专题2
设长方体相邻的三条边棱长分别为
多面体的外接球
秒杀秘籍：第一讲长方体切割体的外接球
a，b，c．
图1墙角体图1鳖臑
图1与图2有重垂线，三视图都是三个直角三角形，图和左视图为直角三角形．
AD
图4中，AB
AC
VA
BCD
图3挖墙角体图4对角线相等的四面体3无重垂线，俯视图是一矩形，AC为虚线，主视图
BCCDBD1abc4
abc
222
bca
2
BCACAB
222
2
2
22
2
2
2
2
2
22
a
2
b
2
c
2
2
R
,
8
63
【例1】在球面上有四个点P、A、B、C.如果PA、PB、PC两两互相垂直，且则这个球的表面积是
．
abc
1
abc．
PAPBPCa,
【解析】根据题意可得，P、A、B、C位于一个棱长为a的正方体上，所以球为正方体的外接球，R
32
a，
故这个球的表面积为
S4R
2
4
32
2
a
3a．
2、2
2
【例2】在三棱锥A32、A．
62
BCD中，侧棱AB、AC、AD两两垂直，
BCD的外接球的体积为（B．26
）C．36
2S3
a
32
ABC、ACD、ADB的面积分别为
，则三棱锥A
6
2S1,bc62
D．46
,c
2
【解析】因为ab
2S2,ac
S1S32S2
,b
2
S1S22S3
S2S32S1
，R
S1S32S2
S1S22S3
S2S32S1
14
24
34
，V
43
R3
43
62
6
，故选A．
【例3】如图所示，已知球O的面上有四点则球O的体积等于
．
A、B、C、D，DA面ABC，ABBC，DAABBC2,
【解析】易知DA、AB、BC位于一个正方体上，故球
3
O半径为R
32
a
62
，
V
4
R334362
6．
10
学习数学领悟数学秒杀数学第一章立体几何
【例4】四面体A则四面体A
A．50C．150
BCD中，ABCD5，AC）
BD34，ADBC41，
BCD外接球的表面积为（
B．100D．200
BCD是分别以a，b，c为长且侧棱两两垂直的三棱锥，从而可得到一个长、宽、
b
2
2，a25
2
，设球半径为R，则有(2R)c2
【解析】由题四面体A
b，c的长方体，高分别为a，并且a2∴4R2
50，∴球的表面积为S
c
2
2，b34
a2b2c2
50，
4R250．故选A．
秒杀秘籍：第三讲切瓜模型（两个平面互相垂直，最大高和最小高问题）
图1面PAC
图1：由图可知，小圆图2：先根据2r
BAC,ABBC
图2底面ABC固定，P在球面上运动，VP
PAC必在大圆上，由
2R
asinA
ABC
最值问题
ABC直径AC长可以求出，平面
求出底面圆的直径
．R2
2
2
，解出R．
asinA
MN，再根据几何性质求出球大圆的直径，最后根据垂径定理算
出P到底面距离的最大值和最小值双半径单交线公式：R
2
R
2
R1
2
l
2
4O1D
2
2
OD
2
2
OO1CE)
2
2
O1DO1D
2
2
O2EO2C
2
(O2C
(BC)
2
1
2
O1Dl2
2
R1
2
R2
2
l
4
R2或R
R1．
注意：常见的切瓜模型中，一旦出现
R1或R2
l2
时，则R
此公式参考王文勇老师的《大招秒杀秘籍》一书，在此向努力教研的勇哥致敬！双半径单交线公式适合所有的直二面角模型，两个半平面的外接圆半径分别为
R1和R2，两半平面交线长度
为l，此公式属于一种开挂般的存在，在前面的直三棱柱切割体模型当中也可以使用，一旦两个半平面的二面角不是90时，此公式将不再适用
．
）
【例7】某几何体的三视图如图所示，则它的外接球表面积为（
A．12C．20
【解析】法一：由已知中的三视图可得：底面两直角边长分别为
B．16D．24
该几何底是一个以俯视图为底面的三棱锥，
2，22，故斜边长为23，过斜边的侧面与底面垂直，
R，则R
2
且高为3的等腰三角形，设其外接球的半径为
3R
2
2
3
11
学习数学
解得：R
领悟数学秒杀数学S
4R
2
第一章
16，故选B．
R1
R1
2
立体几何
2，故它的外接球表面积
法二：两垂直平面用双半径单交线公式，由于底面的外接圆半径为形，其外接圆半径为
2R2
23sin60
4，交线l
23,故R2
3，与其垂直的面是一个等边三角l
2
R2
2
4
2，故选B．
BC
3，AC
3，若
【例8】已知三棱锥PABC的四个顶点均在同一个球面上，底面
33，则其外接球的半径为（4B．2AB12r
BC
3，AC
C．3
3，可得cosB334
3
3）
ABC满足AB
该三棱锥体积的最大值为A．1
【解析】如图所示，由
D．
93
12
23
23
∴B
120，∴SABC
3sin120334334
2r
33sin1203．当DO1
