辽宁省葫芦岛市2015届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若P={y|y=|x|}，Q={x|﹣≤x≤}，则P∩Q=( ) A．（0，） B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．[0，] D．（﹣，）
2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=( ) A．2+i B．2﹣i C．1+2i D．1﹣2i
3．单位向量与的夹角为 A．
B．1
，则
=( ) C．
2
D．2
2
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c=（a﹣b）+6，C=△ABC的面积是( ) A．
B．
C．
D．3
，则
5．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形区域的A处于C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域．该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为( )
A．
6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( ) A．
B．
C．
D．
B．1﹣
C．
D．1﹣
7．运行如图所示的程序，则运行后输出的结果为( )
A．7 B．9 C．10 D．11
8．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )
A．（x+1）+（y﹣1）=2 B．（x﹣1）+（y+1）=2 222=2 D．（ x+1）+（y+1）=2
2
2
2
2
C．（x﹣1）+（y﹣1）
2
9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m
﹣n=( )
A．5
2
B．6 C．7 D．8
10．抛物线C1：y=4x，双曲线C2：
﹣
=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右
焦点，则2a+b的最大值为( )
A． B．5 C． D．2
11．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为
( ) A．3
B．
C．
2
2
D．3
12．若对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使4x1lnx1﹣x1+3+4x1x2+8ax1x2﹣16x1≥0成立，则a的取值范围是( ) A．[﹣，+∞）
B．[
，+∞）
C．[﹣，]
D．[﹣∞，]
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．
14．已知函数f（x）=cosx•sin（x+
）﹣
cosx+
2
的展开式中xy的系数为__________．（用数字作答）
22
，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]
上的最大值和最小值分别为__________．
15．函数f（x）=log0.5（x﹣4）的单调增区间为__________．
16．给出如下四个结论：
2
①若随机变量ξ服从正态分布N（1，δ）且P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤﹣2）=0.16； ②∃a∈R，使得f（x）=
*
2
﹣a有三个零点；
③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位； ④若命题p：∀x∈R，e＞x+1，则￢p为真命题；
以上四个结论正确的是__________（把你认为正确的结论都填上）．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知数列{an}为等差数列，a3=5，a4+a8=22． （1）求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn； （2）令bn=
，求证：b1+b2+…bn＜
．
x
18．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足． （1）求证：BF⊥AC；
（2）如果圆柱与三棱锥A﹣BCE的体积比等于3π，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．
19．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生500名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240]，得到频率分布直方图如图所示．已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人； （1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表： 利用时间充分 利用时间不充分 总计 走读生 住宿生 10
总计 据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？ （3）若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望； 参考公式：K=
2
．
20．设椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为
，过点F且与x轴垂直的
直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．
