平面向量复习基本知识点及经典结论总结

平面向量

①向量②零向量③单位向量一、向量的基本概念内容④相等向量⑤相反向量⑥平行向量①几何表示法二、向量的表示表示方法②符号表示法③坐标表示法①共线定理②共线定理应用③不共线定理应用向量④实数与向量的积⑤平面向量的数量积三、平面向量的基本定理⑥向量的运算⑦向量的运算律⑧向量平行(共线)的充要条件⑨向量垂直的充要条件 ⑩平移公式①在几何中的应用四、平面向量的基本应用②在解析中的应用③在解斜三角形的应用④在物理中的应用

学习方法：①理论意义、实际意义；

②基本概念，知识网络，思想方法，基本技巧；

③五步学习法：讲清内容，整理内容，课后练习，讲解练习，总结练习；

④基本考点：a、向量的运算及其几何意义； b、向量的线性运算； c、共线问题；

e、基本定理应用及其向量分解； d、坐标表示及其运算； f、平行问题的坐标表示； g、数量积的运算； h、夹角问题； i、模长及垂直条件； j、在平面几何中应用； k、在解析几何中的应用；l、在解三角形中的应用； m、在物理中的应用；

一、向量有关概念：

①向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，向量可以平移； ②零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；

作用:１、解决矛盾；２、零向量和任何非零向量平行；３、一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量；

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③单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是AB)；单位化

|AB|④相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；大小和方向有关，与位置无关； ⑤相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是－a； ⑥平行向量（共线向量）：

１、方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量；

２、记作：a∥b零向量和任何非零向量平行；

３、两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； ４、平行向量无传递性！（因为有0)；

５、三点A AC共线； 、B、C共线AB、⑦相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； a、向量的运算及其几何意义： 例１、下列命题：

①若ab，则ab；②两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同； ③若ABDC，则ABCD是平行四边形；④若ABCD是平行四边形，则ABDC；

⑤若ab,bc，则ac；⑥若a//b,b//c，则a//c；其中正确的是_______

例２、下列命题正确是：

①若a0，则a0；

②若非零向量a与b方向相同或相反，则ab与a,b之一的方向相同； ③若a0，则a0；

④若ab，则ab或ab； ⑤若ab，则ab； ⑥若abc，则ac；

⑦ababa与b方向相同；

⑧向量b与向量a共线的充要条件是有且仅有只有一个实数，使得ba；

⑨ABBA0；⑥若ab，则ab；

“三角形法则”和“平行四边形法则” b、向量的线性运算：

例３、已知ABC中，点D在BC边上，且CD2DB，CDrABsAC，则rs的值是___

例４、已知AD,BE分别是ABC的边BC,AC上的中线,且ADa,BEb,则BC可用向量a,b表示为_____ 例５、边长为1的正三角形ABC中，设BC2BD,CA3CE，则ADBE？

c、共线问题：

例６、已知OAa,OBb,OCc,ODd,OEe，设tR，如果3ac,2bd,etab，那么t为何值时， C、D、E三点在一条直线上？

例７、 如图1，已知点G是ABC的重心，过G作直线与AB，AC两边分别交于M，N两点，且AMxAB，

11ANyAC，则3。

A xy

M

N

G

B 图1 例１、④⑤

C

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例２、①

例３、解:用零向量解决矛盾

CDrABsAC,CD2DBCDr(ADDB)s(ADDC)(rs)ADrDBsDC(22sr)DB(rs)ADrs0,22sr0

例４、 解:

ADa,BEb.BCBEECb111124ACb(ADDC)b(aBC)BCab 22223311b,BEBCCEab， 23例５、

解：设CAa,CBb，则ab1,a,b60，由题意，得ADACCDa121271ADBEababcosa,b3264

CDdc2b3a,CEec(t3)atb，例６、解：C、D、E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k，

使得CEkCD，即t3atb3ka2kb，整理得t33ka2ktb； 当a,b共线，则t可为任意实数；当a,b不共线，则有6t33k06t；综上，t任意，共线，t，不。

