90076k＜1,则x=137时f(x)最小,

f(138)137k500即加工A型零件137人, 加工B型零件77人, 完成任务所需时间最少.

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