维普资讯 http://www.cqvip.com 叫一 毫题报置 ＺＨＵＡＮ ＴＩ ＢＡＯ ＤＡＯ 目前，国内外学者已对机器人动态精度进行了深入系统的研究， 形成了一套较为完整的机器人动态误差理论。但仍存在如下的问题： （１）埘误差源的近似和不完全的考虑；（２）忽略动态测量不确定度的影 响等。针对这些问题，本文作者根据信息论原理ｆ见图１ Ｊ提出了基于 熵不确定性概念的机器人动态误差理论的评价指标系，分别为：机器 人动态位姿不确定性ｔｌ（５ｆ￡Ｊ／Ｒ ｒ￡Ｊ Ｊ 机器人位姿信息传输的动态 信息最，ｆＳｆ￡Ｊ Ｒｆ￡Ｊ Ｊ；以及机器人位姿信息动态传输效率 （ｔ）。 这种方法将动态误差处理的关注点放在了误差概率分布及其对 测量结果的影响上，能有效地对非常规分布进行处理。 基于熵不确定性概念的机器人各动态位姿精度评价指标可由下 列公式求出： 图１ 机器人系统信息传送模型 … （ｒ）】＝一 （ｓｏ）） （ｒ）】ｌ。ｇｐ［Ｓ（ｔ）］ｄＳ（ｔ） ｔｔ［ｓ（ｔ）／ （ｆ）］：Ｈ［Ｓ（ｔ）／Ｒ （ｆ）］一Ｈ （ｆ） 盯 【 （ｆ）］ 【ｓ（ｆ）／ （ｆ）］ｌｏｇ ｐ［Ｓ（ｔ）／ （ｆ）］ｄ （ｆ）（ （ｆ）一 （ｆ） Ｉ （，）月（，）】 （２） （３） （４） ，（ （ｒ）； （ｒ））＝ （ （ｒ））一Ｈ（Ｓ（ｔ）／ （，）） ，（ （ｒ）； （ｒ）） ，７（，）＝ （ （ｒ）） 其中：ｐｆ５ｆ￡Ｊ Ｊ为输入信源各运动参数５ｆ￡Ｊ在某时刻的概率密度函数；ｐｆＲ ｆ￡Ｊ Ｊ为实际输出量操作手末端位姿Ｒ ｆ￡Ｊ在 此时刻的概率密度函数；ｐｆ５ｆ￡Ｊ／Ｒ ｆ￡Ｊ Ｊ为已知Ｒ ｆ￡Ｊ时此时刻５ｆ￡Ｊ的条件概率密度函数 日 ｆ￡Ｊ为动态测量不确定度。由 前期工作可知，ＤＨ参数误差概率分布的求得是整个基于熵不确定性概念机器人动态误差理论的关键，也是体现此理论将误差 处理的关注点扩大到误差概率分布的关键。本文就以平面ＳＣＡＲＡ机器人为例，研究机器人在各动态误差源影响下的ＤＨ参数 误差概率分布。 ＤＨ参数误差概率分布的数学模型 ＤＨ参数误差概率分布是各种机构误差源（包括制造及装配公差、关节伺服 定位误差、构件弹性变形、关节间隙等）综合作用下的一个概率分布。本文研究 的是由杆件弹性变形和关节间隙误差所引起的ＤＨ参数误差的概率分布。 以平面ＳＣＡＲＡ机器人（图２）为例，在推导机器人动态精度的各项评价指标 公式中，主要涉及到３个结构参数ｈ．、ｈ，、Ｓ．误差的概率密度函数。本文以结构 参数ｈ 为例，研究随机误差源作用下的ＤＨ参数概率密度函数。 影响ｈ 的两随机误差源（关节间隙误差和构件的弹性变形误差）是相互关 联的。