21．已知f（x）=
，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
2x﹣y﹣2=0．
（1）求a，b的值；
（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围； （3）已知
=1.732，试估算ln的近似值（精确到0.01）．
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．选修4-1：几何证明选讲 22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： （Ⅰ）BE=EC；
2
（Ⅱ）AD•DE=2PB．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为
（θ为参数）若以该直
角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+
）=
（其中t为常数）．
（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；
（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．
选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|． （1）解不等式f（x）＞5； （2）若关于x的方程
=a的解集为空集，求实数a的取值范围．
辽宁省葫芦岛市2015届高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若P={y|y=|x|}，Q={x|﹣≤x≤}，则P∩Q=( ) A．（0，） B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．[0，] D．（﹣，）
考点：交集及其运算． 专题：集合．
分析：求出P中y的范围确定出P，找出P与Q的交集即可． 解答： 解：由P中y=|x|≥0，得到P=[0，+∞）， ∵Q=[﹣，]， ∴P∩Q=[0，]， 故选：C．
点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则z=( ) A．2+i B．2﹣i C．1+2i
考点：复数代数形式的乘除运算． 专题：计算题．
分析：复数方程两边同乗1﹣2i，化简即可． 解答： 解：∵（1+2i）z=4+3i， ∴（1﹣2i）（1+2i）z=（4+3i）（1﹣2i） 5z=10﹣5i， z=2﹣i， 故选B．
点评：本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
D．1﹣2i
3．单位向量与的夹角为，则=( )
D．2
A． B．1 C．
考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模． 专题：计算题．
分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由||=||=1，与的夹角为60°，故
，
，
，又由
=
，代入即可得到答案．
解答： 解：∵向量与为单位向量， 且向量与的夹角为∴∴===1﹣1+1 =1 ∴故选B
点评：向量的数量积运算中，要熟练掌握如下性质：
，
，
，
=1
==，
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c=（a﹣b）+6，C=△ABC的面积是( ) A．
B．
C．
D．3
2
2
，则
考点：余弦定理． 专题：解三角形．
22222
分析：将“c=（a﹣b）+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c=a+b﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．
解答： 解：由题意得，c=a+b﹣2ab+6，
22222
又由余弦定理可知，c=a+b﹣2abcosC=a+b﹣ab， ∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6． ∴S△ABC=
=
．
222
故选：C．
点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，2015届高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．
5．如图，在边长为e（e为自然对数的底数）的正方形区域的A处于C处各有一个通信基站，其信号覆盖范围分别为如图所示的阴影区域．该正方形区域内无其它信号来源且这两个基站工作正常，若在该正方形区域内随机选择一个地点，则该地点无信号的概率为( )
A．
B．1﹣
C．
D．1﹣
考点：几何概型． 专题：概率与统计．
分析：求出有信号的区域面积，利用几何概型的概率公式进行计算即可得到结论．
解答： 解：信号覆盖范围为阴影区域，其面积之和2则该地点无信号的面积S=e﹣2， 则对应的概率P=
=1﹣
；
2
=2，
故选：B．
点评：本题主要考查几何概型的概率的计算，平面图形面积的计算，根据条件求出对应的面积是解决本题的关键．
6．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于( ) A．
B．
C．
D．
考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面所成的角． 专题：综合题；压轴题；空间角；空间向量及应用．
分析：设AB=1，则AA1=2，分别以
的方向为x轴、y轴、z轴的正
