2014年高考全国新课标1卷理科数学试卷

2014年高考全国新课标1卷理科数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题5分）

1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（ ） A． [﹣2，﹣1]

B． [﹣1，2）

C． [﹣1，1]

D． [1，2）

2．（5分）

=（ ）

A． 1+i

B．1 ﹣i C． ﹣1+i D．﹣ 1﹣i

3．（5分）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（ ）

A． f（x）g（x）是B．| f（x）|g（x）C． f（x）|g（x）|D．| f（x）g（x）|

偶函数

4．（5分）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（ ） A．

5．（5分）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ） A．

B．

C．

D．

B．3

C．

m

D．3 m

是奇函数

是奇函数

是奇函数

1

DB

6．（5分）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（ ）

A．

B．

C．

D．

7．（5分）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（ ）

A．

8．（5分）设α∈（0，3α﹣β= A．

9．（5分）不等式组

的解集记为D，有下列四个命题：

），β∈（0，

），且tanα=2α﹣β=C．

，则（ ） 2D． α+β=

B．

C．

D．

B．3 α+β=

p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2 p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1 其中真命题是（ ）

2

DB

A． p2，p3

B．p 1，p4 C． p1，p2 D．p 1，p3

10．（5分）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若 A．

11．（5分）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（ ） A． （2，+∞）

12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ ）

A．6

B． 6

C．4

D． 4

B．（ 1，+∞）

C． （﹣∞，﹣2） D．（ ﹣∞，﹣1）

=4

，则|QF|=（ ）

C．

D．2

B．3

二、填空题（共4小题，每小题5分）

13．（5分）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为 （用数字填写答案） 14．（5分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市； 乙说：我没去过C城市； 丙说：我们三人去过同一城市；

3

DB

由此可判断乙去过的城市为 15．（5分）已知A，B，C为圆O上的三点，若

16．（5分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 三、解答题

17．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an≠0，anan+1=λSn﹣1，其中λ为常数．

（Ⅰ）证明：an+2﹣an=λ

（Ⅱ）是否存在λ，使得{an}为等差数列？并说明理由．

18．（12分）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

=（

+

），则

与

的夹角为

4

DB

（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；

（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2． （i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；

（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX． 附：

≈12.2．

若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.94．

19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C． （Ⅰ）证明：AC=AB1；

（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．

5

DB

20．（12分）已知点A（0，﹣2），椭圆E：椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．

21．（12分）设函数f（x）=aexlnx+方程为y=e（x﹣1）+2． （Ⅰ）求a、b； （Ⅱ）证明：f（x）＞1．

+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是

，O为坐标原点．

，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线

6

DB

四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分） 选修4-1：集合证明选讲

22．（10分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE． （Ⅰ）证明：∠D=∠E；

（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．

选修4-4：坐标系与参数方程 23．已知曲线C：

+

=1，直线l：

（t为参数）

（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．

（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

7

DB

选修4-5：不等式选讲 24．若a＞0，b＞0，且+=（Ⅰ）求a3+b3的最小值；

（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．

参与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分）

1．解解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}， 答：

则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}， 故选：A

2．解答：

故选：D． 解：

=

=﹣（1+i）=﹣1﹣i， ．

8

DB

3．解解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．

答： 再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，

可得 f（x）|g（x）|为奇函数， 故选：C． 4．解答：

∴一个焦点为（

，0），一条渐近线方程为

=

．

=0，

解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为

，

∴点F到C的一条渐近线的距离为故选：A．

5．解解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况， 答：

周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况， ∴所求概率为故选：D．

6．解解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|， 答： ∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|

=|cosx|•|sinx|=|sin2x|， 其周期为T=故选C．

7．解答：

解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2； 第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3； 第三次循环M=+=

，a=，b=

，n=4．

．

，最大值为，最小值为0， =．

不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=

9

DB

故选：D．

8．解解：由tanα=答：

，

即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα， sin（α﹣β）=cosα．

由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关． 排除选项A，B后验证C， 当故选：C

时，sin（α﹣β）=sin（

）=cosα成立．

，得：

10

DB

9．解解：作出图形如下： 答：

由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，

显然，区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故A：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；

在直线x+2y=2的右上方区域，：∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确； 由图知，p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；

x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误； 综上所述，p1、p2正确； 故选：C．

10．解解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d， 答： ∵

=4

，

∴|PQ|=3d， ∴直线PF的斜率为﹣2∵F（2，0），

∴直线PF的方程为y=﹣2与y2=8x联立可得x=1，

（x﹣2）， ，

11

DB

∴|QF|=d=1+2=3， 故选：B．

11．解解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=答： 当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax

x f′（x） f（x）

（﹣∞，0） 0 + 单调递增

0 极大值

﹣

，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：

0 极小值

+ 单调递增

单调递减

∵x→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一零点x0，且x0＞0，应舍去． 当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax x f′（x） f（x）