，设ABC的外接圆的半径
为r，则
平面ABC时，该三棱锥取得体积的
1
ABC
最大值为334选B．
，符合切瓜模型，满足球顶高最大原理，由
VD
3
DO1
2
，解得DO1
3．设三棱锥DABC的外接球的球心为
O，R
(3R)
2
(3)，解得R
2
2．故
秒杀秘籍：第四讲全等三角形折叠模型
作二面角剖面
题设：两个全等的三角形或者等腰拼在一起，或者菱形折叠，设折叠的二面角如图，作左图的二面角剖面图如右图：EH1
h
r，OH1
h
rtan
，故R
2
AEC,CEr
AEBD
h，
H1和H2分别为
OC
2
BCD,ABD外心，CH1
2
2sinBCD
2
OH1
2
CH1
r
2
hr
2
tan
2
2
．
凡是有二面角的四面体，一定要找到二面角的平面角，将其作剖面图，对剖面图进行分析时，利用圆内接四边形和三角形性质，可以求出外接球半径，特殊情况要用【例9】已知菱形ABCD中，线BD折起，使得
AOC
DAB
60，AB
2R
asinA
bsinB
）
csinC
进行处理．
3，对角线AC与BD的交点为O，把菱形ABCD沿对角
90，则折得的几何体的外接球的表面积为（
12
学习数学领悟数学
152
秒杀数学
72
第一章立体几何
A．15B．C．
60，AB
D．7
r
32sin60
3，
【解析】法一：菱形ABCD中，高h
332
2
DAB3，三角形ABD的外接圆的半径为AOC
，对角线AC与BD的交点为O，使得90，则折得的几何体的外接球的半径为：
2
R
3
2
332
3tan45
2
152
，外接球的表面积为
1
3
S
4l2
15232
15，故选A．
l
2
法二：直二面角符合双半径单交线模型，故选A．
R1R2
2sin60
3，且
，则一定有R2
R1
2
R2
2
154
4
，
【例11】在边长为23的菱形ABCD中，面体ABCD，则此四面体的外接球表面积为
BAD60，沿对角线
．
AC折成二面角BACD为120的四
作二面角剖面
【解析】如图所示，典型的全等等腰三角形共底边：几何性质知道
O2EO
60,OO2
R
r
2
ED3，R
hOO2
3,O2D
2
r
2
23,BED3
2
22
120，可根据
2
EO2tan60h
r
2
DO23
23
21，也可以不4R2
84
．
用画图直接一波流公式带走
tan
2
2
23
2
23tan60
21，S
秒杀秘籍：第五讲等腰三角形底边与一直角三角形斜边构成二面角的四面体
凡是遇到直角三角形，通常要转换直角顶点，因为直径所对的圆周角为直角，故可将直角顶点转换为共斜边的直角三角形直角顶点，如下图左：DBC与其它平面构成的二面角．
△ABC以斜边BC为交线与其它平面形成的二面角可以转换为平面
作二面角剖面
如上图中，△ABC为等腰三角形，且ABAC，△DBC是以BC为斜边的Rt△，ABC
13
D二面角为，
学习数学领悟数学秒杀数学
h2，BC
2
第一章立体几何
令△ABC的外接圆半径为知，外接球半径
r2，BC边上的高为AO1
OE
2
2OO1
2r1，F为△ABC的外心，则根据剖面图可h2sin
r2
2
R满足以下恒等式
O1E
R
2
r1
2
．
S
AC
B的
【例12】在四面体S余弦值为
33
ABC中，ABBC，AB
BC2，△SAC为等边三角形，二面角
．
，则四面体SABC的外接球表面积为
作二面角剖面
【解析】如图所示，作出剖面：刷公式一波流带走
R
2
cosSO1Br2
2
3312
1
32
sin，S
SO1B4R2
sin
O2OO1
63
，h23,r2
233
,直接
h2sin
r1
2
6．
秒杀秘籍
：第六讲剖面图转化
定理：剖面图一致的外接球一定一致
两个等腰三角形（不全等）共底边的二面角，或等腰三角形底边与直角三角形直角边为公共边构成的二面角模型
如图6：设二面角AED
，AE
h1，DEh2，
ABC外接圆半径r1，△DBC外接圆半径r2，延长AE7所示，根据相交弦定理
AEEFR
EF）
r1，△DBC
2
交球于F,DE交球于G，作如图6的二面角剖面图如图若AE
DE或者AE
BAC
GEh
r
ED可知，
2
GE，则和全等等腰三角形共底边完全一样，利用公式60，则AE
3EF，若
AED1
BAC，AE
120，则AEh1，D1E
13
r
2
tan
2
秒2
杀．（备注：若
如图8：CD为RtBCD的斜边，设二面角外接圆的半径为
r2
CD2
，O1E
h2
h2，△ABC外接圆的半径为
r2，延长AE交球于F，D1E交球于G，作如图8的二面角剖面图如EF
GE
ED1可知，若AE
D1E或者AE
GE，利用公式
图9所示，根据相交弦定理AE
14