假设由间隙误差和构件弹性变形引起的ｈ，的误差分别为△ｈ， 和△ｈ 则 ｈ，总的误差为： △ｈ３＝△ｈ３，＋△ｈ３ （５） 根据概率论原理，参数ｈ，误差△ｈ，的概率密度函数为：Ｐ△”ｆ△ｈ３）为： Ｐ△＾３＝Ｉ ｒ ∞ （△ｈ △ｈ３一△ｈ３，）ｄ Ａｈ３， （６） ， 、 图２ ＳＣＡＲＡ机器人ＤＨ坐标系 军民两用技术与产品 ２００２．０３ 维普资讯 http://www.cqvip.com 。 ｌ 苣鼹嚣 童 ＺＨＵＡＮ ＴＩ ＢＡＯ ＤＡＯ 其中：ＰＪ ｆ ， Ｊ为△ｈ３，和△ｈ３ 的联合概率分布密度函数。由此可见，求ＤＨ参数误差△ｈ 概率分布密度函数的关键点就 在于考虑到各误差源相关特性时，其联合概率分布密度的求得。利用概率论中边缘概率密度、条件概率密度和联合概率密度三 者之间的相互关系，假设已知间隙误差△ ，的概率密度函数ｐｉ（Ａｈ３ 以及弹性变形误差△ ｆ△ｈ， ／Ａｈ３ｊ），则△ｈ， 和△ｈ 的联合概率密度函数可由下式决定： （Ａｈ３ ｈ３ｔ）＝ （ ｈ３ｉ）・ｐｔ／ｊ（ ｈ３ ／ ｂｉ） ｌ７、 的条件概率密度函数，ＰＩ，Ｊ １． 概率密度函数 ｆ Ｊ的求得 在机器人的运动过程中，当空间机构运动副存在间隙时，运动副元素问将有分离、 碰撞、接触等过程。但一般来说，由于间隙很小，碰撞的实际时间很短，自由状态的时间 也很短，故将机器人关节处轴套和轴销看作是连续接触的力学模型来处理是合理的 （图３）。 通过计算机编程求解机器人动力学方程，求出机器人运动所需的关节驱动力和力矩， 就可知道机器人在某种受力情况下的一定位置上处于某种连续接触模型。用Ａ托、Ａｙｉ、Ａ ２；ｉ 分别表示在这种连续接触模型下ｉ关节轴在ｉ关节坐标内沿 ｙｉ、ａ轴的移动量；△矗 和Ａ豫为ｉ关节轴在ｉ关节坐标内％和 矗平面内以Ｃ为中心的转角；Ａ‰…△ｙ皿 、 △：Ⅲ１ 分别表示在这一位置时，任意连续接触模型下ｉ关节轴在ｉ关节坐标内沿 ｙｉ、Ｚｉ 轴的最大移动量；△毒 和△ 为ｉ关节轴在ｉ关节坐标内Ｙ－Ｚｉ和 矗平面内以Ｇ为 ｘ， 一中心的最大转角（图４）。利用空间几何的方法可将Ａ Ａ竹、△ 、△毒和Ａ＇ｑｉ转换为关节坐 标参数的误差Ａｈ．、Ａ ｓ Ａ ０．、△ｄ。 ℃一 图３ 间隙转动副连续接触模型 针对平面ＳＣＡＲＡ机器人的自身特点ｆｄ．。＝０，ｄ．＝０Ｊ，可得其各ＤＨ参数误差为： △ ＝△：．一ｌ＋ｂ 一ｂ．１＋（ｂ 一ｈｉ／ｔｇ￣ｒ］ ）ｆ（△ ）＝（ａ 一／ｓｉｎＡｑ ｌ—ｈｉ—１）／ｆ（△仉一１）（８） △＾ ＝△ ＋￣／ｈ｛＋Ａｙ 一ｈｉｃｏｓＡｑ． （９） Ａ０．＝ａｒｃｔｇ（Ａｙ ／ａ ）一ａｒｃｔｇ一（Ａｙ ／ａ 一ｌ一￣ｆ（Ａｑ ）一－￣ｆ（Ａｑ ） ＝（１０） （１１） △ 一△ 其 （ ）＝ 由此可得出关节间隙对结构参数的影响量为△＾，为： Ａｈｊ＝Ａｘ ３＋￣／ｈ；＋Ａｙ；一ｈ ３ｃｏｓＡｑ３ （１２） 由于关节间隙沿关节轴向均匀分布，并考虑到△ ３、△ｙ３ 和△ ３的相互性，可知△ ３、△ｙ３和△ ３的联合概率 密度为： ｐ（Ａ ，△ｙ ，锄）＝ １ 。 １ 。 １ （１３） 根据概率论中随机变量的函数分布的求解方法，将式 （１２）做一定的变换得： ｆ△＾，＝Ａｘ３＋￣／ｈ；＋Ａｙ；一ｈ３ｃｏｓＡｑ３ ｛Ａｈ Ａｘ３ ＬＡｈｊ２＝Ａｑ３ （１４） 图４ 机器人关节结构。连杆参数及相邻系关系坐标 （１５） ｐ（Ａｈｊ，△ ｌ，Ａｈｊ２）＝Ｐ（△ ３，Ａｑ３，Ａｙ３） Ｉ．， 反解式（１４）得： Ａｘ３＝Ａｈ，１ Ａｑ３＝Ａｈｊ２ ［Ａｙ３＝￣／（△ ＋ｈ３ｃｏｓＡｈｊ２一△ １） 一＾； 因此有：其中： ＤＡｘ ＤＡｈ，ｌ ＤＡｘ ＤＡｈ，２ ＤＡｘ ＤＡｈ． ＯＡｒ／３Ｊ＝ ０３ｈ，１ ＯＡｒ＃ＯＡｘｑ３ ＤＡｈ． ＤＡｙ３ ＤＡｈ，２ ＤＡｙ３ ＤＡｈ，２ ＝［（Ａｈｊ—Ａｈｊｌ＋ｈ３ｃｏｓＡｈ／２） 一＾；］｛・［△ —Ａｈｊｌ＋ｈ３ｃｏｓＡｈｊ２］ ＤＡｙ３ＯＡｈ，ｌ ＤＡｈ． 则 Ｐｊ（Ａｈｊ）＝ｆ…ｆ Ｐ（３ｘ３，△ ３，Ａｙ３） Ｉ ＪＩ ｄ△ ｌ ｄ￣ｈｊ２ ＝ ：： ．Ｄ（△ ３，△ ３，△ｙ３）［（△ ＋＾３ｃ。ｓ△ ２一Ａｈｊ１） 一 ；）｛・（△ ＋ ３ｃ。ｓ△ ，２一△ ｌ ｄ△ ｌ ｄ△ ２ 军民两用技术与产品 ２００２．０３ 维普资讯 http://www.cqvip.com 毫题报厘 ＺＨＵＡＮ ＴＩ ＢＡ０ ＤＡ０ ２．概率密度函数的ｐ，Ｊ，（ｙ／ ）求得 有限 元分析法是较常用的处理机器人杆件弹性变形的方法。首先把运动时间离散化，即把机构的连续运动看成由一 系列时间间隔决定的有限个离散位置组成，而机构在每一个位置都有一定的形状和动力特征。这样，机构的瞬时位置就可 以看成是一个静态结构系统 接下来用有限 元法建立结构的有限元模型。在此将构件３考虑为悬挂点为关节２的悬臂 粱，利用有限 元法分析梁单元杆件３，ｕ¨求出杆件３在ｏ， ，Ｙ，ｚ，坐标系坐标原点ｏ 处的变形： 【 ¨８ （ｔ）】＋ｌ ｃ，Ｊｌ８ （￡）＋【 Ｊｌ８ （ｔ）】：【 （ｔ）】 （１６） 其中：【 （ｔ）ｌ表示在ｔ时刻作用十杆件３上的有效节点力向昔；【 】表示杆件３的质量矩阵；【ｃ，】表示杆件３的阻尼矩 阵；【Ｋ 】表示杆件３的刚度矩阵；【８ 】是杆件３在坐标系ｏ， Ｙ锄原点ｃ ，处的变形矩阵，可用下式表示： ｌ８３】＝【出３ 则杆件３由于弹性变形引起的参数误差为： △ｈ ３ ＝ｄｘ （１８） ３ ｄｚ３ ｙｘ３ ｒｙ３ ｙｚ３ （１７） 式巾的微小变形 只与作用于杆件３上的有效节点力有关。即可得： △ｈ， ＝厂（ （ｔ）） 式中，厂（ ）由式（１６）～式（１８）确定． 沿用前而的间隙模型，分析连杆３在运动过程中的位置变化及 受力情况 在不考虑间隙作用的情况下，连杆３在ＤＨ坐标系（ ， ｖ．