乘法公式中的数学思想

思想方法是数学的灵魂，而乘法公式是初中数学当中的最常用公式之一，应用非常的广泛，因此，我们必须彻底弄清公式的本质特征．下面，给同学们总结一下运用乘法公式解决问题的思想方法．

一、整体的思想

研究某些数学问题时，往往不是以问题的某个组成部分为着眼点，而是有意识放大考查问题的视角，将要解决的问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体结构或做整体处理后，达到顺利而又简捷地解决问题的目的，这就是整体思想。在利用乘法公式进行计算时，由于同学们对公式的结构缺乏整体认识，往往不会灵活运用，因此造成解答费时、费力，甚至出现错误．

例1 求代数式2(axby)(byax)－(axby)2－(axby)2的值，其中

a4，x1．

解；原式=﹣[(axby)2－2(axby)(byax)+(axby)2 =﹣[(axby)－(byax)]2 =﹣4a2x2

把a4，x1代入上式，得： 原式=﹣4×(4)2×(1)2=﹣64

评注：此题将axby、byax看做一个整体，在括号前添“﹣”，中括号内恰好能够运用完全平方公式，在进行合并同类项后在平方，简化了运算过程．

二、转化的思想

转化是解数学题的一种重要的思维方法。转化思想是分析和解决问题的一个重要的基本思想，就解题的本质而言，解题即意味着转化，即把生疏问题转化为熟悉问题，把抽象问题转化为特殊问题，把复杂问题转化为低次问题，把未知条件转化为已知条件，把一个综合问题转化为几个基本问题，把顺向思维转化为逆向思维等等．

例2 化简：(xyzw)5(yxwz)6 解：原式=(xyzw)5[﹣(xyzw)]6

=(xyzw)56 =(xyzw)11

点评：解答本题关键是将(yxwz)6转化为(xyzw)6，经过适当的变形，化为可以利用公式进行计算的形式，从而使运算简便．

三、换元的方法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来．或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化．

3例3 计算：2001－2 007×2 008×2 009

解：设2 008=a，则 原式=a3(a1)a(a1) =a3－a(a21) =a3－a3+a =2 008

评注：在此题中，要先看清题目中几个数之间的关系，然后适当地简化其中一个数换成字母，从而能准确地运用平方差等公式进行运算．