55t2k0 例７、点G是ABC的重心，知GAGBGCO，得AG(ABAG)(ACAG)O，

1有AG(ABAC)。又M，N，G三点共线（A不在直线MN上），于是存在,，

311使得AGAMAN(且1)， 有AGxAByAC=(ABAC)，得1，

3xy311于是得3。

xy二、向量的表示方法：

①几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后； ②符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；

③坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j为基底，则平面内的任一向量a可表示为axiyjx,y，称x,y为向量a的坐标，a＝x,y叫做向量a的坐标表示。

如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

d、坐标表示及其运算；

例１、若a(1,1),b(1,1),c(1,2)，则c______

例２、如平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB, 其中1,2R且121,则点C的轨迹是_______ e、基本定理应用及其向量分解：

例３、给定两个长度为１的平面向量OA和OB，它们的夹角为120.

如图，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.

若OCxOAyOB，其中x,yR，则xy的最大值是？

例４、已知O是ABC的外心，AB2,AC1,ABC120.若AO1AB2AC，则12？

1 / 1

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11132cab,a(1,1),b(1,1),c(1,2)cab 例１、解：22232例２、向量PA、 PB、 PC中三终点A、B、C共线存在实数、使得PAPBPC且1.直线AB

例３、

1cosxyOCOAxOAOAyOBOA2解：方法一、设AOC，则，即

cos(120)1xyOCOBxOAOByOBOB2 所以xy2coscos120cos3sin2sin2.

6方法二、将向量式OCxOAyOB两边平方，得1OCxOAyOB因为xy22x2y2xy(xy)23xy，

1122xy，故1xy,2xy2. 44 方法三、以直线OA为x轴，过O垂直于OA的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A1,0,B13,,C, 2211xxy1323y，即代入OCxOAyOB可得,xy,， 223y2322

11,,1,0,1，所以由柯西不等式，得xy3122232222.

方法四、设AOC，作平行四边形OECD，则OCOEOD.设OEx,ODy,在OCE中使用正

弦定理得

xy11sin60sin2sin60 xysin60sin60sinsin601，设OC与AB的交点为M，OM1OAOB，则由 21 OCtOMt1OAOBt0，得xyt，且两边取模并平方整理得t 2331故tmaxtmaxt2.

方法五、OAOBOAOBcos1202xycos3sin2sin2，，当时，xy2. 633例４、已知O是ABC的外心，AB2,AC1,ABC120.若AO1AB2AC，则12？

方法六、设Ccos,sin0,2AOABAB2ACAB1解：方法一、点乘法：AO1AB2AC两边同时乘以AB,AC得， 2AOAC1ABAC2AC1 / 1

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512R4122RcosOAB4121316R12. 即，所以6RcosOAC12R112242R3方法二、坐标法：以A点为原点，以CA及其垂直平分线所在的直线分别为x轴、y轴建立直角坐标系.由余弦定

理得BC即O,7，再由正弦定理得BCsinA2RAOR5317，AD，所以OD，

623153153AO,，而B1,3,AC1,0,AB1,3，

2626511161322AO12,31，于是，所以12. 546313263

三、平面向量的基本定理：共线和不共线定理 

①共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数，使得ba。

ⅰ、提供证明共线或平行的方法。

ⅱ、定比分点坐标公式，中点坐标公式，重心公式。

f、平行问题的坐标表示；

例１、已知ABC和点满足MAMBMC0，若存在实数m使得ABACmAM成立，则m３

例２、已知点A(2,3),B(5,4)，C(7,10)，若APABAC(R)，则当＝____时，点P在第一、三象限的角平分

线上。 例３、若D为ABC的边BC的中点，ABC所在平面内有一点P，满足PABPCP0，设

|AP|，则？ |PD|例１解：由MAMBMC0知，点M为ABC的重心，设D为边BC的中点，则向量加法可知ABAC2AD。 由重心的性质可知：AM221AD，ABAC,ABAC3AM。而且AM与AD同向，故AMAD 3331例２、答：；