：）中的位置及受力情况（罔５）；由于间隙误差的作用，连杆的实 际 置发生转移，受力情况也有所改变 根据平面机构的受力分 析，竹什３实际所受的力和力矩除了Ｆ （等于Ｆ ）和 （等于Ｆ ）以 及力矩Ｍ ｆ等于｜ｗ）外（Ｆ 、Ｆ。｜ｗ可通过动力学方程直接求得）， 还受到由丁力的 移而产生的附加力偶 力产生的附加力偶｜ｗ －为： ＝的作用． 其中由于约束 Ｆ ・＼Ａｘ ＋△ｖ！＋Ａｚ： 为： （１９） 图５ 连杆３的位置变化及受力简图 南丁负载产牛的附加力偶 ｜ｗ ＝Ｆ氧・ 、（△ ＋ｈ （１一ｅｏｓＡｒ／￣）） ＋△ ＋（△ 一ｈ￣ｃｏｓＡｒｌ３） （２Ｏ） 因此，在考虑间隙影响时，利用式（１９）和式（２０）将理论的受力值转化为实际的受力值，然后代人式（１６）～式（１８）则可 计算出杆件实际的弹性变形 ｄ ，此值即为已知间隙模型时的弹性变形量 《ｌｆ于机器人运动轨迹的某一点，即本文研究的一段轨迹上的某一时刻ｔ，也是整个机器人运动空间的一个点，则机器 人操作手在ｆｔｆＩＩ』时刻通过这个点时，杆件３都会由于弹性变形的影响而引起参数误差△ 的影响，Ａ ｈ， （等十ｄ ，）ＩｌＬ￣，ｔ ＨｌＪ 为在关节间隙影响下的弹性变形引起的参数误差△ ， 若如上分析，考虑到关节间隙 将机器人运动空间划分为若干有 限个ｆ区间，利用有限元力’法求出在关节问隙影响下每个子区间 ｔ时刻埘应点的△ 一ｆ＿，其它区间可采用插值方法来求 ｍ 则Ａｈ 。的概率密度函数Ｐ ，（２－／ ），就可用统计方法画出其直方图求得。 将此方法模型运用到其它的ＤＨ参数误差概率密度的计算中，同样叮求出结构 如上求得间隙误差影响Ｆ的慨率密度函数ＰＪｆ 和弹性变形影响下的条件概率密度函数Ｐ㈠ｆ ２－／ 后，带人式ｆ７ 中即 求出了Ｉ）１ｔ参数误差的概率分布密度函数参数ｈ！， ０ 的概率分布密度函数 在求出四个ＤＨ参数ｈ：、ｈ，、ｓｔ、０ｔ误差的概率密度函数Ｐ ｒ△ ： 、尸 ｒ△ ，Ｊ、尸 ｒ△ｓｔ）、 Ｐ （Ａ ０ ）后，就可以汁 出平面ＳＣＡＲＡ机器人动态精度的各项评价指标． ．结束语 运川慨率论的十Ｉ１关 ｒ ，本文推导出＿ｒ基于熵不确定性概念机器人动态精度理论评价指标公式的ＤＨ参数误差概率分 布数学模型．此研究表明，ｘ，ｌ于由机器人机构各随机误差源ｆｊｌ起的机器人Ｄｔｔ参数误差的概率分布，可以根据误差源的实 际情况求 因此它比传统机器人动态精度理论对其误差源的分布直接假设为常规分布更加合理 同时，由十现代计算机 容 【和速度的提高，即使被积函数极其复杂兴至根本无法用式子表．达，也可以用计算机的数值积分方法算出 正是这样， 充分体现了基ｆ熵不确定性概念机器人动态精度理论把误差处理的关注点扩展到误差慨率分布上的特点 ４ 民两Ｊ｛ｊ技术与产品 ２００２．Ｏ３