方向建立空间直角坐标系，设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，CD与平面BDC1所成角为θ， 则sinθ=|
|，在空间坐标系下求出向量坐标，代入计算即可．
解答： 解：设AB=1，则AA1=2，分别以轴的正方向建立空间直角坐标系， 如下图所示：
的方向为x轴、y轴、z
则D（0，0，2），C1（1，0，0），B（1，1，2），C（1，0，2）， =（1，1，0），
=（1，0，﹣2），
=（1，0，0），
设=（x，y，z）为平面BDC1的一个法向量，则﹣2，1），
设CD与平面BDC1所成角为θ，则sinθ=|
|=，
，即，取=（2，
故选A．
点评：本题考查直线与平面所成的角，考查空间向量的运算及应用，准确理解线面角与直线方向向量、平面法向量夹角关系是解决问题的关键．
7．运行如图所示的程序，则运行后输出的结果为( )
A．7 B．9 C．10 D．11
考点：程序框图．
专题：算法和程序框图．
分析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
解答： 解：第1次执行循环体后，i=1，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第2次执行循环体后，i=2，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第3次执行循环体后，i=3，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第4次执行循环体后，i=4，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第5次执行循环体后，i=5，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第6次执行循环体后，i=6，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第7次执行循环体后，i=7，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第8次执行循环体后，i=8，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； 第9次执行循环体后，i=9，S=lg第10次执行循环体后，i=10，S=lg
，不满足S＜﹣1，继续执行循环体； ，满足S＜﹣1，
故输出的i值为10， 故选：C
点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
8．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )
A．（x+1）+（y﹣1）=2 B．（x﹣1）+（y+1）=2 C．（x﹣1）+（y﹣1）222=2 D．（x+1）+（y+1）=2
考点：圆的标准方程．
分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．
22222
解答： 解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D； 验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是
； ．故A错误．
故选B．
点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．
9．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m
﹣n=( ) A．5 B．6 C．7 D．8
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论． 解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A， 直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，
由，解得，
即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B， 直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大， 由
，解得
，
即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3， 则m﹣n=3﹣（﹣3）=6， 故选：B．
点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．
10．抛物线C1：y=4x，双曲线C2：
2
﹣
=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右
焦点，则2a+b的最大值为( )
A． B．5 C． D．2
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．
22
分析：求出抛物线的焦点（1，0），即有c=1，即a+b=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα
（0＜α＜），运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．
2
解答： 解：抛物线C1：y=4x的焦点为（1，0）， 即有双曲线的c=1，
22
即a+b=1，（a＞0，b＞0）， 设a=cosα，b=sinα（0＜α＜则2a+b=2cosα+sinα=当α+θ=
（
）， cosα+
sinα）=
．
sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ为锐角），
时，2a+b取得最大值，且为
故选A．
