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基于熵不确定性概念的机器人动态误差理论的研究—DH参数误差概念分布数学模型

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维普资讯 http://www.cqvip.com 叫一 毫题报置 ZHUAN TI BAO DAO 目前,国内外学者已对机器人动态精度进行了深入系统的研究, 形成了一套较为完整的机器人动态误差理论。但仍存在如下的问题: (1)埘误差源的近似和不完全的考虑;(2)忽略动态测量不确定度的影 响等。针对这些问题,本文作者根据信息论原理f见图1 J提出了基于 熵不确定性概念的机器人动态误差理论的评价指标系,分别为:机器 人动态位姿不确定性tl(5f£J/R r£J J 机器人位姿信息传输的动态 信息最,fSf£J Rf£J J;以及机器人位姿信息动态传输效率 (t)。 这种方法将动态误差处理的关注点放在了误差概率分布及其对 测量结果的影响上,能有效地对非常规分布进行处理。 基于熵不确定性概念的机器人各动态位姿精度评价指标可由下 列公式求出: 图1 机器人系统信息传送模型 … (r)】=一 (so)) (r)】l。gp[S(t)]dS(t) tt[s(t)/ (f)]:H[S(t)/R (f)]一H (f) 盯 【 (f)] 【s(f)/ (f)]log p[S(t)/ (f)]d (f)( (f)一 (f) I (,)月(,)】 (2) (3) (4) ,( (r); (r))= ( (r))一H(S(t)/ (,)) ,( (r); (r)) ,7(,)= ( (r)) 其中:pf5f£J J为输入信源各运动参数5f£J在某时刻的概率密度函数;pfR f£J J为实际输出量操作手末端位姿R f£J在 此时刻的概率密度函数;pf5f£J/R f£J J为已知R f£J时此时刻5f£J的条件概率密度函数 日 f£J为动态测量不确定度。由 前期工作可知,DH参数误差概率分布的求得是整个基于熵不确定性概念机器人动态误差理论的关键,也是体现此理论将误差 处理的关注点扩大到误差概率分布的关键。本文就以平面SCARA机器人为例,研究机器人在各动态误差源影响下的DH参数 误差概率分布。 DH参数误差概率分布的数学模型 DH参数误差概率分布是各种机构误差源(包括制造及装配公差、关节伺服 定位误差、构件弹性变形、关节间隙等)综合作用下的一个概率分布。本文研究 的是由杆件弹性变形和关节间隙误差所引起的DH参数误差的概率分布。 以平面SCARA机器人(图2)为例,在推导机器人动态精度的各项评价指标 公式中,主要涉及到3个结构参数h.、h,、S.误差的概率密度函数。本文以结构 参数h 为例,研究随机误差源作用下的DH参数概率密度函数。 影响h 的两随机误差源(关节间隙误差和构件的弹性变形误差)是相互关 联的。假设由间隙误差和构件弹性变形引起的h,的误差分别为△h, 和△h 则 h,总的误差为: △h3=△h3,+△h3 (5) 根据概率论原理,参数h,误差△h,的概率密度函数为:P△”f△h3)为: P△^3=I r ∞ (△h △h3一△h3,)d Ah3, (6) , 、 图2 SCARA机器人DH坐标系 军民两用技术与产品 2002.03 维普资讯 http://www.cqvip.com 。 l 苣鼹嚣 童 ZHUAN TI BAO DAO 其中:PJ f , J为△h3,和△h3 的联合概率分布密度函数。由此可见,求DH参数误差△h 概率分布密度函数的关键点就 在于考虑到各误差源相关特性时,其联合概率分布密度的求得。