2例３、（答：2）；

②共线定理应用：

PP2，则叫做１、定比分点的概念：设点P是直线p1,p2上异于p1,p2的任意一点，若存在一个实数 ，使PP1点P分有向线段 PP12 所成的比，P点叫做有向线段PP12的以定比为的定比分点；

２、的符号与分点P的位置之间的关系：

当P点在线段PP12上时0；当P点在线段PP12的延长线上时 1； 当P点在线段P2P1的延长线上时10；

当P分有向线段PP12所成的比为，则点P分有向线段P2P1所成的比为

1。

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x1x2x1(x,y)P(x,y)P(x,y)３、线段的定比分点公式：设P、，分有向线段所成的比为，则， PP11122212yy2y11x1x2x2ⅰ、当1时，就得到线段Pyy2。在使用定比分点的坐标公式时，应明确(x,y)，1P2的中点公式y12(x1,y1)、(x2,y2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地

确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比。

1MP2， ⅱ、若P分有向线段PP所成的比为，点M为平面内的任一点，则MPMP121MP1MP2； 特别地P为P1P2的中点MP2例１、若M(3,2)，N(6,1)，且MPMN，则点P的坐标为_______

131ax与线段AB交于M，且AM2MB，则a等于_______ 2例３、如图，在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN2NC，

AM与BN相交于点P，求AP:PM的值？

例２、已知A(a,0),B(3,2a)，直线y例１、解:法一:设P(x,y),M(3,2),N(6,1)MP(x3,y2),MN(9,1)x33x611MPMN(x3,y2)(9,1)即17

33y2y3313646x11114 解法二:MPMNMPMNP(x,y),M(3,2),N(6,1)

1342(2)7y41314

a23a6x123例２、A(a,0),B(3,2a),M(x,y),AM2MB

02(2a)42ay123142a1a6M在yax上a即a22a80,a2或a4

2323例３、设BMe1,CNe2，则AMACCM3e2e1，BN2e1e2，

A,P,M和B,P,N分别共线，存在、R，使APAMe13e2

BPBN2e1e2，故BABPAP2e13e2，而BABCCA2e13e2，

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42245由平面向量基本定理得，APAM，即AP:PM4:1.

53335５、平行四边形法则：

ab2a22abb2①2ababcosa2a2aba22abb2②

分析：

22①－②：abab4ab　　③2222①+②：abab２ab　④

例１、已知a,b是两个非零向量，且abab，则a与ab的夹角？

例２、已知a2,b5,ab3，则ab等于____

例３、若向量a与向量b的夹角为60，b4,a2ba3b72，则向量模a？ 例４、若正方形ABCD的边长为1，ABa,BCb,ACc，则|abc|＝_____ 例５、已知a,b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|＝_____

例６、若O是ABC所在平面内一点，且满足OBOCOBOC2OA，则ABC的形状？ 例１、30； 例２、23； 例３、６； 例４、22； 例５、13；

例６、直角三角形；

③如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2， 使a1e12e2。

应用：１、解释平面直角坐标系中的任意点坐标(x,y)的来由。

２、 共＋平＝不共 分析：

例１、下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 （ ）

A、 e1(0,0),e2(1,2) B、e1(1,2),e2(5,7)

C、 e1(3,5),e2(6,10) D、e1(2,3),e2(,)

例２、平面上三个不同点O,A,B不共线，问：是否存在实数k1,k2满足k1k20，且k1OAk2OB0。 例３、平面上O,A,B三点不共线，设OAa,OBb,则OAB的面积等于________

（A）221234ab(ab) （B）ab(ab)2 1ab(ab) （D）2222222221（C）2ab(ab)2

22例１、解：不共线，非零向量。用共线定理否定的方法（答：B）； 例２、反证法：

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k1k20表示k1,k2不全为零，OB假设存在k1,k2R，可设k20，由k1OAk2OB0，

22k1OA，k2k10，若不然，k10时，OB0,O,B重合，与已知“三点”矛盾，可见k10，

kk 10，这表明存在10，使OBOA。可知O,A,B共线，这与“O,A,B”不共线“矛盾”，

k2k2 表明不存在满足全部条件的实数k1,k2。注：a1e12e2，当a0时，共线定理。 例３、解析：选C.