点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系，运用三角换元和正弦函数的值域是解题的关键．
11．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为
( )
A．3 B． C． D．3
考点：由三视图求面积、体积．
专题：计算题；空间位置关系与距离． 分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥，画出它的直观图，求出各条棱长即可． 解答： 解：根据几何体的三视图，得； 该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图所示；
PA=4，AB=3+2=5，C到AB中点D的距离为CD=3，
∴PB=AC=BC=PC=
===
=
=
=， ， ，
=
，
∴PB最长，长度为故选：C．
．
点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么．
12．若对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使4x1lnx1﹣x1+3+4x1x2+8ax1x2﹣16x1≥0成立，则a的取值范围是( ) A．[﹣，+∞） B．[
，+∞）
C．[﹣，]
D．[﹣∞，]
2
2
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：导数的综合应用．
分析：由x1＞0，4x1lnx1﹣x1+3+4x1x2+8ax1x2﹣16x1≥0化为
≥
22
2
，令f（x）=，x∈（0，2]，利用导数
可得其最大值．令g（x）=8ax+4x，x∈[1，2]，则对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使4x1lnx1
22
﹣x1+3+4x1x2+8ax1x2﹣16x1≥0成立⇔g（x）max≥f（x）max．再利用导数可得g（x）的最大值，即可得出．
解答： 解：∵x1＞0，∴4x1lnx1﹣x1+3+4x1x2+8ax1x2﹣16x1≥0化为
≥
令f（x）=
，
，x∈（0，2]，
2
2
f′（x）==，
当0＜x＜1时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；当1＜x＜2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，f（1）=14．
2
令g（x）=8ax+4x，x∈[1，2]，
22
∵对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使4x1lnx1﹣x1+3+4x1x2+8ax1x2﹣16x1≥0成立， ∴g（x）max≥f（x）max． g′（x）=8a+8x=8（x+a），
①当a≥﹣1时，g′（x）≥0，函数g（x）单调递增，∴当x=2时，g（x）取得最大值，g（x）=16a+16．由16a+16≥14，解得
，满足条件．
②当﹣2＜a＜﹣1时，g′（x）=8[x﹣（﹣a）]，可得当x=﹣a时，g（x）取得最小值，g（2）=16+16a≤0，g（1）=4+8a≤0，舍去．
③当a≤﹣2时，经过验证，也不符合条件，舍去． 综上可得：a的取值范围是
．
故选：A． 点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值最值，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．
的展开式中xy的系数为70．（用数字作答）
22
考点：二项式定理． 专题：二项式定理．
分析：先求出二项式展开式的通项公式，再令x、y的幂指数都等于2，求得r的值，即可
求得展开式中xy的系数．
22
解答： 解：
的展开式的通项公式为 Tr+1=
•（﹣1）
r
•
=
•=•（﹣1）•
r
•，
令 8﹣﹣4=2，求得 r=4，
22
故展开式中xy的系数为 =70，
故答案为：70．
点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
14．已知函数f（x）=cosx•sin（x+
）﹣
cosx+
2
，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]
上的最大值和最小值分别为、﹣．
考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值． 专题：三角函数的图像与性质．
分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣，
]，可得2x﹣
∈[﹣
，
]，根据正弦函数的性质即可得解． ）﹣
cosx+
2
），又x∈[﹣
解答： 解：∵f（x）=cosx•sin（x+=cosx（sinx+=sinxcosx+=sin2x﹣=sin（2x﹣又∵x∈[﹣∴2x﹣∴当2x﹣当2x﹣
=×）， ，
]， ，
]， cosx）﹣cosx﹣
+
2
cosx+
2
2
cosx+
∈[﹣=﹣
，即x=﹣
时，f（x）min=﹣，
，即x=
时，f（x）min=，
故答案为：、﹣．
点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值的解法，属于基本知识的考查．
15．函数f（x）=log0.5（x﹣4）的单调增区间为（﹣∞，﹣2）．
考点：复合函数的单调性． 专题：函数的性质及应用．
分析：求函数的定义域，根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．
2
解答： 解：由x﹣4＞0得x＞2或x＜﹣2，
2
设t=x﹣4，则y=log0.5t为减函数，
2