利用概率论中边缘概率密度、条件概率密度和联合概率密度三 者之间的相互关系,假设已知间隙误差△ ,的概率密度函数pi(Ah3 以及弹性变形误差△ f△h, /Ah3j),则△h, 和△h 的联合概率密度函数可由下式决定: (Ah3 h3t)= ( h3i)・pt/j( h3 / bi) l7、 的条件概率密度函数,PI,J 1. 概率密度函数 f J的求得 在机器人的运动过程中,当空间机构运动副存在间隙时,运动副元素问将有分离、 碰撞、接触等过程。但一般来说,由于间隙很小,碰撞的实际时间很短,自由状态的时间 也很短,故将机器人关节处轴套和轴销看作是连续接触的力学模型来处理是合理的 (图3)。 通过计算机编程求解机器人动力学方程,求出机器人运动所需的关节驱动力和力矩, 就可知道机器人在某种受力情况下的一定位置上处于某种连续接触模型。用A托、Ayi、A 2;i 分别表示在这种连续接触模型下i关节轴在i关节坐标内沿 yi、a轴的移动量;△矗 和A豫为i关节轴在i关节坐标内%和 矗平面内以C为中心的转角;A‰…△y皿 、 △:Ⅲ1 分别表示在这一位置时,任意连续接触模型下i关节轴在i关节坐标内沿 yi、Zi 轴的最大移动量;△毒 和△ 为i关节轴在i关节坐标内Y-Zi和 矗平面内以G为 x, 一中心的最大转角(图4)。利用空间几何的方法可将A A竹、△ 、△毒和A'qi转换为关节坐 标参数的误差Ah.、A s A 0.、△d。 ℃一 图3 间隙转动副连续接触模型 针对平面SCARA机器人的自身特点fd.。=0,d.=0J,可得其各DH参数误差为: △ =△:.一l+b 一b.1+(b 一hi/tg ̄r] )f(△ )=(a 一/sinAq l—hi—1)/f(△仉一1)(8) △^ =△ + ̄/h{+Ay 一hicosAq. (9) A0.=arctg(Ay /a )一arctg一(Ay /a 一l一 ̄f(Aq )一- ̄f(Aq ) =(10) (11) △ 一△ 其 ( )= 由此可得出关节间隙对结构参数的影响量为△^,为: Ahj=Ax 3+ ̄/h;+Ay;一h 3cosAq3 (12) 由于关节间隙沿关节轴向均匀分布,并考虑到△ 3、△y3 和△ 3的相互性,可知△ 3、△y3和△ 3的联合概率 密度为: p(A ,△y ,锄)= 1 。 1 。 1 (13) 根据概率论中随机变量的函数分布的求解方法,将式 (12)做一定的变换得: f△^,=Ax3+ ̄/h;+Ay;一h3cosAq3 {Ah Ax3 LAhj2=Aq3 (14) 图4 机器人关节结构。连杆参数及相邻系关系坐标 (15) p(Ahj,△ l,Ahj2)=P(△ 3,Aq3,Ay3) I., 反解式(14)得: Ax3=Ah,1 Aq3=Ahj2 [Ay3= ̄/(△ +h3cosAhj2一△ 1) 一^; 因此有:其中: DAx DAh,l DAx DAh,2 DAx DAh. OAr/3J= 03h,1 OAr#OAxq3 DAh. DAy3 DAh,2 DAy3 DAh,2 =[(Ahj—Ahjl+h3cosAh/2) 一^;]{・[△ —Ahjl+h3cosAhj2] DAy3OAh,l DAh. 则 Pj(Ahj)=f…f P(3x3,△ 3,Ay3) I JI d△ l d ̄hj2 = :: .D(△ 3,△ 3,△y3)[(△ +^3c。s△ 2一Ahj1) 一 ;){・(△ + 3c。s△ ,2一△ l d△ l d△ 2 军民两用技术与产品 2002.03 维普资讯 http://www.cqvip.com 毫题报厘 ZHUAN TI BA0 DA0 2.概率密度函数的p,J,(y/ )求得 有限 元分析法是较常用的处理机器人杆件弹性变形的方法。首先把运动时间离散化,即把机构的连续运动看成由一 系列时间间隔决定的有限个离散位置组成,而机构在每一个位置都有一定的形状和动力特征。这样,机构的瞬时位置就可 以看成是一个静态结构系统 接下来用有限 元法建立结构的有限元模型。