线性代数试卷及答案详解

试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟

考试科目：线性代数 考试时间： 学号： 姓名： 题号 得分 阅卷人 一 二 三 四 五 六 七 总 分 一． 单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设A经过初等行变换变为B，则（ ）.(下面的r(A),r(B)分别表示矩阵A,B的秩)。 (A)r(A)r(B)； (B)r(A)r(B)； 无法判定r(A)与r(B)之间的关系。 (C) r(A)r(B)； (D)2．设A为n (n2)阶方阵且|A|0，则（ ）。 (A)A中有一行元素全为零； (B)A中必有一行为其余行的线性组合； (D)A有两行（列）元素对应成比例； A的任一行为其余行的线性组合。 (C)3. 设A,B是n阶矩阵(n2), ABO,则下列结论一定正确的是: ( ) 4．下列不是n维向量组1,2,...,s线性无关的充分必要条件是（ ） (A)(B)存在一组不全为零的数k1,k2,...,ks使得k11k22...kssO； 不存在一组不全为零的数k1,k2,...,ks使得k11k22...kssO (C)1,2,...,s的秩等于s； (D)1,2,...,s中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 1aa...aa1a...a5．设n阶矩阵(n3)A.....，若矩阵A的秩为n1，则a必为（ ）。 .....aaa...111； (C). (A)1； (B)1； (D)1nn1a16．四阶行列式0a2b300b2a30b10的值等于（ ）。 0a4a1a2a3a4b1b2b3b4； (a2a3b2b3)(a1a4b1b4). 00b4(A)(C)a1a2a3a4b1b2b3b4； (B)(a1a2b1b2)(a3a4b3b4)； (D)7．设A为四阶矩阵且Ab，则A的伴随矩阵A*的行列式为（ ）。 b2； (C)2(A)b； (B)b3； (D)1b4 8．设A为n阶矩阵满足A3AInO，In为n阶单位矩阵,则A（ ） (A) In； (B)A3In； (C)A3In； (D) 3AIn 9．设A，B是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（ ）。 (A)(C)A与B的秩相同； (B)A与B的特征矩阵相同； (D)A与B的特征值相同； A与B的行列式相同； 10．设A为n阶矩阵,则A以0为特征值是A0的（ ）。 必要非充分条件； 充分必要条件； (A)(C)充分非必要条件； (B)既非充分又非必要条件； (D)二．填空题（每小题3分，共18分） 1．计算行列式0004004304324321。 1001231002. 010456001_______________________。 0017890103．二次型f(x1,x2,x3)x1x2x2x3x3x1对应的对称矩阵为 。 4．已知1(0,0,1)，2(22,22,0)，3(22,22,0)是欧氏空间3的一组标准正交基，则向量(1,1,1)在这组基下的坐标为 。 741715．已知矩阵A4的特征值为13(二重),212,则x___________。 44x6．设1,2,3均为3维列向量，记矩阵A,,，B(123123,12243 ,13293)。如果|A|1，则|B| 。 23121,B10,0三．(8分) A1210331TAXB, 求X。 四．（10分）设向量组1(1,1,2,3)，2(1,1,1,1)，3(1,3,3,5)，4(4,2,5,6)，TTT5(3,1,5,7)T。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。 x1x2px3五．（12分）讨论线性方程组x1px2x3pxxx12321解的情况，并在有无穷多解时求其解。 1124六．（14分）设A222，（2）、求正交矩阵T，（1）、求出A的所有特征值和特征向量；421使得T1AT为对角矩阵。 七．（8分）对任意的矩阵(1) (2) A,证明： AAT为对称矩阵, AAT为反对称矩阵； A可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。 《线性代数A》参考答案（A卷） 一、单项选择题（每小题3分，共30分）

1 B 2 C 3 D 4 A 5 B 6 D 7 C 8 C 9 C 10 D 二、填空题（每小题3分，共18分）

320112101、 256； 2、 465； 3、2798112212； 0124、 1,2,0； 5、 4； 6、 2 。 三． 解：因为矩阵A的行列式不为零,则A可逆,因此X等行变换的方法： ―――――（6分）

A1B.为了求A1B,可利用下列初

2781所以XAB144.―――――（8分）

103四．解：对向量组1,2,3,4,5作如下的初等行变换可得：

10001143111310000000000002121131――――（5分）

00000000从而1,2,3,4,5的一个极大线性无关组为1,2，故秩{1,2,3,4,5}＝2（8分） 且3212，4132，5212――――（10分） 五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：

(1) 当p10,且(2p)(p1)0时,即p1,且p2时,系数矩阵与增广矩阵的秩

均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分）

(2) 当p1时,系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.――――（6分） (3) 当p2时,此时方程组有无穷多组解. 方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为 故原方程组与下列方程组同解:

令x30,可得上述非齐次线性方程组的一个特解0(1,1,0);

Tx30x1它对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个元素,令x31,可得

xx0231(1,1,1)T为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.

此时原方程组的通解为k00k11,这里k0,k1为任意常数.――――（12分）

1六．解：（1）由于A的特征多项式|IA|24242(3)2(6)

221故A的特征值为13（二重特征值），36。――――（3分）

424x10x0得基础解系212当13时，由(1IA)XO，即：2424x30为1[1,2,0]T,2[1,0,1]T，故属于特征值13的所有特征向量为

k11k,k1,k2 不全为零的任意常数。――――（6分） 22524x10x0得基础解系282当36时，由(3IA)XO，即：2542x30为3[2,1,2]T，故属于特征值 26的所有特征向量为k33,k3 为非零的任意常数。

------(8分) (2)

将

1,2正交化可得：

11[1,2,0]T,再

将

其

T22位

2,1421[,,1]T。

1,155单化

T得：

15251,,0,1552452552,,

215153T212将3单位化得：3,,。――――（12分）

333则1,2,3是

A的一组单位正交的特征向量，令

554155T1,2,3255215550313 23233。――――（14分） 3则T是一个正交矩阵，且T1AT6七．证明：(1) 因为(A――――（2分） 同理,因为(AAT)TAT(AT)TAAT, 因此AAT为对称矩阵。

AT)TAT(AT)TATA(AAT),因此AAT为反对称

矩阵。――――（4分） (2) 因为

A11(AAT)(AAT),――――（6分） 2211T(AA)(AAT)为反对称矩阵,因此任何矩阵A 都可以而由(1) 知为对称矩阵, 22表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。――――（8分）