要求函数f（x）的递增区间，即求函数t=x﹣4的递减区间，
2
∵函数t=x﹣4的递减区间为（﹣∞，﹣2），
2
∴函数f（x）=log0.5（x﹣4）的单调增区间为（﹣∞，﹣2）， 故答案为：（﹣∞，﹣2） 点评：本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．
16．给出如下四个结论：
2
①若随机变量ξ服从正态分布N（1，δ）且P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤﹣2）=0.16； ②∃a∈R，使得f（x）=
*
2
﹣a有三个零点；
③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位； ④若命题p：∀x∈R，e＞x+1，则￢p为真命题；
以上四个结论正确的是①②③④（把你认为正确的结论都填上）．
考点：命题的真假判断与应用． 专题：综合题；推理和证明．
2
分析：①根据随机变量X服从正态分布N（1，ς），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=1，根据正态曲线的特点，得到P（ξ≤﹣2）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4），得到结果．
x
②令g（x）=，确定其单调性，可得g（2）＜0，g（﹣1）＞0，即可得出结论；
③回归直线方程中x的系数为正值时y随x的增加而增加（平均），x的系数为负值时y随x的增加而减少（平均）；
x
④￢p：∃x∈R，e≤x+1，比如x=0时成立．
2
解答： 解：①∵随机变量X服从正态分布N（1，ς），μ=1，∴P（ξ≤﹣2）=P（ξ≥4）=1﹣P（ξ≤4）=0.16．故正确；
②令g（x）=，则g′（x）=，函数在（﹣∞，﹣1）、（2，+∞）
上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减，又g（2）＜0，g（﹣1）＞0， 故∃a∈R，使得f（x）=
*
﹣a有三个零点，正确；
③由方程y=3﹣2x得，变量x增加1个单位时，y平均减少2个单位，正确．
xx
④若命题p：∀x∈R，e＞x+1，则￢p：∃x∈R，e≤x+1，比如x=0时成立，故为真命题． 故答案为：①②③④
点评：本题考查正态分布，考查了回归直线方程的应用，考查命题的否定，知识综合性强．
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知数列{an}为等差数列，a3=5，a4+a8=22． （1）求数列{an}的通项公式an及前n项和公式Sn； （2）令bn=
，求证：b1+b2+…bn＜
．
考点：数列的求和；等差数列的性质． 专题：等差数列与等比数列． 分析：（1）由已知求出等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和得答案；
（2）把等差数列的前n项和代入bn=解答： （1）解：由a4+a8=22得：a6=11， 又a3=5， ∴d=2，
则a1=a3﹣2d=1． ∴an=2n﹣1； Sn=
（2）证明：bn=
=
，列项和求出b1+b2+…bn，放缩后得答案．
═n； =
，
2
当n=1时，b1=当n≥2时， b1+b2+…+bn=
，原不等式成立；
=＜
=．
∴b1+b2+…+bn＜
．
点评：本题考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．
18．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足． （1）求证：BF⊥AC；
（2）如果圆柱与三棱锥A﹣BCE的体积比等于3π，求二面角B﹣AC﹣E的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系． 专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用． 分析：（1）利用线面垂直的性质可得：AB⊥CE，利用圆的性质可得BE⊥CE，于是CE⊥平面ABE，可得CE⊥BF，利用线面垂直的判定定理即可证明．
（2）设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r；利用圆柱与三棱锥A﹣BCE的体积比等于
2222
3π，可得BE•EC=2r，BE+CE=4r，解得：BE=EC=r．分别以EB、EC所在直线为x轴、y轴，E为坐标原点，建立如图所示坐标系；利用线面垂直的性质分别求出平面BAC的法
向量，平面CAE的法向量为，利用向量夹角公式即可得出．
解答： （1）证明：∵AB⊥平面BEC，CE⊂平面BEC， ∴AB⊥CE，
∵BC为圆的直径，∴BE⊥CE，
∵BE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，BE∩AB=B． ∴CE⊥平面ABE，
∵BF⊂平面ABE，∴CE⊥BF， 又BF⊥AE，且CE∩AE=E， ∴BF⊥平面AEC， 又AC⊂平面AEC， ∴BF⊥AC．
（2）设圆柱的底面半径为r，则圆柱的高为2r； V圆柱=πr•2r=2πr． VA﹣BEC=
BE•EC•2r=•BE•EC•r
2
3
由题意：圆柱与三棱锥A﹣BCE的体积比等于3π，
2
∴BE•EC=2r， 222BE+CE=4r， 解得：BE=EC=r．
分别以EB、EC所在直线为x轴、y轴，E为坐标原点，建立如图所示坐标系； 则E（0，0，0），B（r，0，0），C（0，r，0），A（r，0，2r）， =（0，0，2r），
=（﹣r，r，﹣2r），
=（0，r，0），
⊥
，
=（r，0，2r）， ⊥
得：
=
=0，
设平面BAC的法向量为
=（x1，y1，z1），则由