学习数学领悟数学秒杀数学第一章立体几何
R
2
r
2
hr
2
tan
2
秒杀．2
ABC所有顶点都在球
2，二面角CC．
373
O的球面上，△ABC为边长为23的正三AB
D为120，则球O的表面积（
D．36
）
【例13】（2018?全国四模）已知三棱锥D
角形，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，且AD
A．
1483
B．28
作二面角剖面
CE
【解析】如图所示，
O1E
R
2
3
120
EG
3，故此题符合模型四
，
1
28，故选B．
hr
CE2,
3
120，
CEGCEG
2
【例14】（2018?全国一模）如图，虚线小方格是边长为则该几何体外接球的表面积为（A．4C．16
）
r
2
hr
2
tan
2
7，S4R2
1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，
B．8D．32
作二面角剖面
CD
【解析】由题知
O1GO1E
2O1FO1D
222,
BCD中，）
193824
CD
60
AC
2AD
7C．17
AEBE
AEBsin
D．90
6,作图如下：31717
6
ABC
ABD
CBD
60，AB
3，CB
DB
2．则
O1C
22
FCG
90
R
O1C
22，故S
4R
2
32，故选D．
【例15】（2018?长郡期末）四面体A此四面体外接球的表面积为（A．
192
AB
【解析】由题知，
CB
3
ABD2,DBABC
B．
63
ABE
15
学习数学领悟数学秒杀数学第一章立体几何
作二面角剖面
法一：根据相交弦定理AEEGBEEF，由于△BDC为等边三角形，根据其外接圆知识可知BE3EF，
EF
故可得
33573
2R
AFsin
ABE
382
S4R
2
192
，故选A．
AF
法二：双半径单交线公式，△BCD中，R1
2BE323，△ACD中，R23
AD2sinACD
2
767
726
，
l2
1，
R
2
2R12R2
l
2
198
4
，S
2R4
192
．
秒杀秘籍
双距离单交线公式：
：第七讲含二面角的外接球终极公式R
2
m
2
n
2
2mncos
2
l
2
sin
4AB
D的平面角大小为
，
如右图，若空间四边形ABD的外接圆圆心为则
O1EO2
，O1E
2R
2
ABCD中，二面角C
O1，ABC的外接圆圆心为m，O2E
n，AE
l2
O2，E为公共弦AB中点，
R，由于O、O1、E、O2
2
，OAO1O2
四点共圆，且OER
2
O1O2
，根据余弦定理sin
2
m
2
n
2
2mncos，
OE
2
AE
mn
2
2mncos
2
l
2
sin
4
．
注意：此公式最好配合剖面图，需要求出两个半平面的外接圆半径，和外接圆圆心到公共弦的距离，通常是，剖面图能很快判断出两条相等弦的优先使用公式下面以此公式来解答一下前面出现的例题：【例12】在四面体S余弦值为
33
【解析】m
ABC中，AB
R
2
r
2
hr
2
tan
2
．2
BC，AB
BC2，△SAC为等边三角形，二面角
．63
SACB的
，则四面体SABC的外接球表面积为33
33
0，n
O1O2，cos
，sin，
16
学习数学
m
领悟数学
2
秒杀数学
l
2
第一章
9，
S4
立体几何
R
2
OO1
2
O1C
2
n
2
2mncos
2
sin
4
4R2
6．
O的球面上，△ABC为边长为23的正三
AB
D为120，则球O的表面积为
【例13】（2018?全国四模）已知三棱锥DABC所有顶点都在球
AD
角形，△ABD是以BD为斜边的直角三角形，且（A．C．
）1483373
O1E
2
2，二面角C
B．28D．36
1，n
2
【解析】m所以R
2
13
2
CEn
2
1，2mncos
2
120，l
2
l2
AE
3，
28，选B．
OEAE
m
sin
4
）
2
S4R7，
【例14】（2018?全国一模）如图，虚线小方格是边长为则该几何体外接球的表面积为（A．4C．16
1的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，
B．8D．32
【解析】m
BC2sinA
O1E262
56
2，cos
25h
，sin
15
，
l2
AE
2
2，在ABC中，h
2
2
CE25，
R2
655
，n
R2
45，故2R
5
mn
2mncos
2
l
sin
4
8，故S4R2
32，
故选D．
欢迎各位同仁指正！
17
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