抛物线测试题(含答案)[1]

抛物线测试题(含答案)(word版可编辑修改)

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抛物线测试题

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．抛物线y2x2的焦点坐标是 （ ）

A．(1,0) B．(1,0)

4C．(0,1)

8D． (0,1)

42．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P(m,3)到焦点的距离为5，则抛物线方

程为 （ ) A．x28y B．x24y C．x24y D．x28y

3．抛物线y212x截直线y2x1所得弦长等于 （ ）

A．A.x215 B．215

C．

152 D．15

4．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2，3）,则它的方程是 （ ）

9y2或y244949x B。y2x或x2y C.x2y D。y2x 33223xt25．点P(1,0)到曲线(其中参数tR）上的点的最短距离为 （ )

y2t A．0 B．1 C．2 D．2

6．抛物线y22px(p0)上有A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)三点，F是它的焦点，若AF,BF,CF 成等

差数列,则 ( ） A．x1,x2,x3成等差数列 B．x1,x3,x2成等差数列 C．y1,y2,y3成等差数列 D．y1,y3,y2成等差数列 7．若点A的坐标为(3，2），F为抛物线y22x的焦点，点P是抛物线上的一动点，则PAPB

取得最小值时点P的坐标是 （ )

A．（0，0)

B．(1，1)

C．(2，2) D．(1,1) 28．已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2), 则关系式 y1y2的值一定等于 （ )

x1x22

A．4 B．－4 C．p D．－p

9．过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P,Q两点,若线段PF与FQ的长分别是

11

p,q，则= （ ）

pq

A．2a B．1 C．4a D．4

2aa10．若AB为抛物线y=2px (p〉0)的动弦，且｜AB｜=a (a〉2p），则AB的中点M到y轴的最近距离是 （ ）

apapap A． B． C． D．

2222

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11、抛物线y2x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12、直线xy10截抛物线y28x，所截得的弦中点的坐标是

13、抛物线y22px(p0)上,横坐标为4的点到焦点的距离为5，则此抛物线焦点与准线的

距离为

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2

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2y14、设F为抛物线4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FAFBFC0,则

FAFBFC15、对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；

（1)焦点在y轴上； （2）焦点在x轴上; (3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5; （5）由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为（2，1)．

2

其中适合抛物线y=10x的条件是（要求填写合适条件的序号） ______． 三、解答题

16．（12分)已知点A（2，8），B（x1，y1)，C（x2,y2）在抛物线y22px上，△ABC的重心与此

抛物线的焦点F重合（如图）

（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；

(2）求线段BC中点M的坐标； （3）求BC所在直线的方程。

17．（12分）已知抛物线yax21上恒有关于直线xy0对称的相异两点，求a的取值范围.

18．（12分）抛物线x=4y的焦点为F，过点（0,－1)作直线L交抛物线A、B两点，再以AF、BF为邻边作平行四边形FARB，试求动点R的轨迹方程.

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2yCC19、(12分）已知抛物线的方程：2px(p0)过点A（1，—2)。

(I)求抛物线C的方程,并求其准线方程；

（II）是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点，且直线

5OA与l的距离等于5?若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。

20．（13分）已知抛物线y=4ax（0＜a＜1＝的焦点为F，以A（a+4,0）为圆心,|AF｜为半径在

2

x轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M和N，设P为线段MN的中点．

(1）求｜MF｜+|NF｜的值;

（2）是否存在这样的a值，使｜MF|、｜PF｜、｜NF｜成等差数列？如存在，求出a的值，若不存在，说明理由.

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21．（14分）如图, 直线y=x与抛物线y=x－4交于A、B两点， 线段AB的垂直平分线与

28直线y=－5交于Q点。 (1）求点Q的坐标;

（2）当P为抛物线上位于线段AB下方

(含A、B）的动点时， 求ΔOPQ面积的最大值。

参考答案

一、选择题(本大题共10小题,每小题5分，共50分)

题号 答案 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分）

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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D A B B A C B C D 抛物线测试题(含答案)(word版可编辑修改)

11．(1,2) 12． 13． 15． （2），（5）

84三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．（12分）［解析]：（1）由点A（2，8）在抛物线y22px上,有822p2，

解得p=16. 所以抛物线方程为y232x，焦点F的坐标为（8，0)。

（2）如图,由于F(8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的

定比分点,且AF2,设点M的坐标为(x0,y0)，则

FM22x082y08,0，解得x011,y04， 1212所以点M的坐标为（11，－4）．

（3）由于线段BC的中点M不在x轴上,所以BC所在 的直线不垂直于x轴。设BC所在直线的方程为:

y4k(x11)(k0).

y4k(x11),消x得ky232y32(11k4)0， 由2y32x所以y1y232，由(2）的结论得y1y24，解得k2k4.

因此BC所在直线的方程为:4xy400.

16．（12分）

2

［解析]：设在抛物线y=ax－1上关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x，y），Q(－y，－x），则

2yax1①2xay1 ②，由①－②得

x+y=a（x+y）(x－y),∵P、Q为相异两点，∴x+y≠0,又a≠0，

22

2

2

∴xy,即yx，代入②得ax－ax－a+1=0,其判别式△=a－4a（1－a）＞0，解得

a

34

1a1a．

xy1,),L：y=kx2217．(12分）［解析]：设R(x,y），∵F（0，1）， ∴平行四边形FARB的中心为C(2

－1，代入抛物线方程得x－4kx+4=0, 设A(x1，y1），B（x2，y2)，则x1+x2=4k，x1x2=4，且

2

△=16k－16＞0，即｜k｜＞1 ①，

x12x22(x1x2)22x1x2y1y24k22，∵C为AB的中点.

44xx2x22k22∴

y1y2y22k2122x4k22，消去k得x=4（y+3),由① 得，,故动点R的轨迹方程为x=4(y+3）( x4)． x4y4k2318．

19．(14分）［解析］：（1)F（a,0），设M(x1,y1),N(x2,y2),P(x0,y0)，由

y24ax(xa4)2y216

x22(a4)x(a28a)0，0,x1x22(4a)，MFNF(x1a)(x2a)8 （2）假设存在

a值，使的MF,PF,NF成等差数列,即2PFMFNFPF4 x04a

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(x0a)2y016(42a)2y016y016a4a2yy22y1y22y1y2y0(1)244ax14ax224ax14ax2a(x1x2)2ax1x2=2a(4a)2aa28a

42222222a(4a)2aa28a16a4a2a1

0xx021xx00a1 矛盾。 12y200

∴假设不成立．即不存在a值，使的MF,PF,NF成等差数列．

或解： PF4 x04ax0a4 知点P在抛物线上。 矛盾。 20．（14

1xx4x82分）【解】(1） 解方程组 得 1或 2 y12y2412yx48y1即A（－4，－2）,B（8,4)， 从而AB的中点为M(2，1)。由kAB==,直线AB的垂直平分

2线方程

1y－1=（x－2)。 令y=－5， 得x=5， ∴Q（5,－5）．

212

（2) 直线OQ的方程为x+y=0， 设P（x, x－4).∵点P到直线OQ的距离

8d=

1xx2482=

182x28x32，OQ52，∴SΔOPQ=1OQd=5216x28x32。

∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴－4≤x<43－4或43－4〈x≤8。

2

∵函数y=x+8x－32在区间［－4,8］ 上单调递增, ∴当x=8时， ΔOPQ的面积取到最大值30．

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