即：﹣r（x1﹣y1+2z1）=0，2rz1=0， 取y1=1得：x1=1，z1=0，设平面CAE的法向量为
=（1，1，0）． =（x2，y2，z2），则由
，
得：
=
=0
即
，取z2=1，解得：y2=0，x2=﹣1，∴
=（﹣，0，1）．
∴==﹣33
由图形可知：二面角B﹣AC﹣E为锐二面角， ∴二面角B﹣AC﹣E的余弦值为33．
点评：本题考查了圆柱的性质、线面垂直判定与性质定理、圆的性质、勾股定理，考查了通过建立空间直角坐标系利用法向量的夹角求二面角的方法，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
19．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级1000名学生（其中走读生450名，住宿生500名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查．根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60），③[60，90），④[90，120），⑤[120，150），⑥[150，180），⑦[180，210），⑧[210，240]，得到频率分布直方图如图所示．已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人； （1）求n的值并补全下列频率分布直方图；
（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表： 利用时间充分 利用时间不充分 总计 走读生
住宿生 10 总计 据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关？ （3）若在第①组、第②组、第⑧组中共抽出3人调查影响有效利用时间的原因，记抽到“学习时间少于60分钟”的学生人数为X，求X的分布列及期望； 参考公式：K=
2
．
考点：频率分布直方图；独立性检验的应用． 专题：应用题；概率与统计．
分析：（1）根据频率直方图，利用频率=和
，补全频率分布直方图即可；
，求出样本容量n，以及第④组的频率
（2）由频率分布直方图，计算抽取的“走读生”以及利用时间不充分的人数，利用2×2列联表，计算K的值，即可得出正确的判断；
（3）求出X的所有可能取值以及对应的概率，求出X的分布列与数学期望值． 解答： 解：（1）设第i组的频率为Pi（i=1，2，…，8）， 由图可知：P1=
×30=
，P2=
×30=
；
；
2
∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=由题意：n×∴n=100；… 又P3=P6=
×30=×30=
，P5=，P7=
×30=×30=
， ，P8=
=5，
×30=；
；
∴P4=1﹣（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=∴第④组的高度为：h=
×
=
=
；
补全频率分布直方图如图所示：
（注：未标明高度1/250扣1分）…
（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中， “走读生”有45人，利用时间不充分的有40人， 从而2×2列联表如下： 利用时间充分 利用时间不充分 走读生 30 15 住宿生 45 10 总计 75 25 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得； … K=
2
总计 45 55 100
=≈3.030；
因为3.030＜3.841，
所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；…
（3）由（1）知：第①组1人，第②组4人，第⑧组5，总计10人， 则X的所有可能取值为0，1，2，3； ∴P（X=0）=
=
，P（X=1）=
=
，
P（X=2）==，P（X=3）==；…
∴X的分布列为： X 0 1 P ∴EX=0×
+1×
+2×
2 +3×
=
3 =；…
=）．
（或由超几何分布的期望计算公式EX=n×=3×
点评：本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了2×2列联表的应用问题，考查了离散型随机事件的分布列与数学期望的计算问题，考查了计算能力的应用问题，是综合性题目．
20．设椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为
，过点F且与x轴垂直的
直线被椭圆截得的线段长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：对第（1）问，由离心率得a与c的等量关系，由椭圆的通径长为
2
2
2
2
2
，得a与b有
等量关系，结合c=a﹣b，消去c，即得a，b，从而得椭圆C的标准方程．
对第（2）问，联立直线l与椭圆C的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0），由韦达定理及中点公式，得x0及y0的表达式，用k，t表示直线MN的垂直平分线的方程，将P点坐标（0，﹣）代入，得k与t的等量关系．由弦长公式，得|MN|，由点到直线距离公式，得△MON底边MN上的高，从而得△MON面积的表达式，即可探求其面积的最大值． 解答： 解：（1）设F（﹣c，0），由离心率a=3c=3（a﹣b），得3b=2a．…①
易知，过F且与x轴垂直的直线方程为x=﹣c， 代入椭圆方程中，得
，解得y=±
2
2
2
2
2
2
知，
由题意，得联立①、②，得故椭圆C的方程为
，得，b=2，
．
2
．…②
（2）由
2
2
，消去y，整理，得（3k+2）x+6ktx+3t﹣6=0，…③
2
2
222