（﹣∞，） ﹣ 单调递减

0 极小值

+ 单调递增

=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：

0 0 极大值

（0，+∞） ﹣ 单调递减

而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0， ∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值＜0，∴a＜﹣2．

综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）． 故选：C．

=

，化为a2＞4，

12

DB

12．解解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4， 答： ∴

显然AC最长．长为6． 故选：B．

．AC=

=6，AD=4

，

二、填空题（共4小题，每小题5分）

（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：13．解解：

答： 含x2y6的系数是

=28，

=8．

∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20． 故答案为：﹣20

14．解解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，

答： 但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，

再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A． 故答案为：A．

13

DB

15．解解：在圆中若答： 即2

即

+=

+

=（，

+），

的和向量是过A，O的直径，

则以AB，AC为临边的四边形是矩形， 则即

⊥与

，

的夹角为90°，

故答案为：90°

16．解解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC， 答： ∴利用正弦定理可得 4﹣b2=（c﹣b）c，即 b2+c2﹣bc=4．

再利用基本不等式可得 4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号， 此时，△ABC为等边三角形，它的面积为 故答案为：

三、解答题 17．

．

=

=

，

14

DB

解答： （Ⅰ）证明：∵anan+1=λSn﹣1，an+1an+2=λSn+1﹣1，

∴an+1（an+2﹣an）=λan+1 ∵an+1≠0， ∴an+2﹣an=λ．

（Ⅱ）解：①当λ=0时，anan+1=﹣1，假设{an}为等差数列，设公差为d． 则an+2﹣an=0，∴2d=0，解得d=0， ∴an=an+1=1，

∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{an}不为等差数列．

②当λ≠0时，假设存在λ，使得{an}为等差数列，设公差为d． 则λ=an+2﹣an=（an+2﹣an+1）+（an+1﹣an）=2d， ∴∴∴λSn=1+

根据{an}为等差数列的充要条件是此时可得

，an=2n﹣1．

．

，

， =

，解得λ=4．

，

因此存在λ=4，使得{an}为等差数列．

18．解解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为： 答：

=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，

s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=15

（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.=0.6826；

15

DB

（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826， 依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．

19．解解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO， 答： ∵侧面BB1C1C为菱形，

∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点， 又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO， ∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO， 又B10=CO，∴AC=AB1，

（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO， 又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB， ∴OA，OB，OB1两两垂直， 以O为坐标原点，

的方向为x轴的正方向，|

|为单位长度，

的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，

∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC， ∴A（0，0，∴

=（0，

），B（1，0，0，），B1（0，，

），

=

，0），C（0，

），

=，0） =（﹣1，

，0），

=（1，0，

设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，

则，可取=（1，，），

同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），

16

DB

∴cos＜，＞==，

∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为

（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为20．解解：答： ∴

又

，解得c=

．

，

，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．

；

∴椭圆E的方程为

（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）． 由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2． 联立

，

时，

化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即

，

∴|PQ|==

．

=，

点O到直线l的距离d=．

∴S△OPQ=设∴

=，

＞0，则4k2=t2+3， =

=1，当且仅当t=2，即

，解得

时取等号．

17

DB

满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：

21．解解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 答：

f′（x）=

由题意可得f（1）=2，f′（1）=e， 故a=1，b=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=exlnx+

， +

，

．

从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx， ∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．

故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值g（）=﹣． 设函数h（x）=

，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．

∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0， 故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣． 综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．

四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分） 选修4-1：集合证明选讲

18

DB

22．解证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， 答： ∴∠D=∠CBE，

∵CB=CE， ∴∠E=∠CBE， ∴∠D=∠E；

（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC， ∴O在直线MN上，

∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M， ∴OM⊥AD， ∴AD∥BC， ∴∠A=∠CBE， ∵∠CBE=∠E， ∴∠A=∠E，

由（Ⅰ）知，∠D=∠E， ∴△ADE为等边三角形．

点评： 本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

选修4-4：坐标系与参数方程

19

DB

23．解

解：（Ⅰ）对于曲线C：答：

故曲线C的参数方程为对于直线l：

+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，

，（θ为参数）． ，

由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0； （Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）． P到直线l的距离为则

．

，其中α为锐角．

． ．

当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为

选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=24．解解：答： ∴

=+≥2

，

，

∴ab≥2， 当且仅当a=b=∵a3+b3 ≥2

∴a3+b3的最小值为4

时取等号．

≥2．

=2

≥4

＞6，

=4

，当且仅当a=b=

时取等号，

（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．

20