SOAB1111(ab)22|a||b|sina,b|a||b|1cosa,b|a||b|122 2222|a||b|ab(ab)2

22④实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：1aa,2当>0时，a的方向与a的方向相同，当<0时，a的方向与a的方向相反，当＝0时，a0，注：a≠0。

分析：

⑤平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OAa,OBb，AOB0称为向量a，b的夹角，

时，a，b垂直。 2（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a，b，它们的夹角为，我们把数量|a||b|cos叫做a与b的数量积

当＝0时，a，b同向，当＝时，a，b反向，当＝（或内积或点积），记作：ab，即ababcos。

规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。 （3）b在a上的投影为|b|cos，它是一个实数，但不一定大于0。 （4）ab的几何意义：数量积ab等于a的模|a|与b在a上的投影的积。 （5）向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：

ⅰ、abab0；

ⅱ、当a，b同向时，abab，特别地，aaaa,aa；

当a与b反向时，abab；

当为锐角时，ab0，且a, b不同向，ab0是为锐角的必要非充分条件；

222 b不反向，ab0是为钝角的必要非充分条件； 当为钝角时，ab0，且a、ⅲ、非零向量a，b夹角的计算公式：cosabab；

ⅳ、|ab||a||b|；||a||b|||ab||a||b|；

b同向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|； 当a、 b反向或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|； 当a、 b不共线||a||b|||ab||a||b|； 当a、g、数量积的运算；

例１、已知|a|3，|b|5，且ab12，则向量a在向量b上的投影为______ 例２、ABC中，|AB|3，|AC|4，|BC|5，则ABBC_________

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-平面向量复习基本知识点及经典结论总结

11例３、已知a(1,),b(0,),cakb,dab，c与d的夹角为，则k等于___

224例４、已知非零向量a,b满足a3b与7a5b互相垂直，a4b与7a2b互相垂直，则a与b的夹角？ 例５、已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PAPB的最小值为

A O B P

例６、a,b为非零向量，“ab”是“函数f(x)xabxba为一次函数”的________条件。

h、夹角问题；

例７、已知a(,2)，b(3,2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围？

13例８、已知OFQ的面积为S，且OFFQ1，若S，则OF,FQ夹角的取值范围？

22例９、若两向量e1,e2满足e12,e21,e1,e2所成的角为60，若向量2te17e2与向量e1te2所成的角为钝角，

求实数t的取值范围？

例10、已知a(cosx,sinx),b(cosy,siny),a与b之间有关系式akb3kab,其中k0，①用k表示ab；

②求ab的最大值，并求此时a与b的夹角的大小？

②最小值？

③当ab取得最大值时，求实数，使ab的值最小，并对这一结果做出几何解释； 例11、已知acosxsinx,sinx,bcosxsinx,2cosx，设f(x)ab，

①求函数f(x)的最小正周期； ②当x0,例１、

时，求函数f(x)的最大值及最小值； 212； 5例２、ABBCABBCcos(B)ABBCcosB9；

例３、1； 例４、

22(a3b)(7a5b)07a16ab15b0212b2abab,cos,解：由已知条件得。 223(a4b)7a2b07a30ab8b0例５、解析1、如图所示：设PAPBx(x0).APO,则APB2,PO1x,sin211x2，

x4x2x4x2PAPBPAPBcos2x(12sin)2，令PAPBy，则y2，

x1x122即x41yx2y0，由x是实数，所以1y41y0，y6y10，

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解得y322或y322.故PAPBmin322，此时x221.