有△=24（3k+2﹣t）＞0，得3k+2＞t，…④ 设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为G（x0，y0）， 由韦达定理，得x1+x2=
，
，
则x0=
，，
∴线段MN的垂直平分线方程为：y﹣=﹣（x+），
=﹣（0+
），
将P点的坐标（0，﹣）代入上式中，得﹣﹣
2
2
化简得：3k+2=4t，代入④式中，有4t＞t，得0＜t＜4． |MN|=
=
=．
设原点O到直线MN的距离为d，则，
∴S△MON=•|MN|•d=•
．
==
， ，
，
当t=2时，S△MON有最大值此时，由3k+2=4t知，k=±∴△MON面积的最大值为
2
，此时直线l的方程为y=±x+2．
点评：本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此
类问题的常见技巧如下：
1．确定椭圆的标准方程，关键是确定a，b的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三
222
个独立的方程，注意隐含条件“a=b+c”运用．
2．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．
21．已知f（x）=
，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为
2
2
2x﹣y﹣2=0．
（1）求a，b的值；
（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围； （3）已知
=1.732，试估算ln的近似值（精确到0.01）．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值． 专题：分类讨论；导数的概念及应用；导数的综合应用；不等式的解法及应用． 分析：（1）求出函数f（x）的导数，由切线方程可得切线的斜率和切点，解方程可得a，b的值；
（2）求出f（x）的解析式，由g（x）≤mf（x）得2lnx≤m（x﹣），即2lnx﹣m（x﹣）≤0，令ϕ（x）=2lnx﹣m（x﹣），对m讨论，①当m=0时，②当m≤﹣1时，③当﹣1＜m＜0时，④当0＜m＜1时，⑤当m≥1时，讨论函数的单调性，即可判断；
（3）对任意的k＞1，ϕ（k）=2lnk﹣m（k﹣），由（2）知，当m=1时，ϕ（k）=2lnk﹣k+＜0恒成立，以及由（2）④知当0＜m＜1时，得到的结论，取k=，代入计算即可得到所求近似值．
解答： 解：（1）f（x）=ax+，f′（x）=a﹣
，
由于f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0， 则f′（1）=2，f（1）=0即a﹣b=2，a+b=0， 解得a=1，b=﹣1； （2）f（x）=x﹣，
由g（x）≤mf（x）得2lnx≤m（x﹣）， 即2lnx﹣m（x﹣）≤0，
令ϕ（x）=2lnx﹣m（x﹣）则ϕ′（x）=﹣m（1+）=，
①当m=0时，ϕ′（x）=＞0恒成立，
即有ϕ（x）在（1，+∞）上单调递增，则ϕ（x）＞ϕ（1）=0， 这与ϕ（x）≤0矛盾，不合题意；
2
若m≠0，令△=4﹣4m=4（1+m）（1﹣m）， ②当m≤﹣1时，△≤0恒成立且﹣m＞0
2
即有﹣mx+2x﹣m≥0恒成立，即ϕ′（x）≥0恒成立 即ϕ（x）在（1，+∞）上单调递增，
即有ϕ（x）＞ϕ（1）=0，这与ϕ（x）≤0矛盾，不合题意；
③当﹣1＜m＜0时，△＞0，方程﹣mx+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2）， 由韦达定理得x1•x2=1＞0，x1+x2=＜0，
即x1＜x2＜0，则当x≥1时，﹣mx+2x﹣m≥0恒成立，
即ϕ′（x）＞0恒成立，即有ϕ（x）在（1，+∞）上单调递增， 则ϕ（x）＞ϕ（1）=0，这与ϕ（x）≤0矛盾，不合题意；
2
④当0＜m＜1时，△＞0，方程﹣mx+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），
2
2
0＜x1=＜1，x2=＞1即有0＜x1＜1＜x2，
即有ϕ（x）在（1，x2）单调递增，当x∈（1，x2）时，ϕ′（x）＞0，
即有ϕ（x）在（1，+∞）上单调递增，即有ϕ（x）＞ϕ（1）=0，这与ϕ（x）≤0矛盾，不合题意；
⑤当m≥1时，△≤0且﹣m＜0，则ϕ′（x）≤0恒成立，
即有ϕ（x）在[1，+∞）上单调递减，ϕ（x）≤ϕ（1）=0，合题意． 综上所述，当m∈[1，+∞）时，g（x）≤mf（x）恒成立； （3）对任意的k＞1，ϕ（k）=2lnk﹣m（k﹣）， 由（2）知，当m=1时，ϕ（k）=2lnk﹣k+＜0恒成立， 即2lnk＜k﹣，
取k=得ln＜（﹣）≈0.289．
由（2）④知当0＜m＜1时，ϕ（x）在（1，ϕ（x）＞ϕ（1）=0， 令x1=
）上单调递增，
得：m=，ϕ（x）=2lnx﹣m（x﹣）＞0
﹣1＞0，即有lnk＞（1﹣
），
∴ϕ（k）=2lnk﹣m（k﹣）=2lnk+取k=得：ln＞≈0.286， ∴0.286＜ln＜0.289，
取ln=×（0.286+0.289）=0.2875≈0.29， ∴ln≈0.29．
点评：本题考查导数的运用：求切线方程和求单调区间，主要考查判断函数的单调性和不等式的恒成立问题，具有一定的运算量，运用分类讨论的思想方法和两边夹及取均值思想是解题的关键．
请考生从第22、23、24三题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．选修4-1：几何证明选讲 22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明： （Ⅰ）BE=EC；
2
（Ⅱ）AD•DE=2PB．
考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定． 专题：选作题；立体几何．