在此将构件3考虑为悬挂点为关节2的悬臂 粱,利用有限 元法分析梁单元杆件3,u¨求出杆件3在o, ,Y,z,坐标系坐标原点o 处的变形: 【 ¨8 (t)】+l c,Jl8 (£)+【 Jl8 (t)】:【 (t)】 (16) 其中:【 (t)l表示在t时刻作用十杆件3上的有效节点力向昔;【 】表示杆件3的质量矩阵;【c,】表示杆件3的阻尼矩 阵;【K 】表示杆件3的刚度矩阵;【8 】是杆件3在坐标系o, Y锄原点c ,处的变形矩阵,可用下式表示: l83】=【出3 则杆件3由于弹性变形引起的参数误差为: △h 3 =dx (18) 3 dz3 yx3 ry3 yz3 (17) 式巾的微小变形 只与作用于杆件3上的有效节点力有关。即可得: △h, =厂( (t)) 式中,厂( )由式(16)~式(18)确定. 沿用前而的间隙模型,分析连杆3在运动过程中的位置变化及 受力情况 在不考虑间隙作用的情况下,连杆3在DH坐标系( , v.:)中的位置及受力情况(罔5);由于间隙误差的作用,连杆的实 际 置发生转移,受力情况也有所改变 根据平面机构的受力分 析,竹什3实际所受的力和力矩除了F (等于F )和 (等于F )以 及力矩M f等于|w)外(F 、F。|w可通过动力学方程直接求得), 还受到由丁力的 移而产生的附加力偶 力产生的附加力偶|w -为: =的作用. 其中由于约束 F ・\Ax +△v!+Az: 为: (19) 图5 连杆3的位置变化及受力简图 南丁负载产牛的附加力偶 |w =F氧・ 、(△ +h (1一eosAr/ ̄)) +△ +(△ 一h ̄cosArl3) (2O) 因此,在考虑间隙影响时,利用式(19)和式(20)将理论的受力值转化为实际的受力值,然后代人式(16)~式(18)则可 计算出杆件实际的弹性变形 d ,此值即为已知间隙模型时的弹性变形量 《lf于机器人运动轨迹的某一点,即本文研究的一段轨迹上的某一时刻t,也是整个机器人运动空间的一个点,则机器 人操作手在ftfII』时刻通过这个点时,杆件3都会由于弹性变形的影响而引起参数误差△ 的影响,A h, (等十d ,)IlL ̄,t HlJ 为在关节间隙影响下的弹性变形引起的参数误差△ , 若如上分析,考虑到关节间隙 将机器人运动空间划分为若干有 限个f区间,利用有限元力’法求出在关节问隙影响下每个子区间 t时刻埘应点的△ 一f_,其它区间可采用插值方法来求 m 则Ah 。的概率密度函数P ,(2-/ ),就可用统计方法画出其直方图求得。 将此方法模型运用到其它的DH参数误差概率密度的计算中,同样叮求出结构 如上求得间隙误差影响F的慨率密度函数PJf 和弹性变形影响下的条件概率密度函数P㈠f 2-/ 后,带人式f7 中即 求出了I)1t参数误差的概率分布密度函数参数h!, 0 的概率分布密度函数 在求出四个DH参数h:、h,、st、0t误差的概率密度函数P r△ : 、尸 r△ ,J、尸 r△st)、 P (A 0 )后,就可以汁 出平面SCARA机器人动态精度的各项评价指标. .结束语 运川慨率论的十I1关 r ,本文推导出_r基于熵不确定性概念机器人动态精度理论评价指标公式的DH参数误差概率分 布数学模型.此研究表明,x,l于由机器人机构各随机误差源fjl起的机器人Dtt参数误差的概率分布,可以根据误差源的实 际情况求 因此它比传统机器人动态精度理论对其误差源的分布直接假设为常规分布更加合理 同时,由十现代计算机 容 【和速度的提高,即使被积函数极其复杂兴至根本无法用式子表.达,也可以用计算机的数值积分方法算出 正是这样, 充分体现了基f熵不确定性概念机器人动态精度理论把误差处理的关注点扩展到误差慨率分布上的特点 4 民两J{j技术与产品 2002.O3 

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