221sin12sin22

sin21解析2、设APB,0，PAPBPAPBcoscostan2换元：xsin222,0x1，PAPB221x12x2x132xx23；

222解析3、建系：圆的方程为xy1，设A(x1,y1),B(x1,y1),P(x0,0)，PAPBx1 2x1x0x0y1AOPAx1,y1x1x0,y10x12x1x0y120x1x01

222PAPBx122x1x0x0y12x122x01x122x12x03223

例６、必要不充分；

解：①abab0；②f(x)abxbaxab为一次函数ab0且ba；

③ab0且baab0；

“积木式问题”的解题策略:

ⅰ、先分别对每个条件进行推理，直至得出认为有作用的结果；再认真分析这些结果，探索它们之间的联系；

若仍然不能找到解决问题的途径则可以调整以上推理结果；

ⅱ、如果某个“积木”恰好是知识的盲点，不要放弃，要对每个条件进行独立推理，可以得到可观的部分分数； 例７、例８、(222222241或0且； 33,)； 43114例９、7t,t

22k21例10、①ab(k0)；

4k12， 232211113③ab,ab，当时，ab的值最小，此时abb0，即说明

222241abb0 2例11、① f(x)ab　

②最小值为cosxsinxcosxsinxsinx2cosx

cos2xsin2x2sinxcosx 2分

cos2xsin2x

222cosxsinx

221 / 1

-平面向量复习基本知识点及经典结论总结

2sincos2xcossin2x

442sin2x ４分

4 f(x)的最小正周期T②  ６分

0x2

52x ８分 44，即x时，f(x)有最大值2； 10分 4285 当2x，即x时，f(x)有最小值1； 12分

442当2x“细节决定一切”：所得分数与自己估计的相差很大时，说明细节出了问题。

⑥向量的运算： ⅰ、几何运算：

１、向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，向量加法还可利

用“三角形法则”：设ABa,BCb，那么向量AC叫做a与b的和，即abABBCAC； ２、向量的减法：用“三角形法则”：设ABa,ACb,那么abABACCA，由减向量的终点指向被减

向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。 ⅱ、坐标运算：设a(x1,y1),b(x2,y2)，则：

１、向量的加减法运算：ab(x1x2，y1y2)。 ２、实数与向量的积：ax1,y1x1,y1。

３、若A(x1,y1),B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点

坐标减去起点坐标。

４、平面向量数量积：abx1x2y1y2。 ５、向量的模：|a|xy,a|a|2x2y2。

222６、两点间的距离：若Ax1,y1,Bx2,y2，则|AB|x2x12y2y1。

2例１、若点O是△ABC的外心，且OAOBCO0，则△ABC的内角C为____

1例２、已知A(2,3),B(1,4),且AB(sinx,cosy)，x,y(,)，则xy 222例１、120； 例２、

；

62⑦向量的运算律：

或２、结合律：abcabc,abcabc，ababab； ３、分配律：aaa,abab，abcacbc。

１、交换律：abba，aa，abba； 例１、下列命题中正确的是______

① a(bc)abac； ② a(bc)(ab)c； ③(ab)|a|2|a||b||b|；

1 / 1

222-平面向量复习基本知识点及经典结论总结

④ 若ab0，则a0或b0； ⑤若abcb,则ac； ⑥aa；

22aa例１、（答：①⑥⑨）

⑧向量平行(共线)的充要条件：a//bab(ab)2(|a||b|)2x1y2y1x2＝0。

例１、若向量a(x,1),b(4,x)，当x_____时a与b共线且方向相同； 例２、已知a(1,1),b(4,x)，ua2b，v2ab，且u//v，则x______； 例３、设PA(k,12),PB(4,5),PC(10,k)，则k____时，A、B、C共线； 例１、2； 例２、4；