分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；
2
（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB． 解答： 证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°， ∵PC=2PA，D为PC的中点， ∴PA=PD，
∴∠PAD=∠PDA， ∵∠PDA=∠CDE，
∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°， ∴OE⊥BC， ∴E是
的中点，
∴BE=EC；
（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C， ∴PA=PB•PC， ∵PC=2PA， ∴PA=2PB， ∴PD=2PB， ∴PB=BD，
∴BD•DC=PB•2PB， ∵AD•DE=BD•DC，
2
∴AD•DE=2PB．
2
点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
选修4-4：坐标系与参数方程
23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直
角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+
）=
（其中t为常数）．
（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；
（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．
考点：点的极坐标和直角坐标的互化；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程． 专题：直线与圆．
2
分析：（1）把曲线M的参数方程化为 y=x﹣1，把曲线N的极坐标方程化为 x+y﹣t=0．曲线N与曲线M只有一个公共点，数形结合求得t的范围．
（2）当t=﹣2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线N相切时，由（1）可得t=﹣，故本题即求直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距离，利用两条平行线间的距离公式计算求得结果．
解答： 解：（1）曲线M 即 y=x﹣1，其中，x=sinθ+cosθ=把曲线N的极坐标方程为ρsin（θ+
2
（θ为参数），即 x=1+y，
sin（θ+）=
）∈[﹣
，
]．
2
（其中t为常数）
化为直角坐标方程为 x+y﹣t=0．
由曲线N（图中蓝色直线）与曲线M（图中红色曲线）只有一个 公共点，则有直线N过点A（，1）时满足要求，
并且向左下方平行运动直到过点B（﹣，1）之前总是保持 只有一个公共点，
再接着向左下方平行运动直到相切之前总是有两个公共点， 所以﹣+1＜t≤+1满足要求， 当直线和曲线M相切时，由
有唯一解，即 x+x﹣1﹣t=0 有唯一解，
2
故有△=1+4+4t=0，解得t=﹣． 综上可得，要求的t的范围为（﹣
+1，
+1]∪{﹣}．
（2）当t=﹣2时，曲线N即 x+y+2=0，当直线和曲线M相切时，由（1）可得t=﹣． 故曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离，即直线x+y+2=0和直线x+y+=0之间的距
离，为 =．
点评：本题主要考查把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系的应用，属于中档题．
选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|． （1）解不等式f（x）＞5； （2）若关于x的方程
考点：绝对值不等式的解法． 专题：不等式的解法及应用．
=a的解集为空集，求实数a的取值范围．
分析：（1）化简函数的解析式为函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|=，分类讨
论求得原不等式解集．
（2）由（1）中分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，可得
实数a的取值范围．
的取值范围．再根据关于x的方程
=a的解集为空集，求得
解答： 解：（1）函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|=，
当x≥1时，由3x+5＞5解得：x＞；当﹣1＜x＜1时，由x+3＞5得x＞2 （舍去）． 当x＜﹣1时，由﹣3x﹣1＞5，解得x＜﹣2． 所以原不等式解集为{x|x＜﹣2 x＞}．
（2）由（1）中分段函数f（x）的解析式可知：f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递减， 在区间（﹣1，+∞）上单调递增．
并且f（x）的最小值为f（﹣1）=2，所以函数f（x）的值域为[2，+∞）， 从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣2，+∞），
进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．
=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．
根据已知关于x的方程
点评：本题主要考查带有绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数
学思想，属于中档题．
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