例３、－2或11；

⑨向量垂直的充要条件：abab0|ab||ab| x1x2y1y20. 特别地(⑦

ab2b； ⑧(ab)2ab； ⑨(ab)2a2abb。

2222ABABACAC)(ABABACAC)。

i、模长及垂直条件

例１、已知OA(1,2),OB(3,m)，若OAOB，则m

例２、以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，B90，则点B的坐标？ 例３、已知n(a,b),向量nm，且nm，则m的坐标是________

3； 例２、 (1,3)或（3，－1）； 例３、(b,a)或(b,a) 2xxh⑩平移公式：如果点P(x,y)按向量ah,k平移至P(x,y)，则； 例１、

yyk曲线f(x,y)0按向量ah,k平移得曲线f(xh,yk)0。

例１、按向量a把(2,3)平移到(1,2)，则按向量a把点(7,2)平移到点______ 例2、已知A(1,2),B4,2，则把向量AB按向量a1,3平移后得到的向量是？

例3、函数ysin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是ycos2x1，则a＝________ 例１、（－８，３）； 例2、解:A(1,2),B(4,2) AB(3,0) 例3、(,1) 4四、平面向量的应用：

①向量在几何中的应用：向量的几何表示是有向线段，其加法和减法的几何意义、模长、平行、垂直等内容的结合。 j、在几何中的应用“三角形“四心”向量”

在ABC中：

①若Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3，则其重心的坐标为Gx1x2x3y1y2y3,。 33②PG1(PAPBPC)G为ABC的重心，特别地PAPBPC0P为ABC的重心；

3③PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；

④向量(ABAC)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；

|AB||AC|⑤|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；

1、重心(中线交点)

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-平面向量复习基本知识点及经典结论总结

①G是△ABC的重心GAGBGC0；

证明 作图如右，图中GBGCGE，连结BE和CE，则CE=GB，BE=GCBGCE 为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线.将GBGCGE代入

GAGBGC=0，得GAEG=0GAGE2GD，故G是△ABC的重心。(反之亦然)

13证明 PGPAAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG)(PAPBPC)∵G是△ABC的重心

②PG(PAPBPC)G为△ABC的重心(P是平面上的点).

∴GAGBGC=0AGBGCG=0，即3PGPAPBPC，由此可得PG1(PAPBPC)。 3例１、向量OP1、OP2、OP3满足OP，OP12P3是正三角形。 1OP2OP31，求证 PP1OP2OP30例２、若O 为ABC内一点，OAOBOC0 ，则O 是ABC 的（ ） AA、内心 B、外心 C、垂心 D、重心

O CEB

D

111例３、A、B、C是平面上不共线三点，O是ABC的重心，动点P满足OPOAOB2OC，则

322点P一定为ABC的（ ）

A、AB边中线的中点 B、AB边中线的三等分点（非重心） C、重心 D、AB边的中点 例１、证明 由已知OP1+OP2=-OP3，两边平方得OP1·OP2=，同理OP2·OP3=OP3·OP1=，

∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3，从而△P1P2P3是正三角形。

反之，若点O是正三角形△P1P2P3的中心，则显然有OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|.

即O是△ABC所在平面内一点，OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|点O是正△P1P2P3的中心. 例２、解析：由OAOBOC0得OBOCOA，如图以OB、OC为相邻两边

1构作平行四边形，则OBOCOD，由平行四边形性质知OEOD，

2OA2OE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。

1212111例３、解：B；取AB边的中点M，则OAOB2OM，由OPOAOB2OC，

322可得3OPOM2OC，OPOM，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点， 且点P不过重心，故选B；

C

2、垂心(高线交点)

H是△ABC的垂心HAHBHBHCHCHA

H C 由HAHBHBHCHB(HCHA)0HBAC0HBAC, A B D 同理HCAB，HABC.故H是△ABC的垂心.

(反之亦然(证略)) O B A

若H是ABC(非直角三角形)的垂心，则 D SBHC:SAHC:SAHBtanA:tanB:tanC,

故tanAHAtanBHBtanCHC0.

例１、P是ABC所在平面上一点，若PAPBPBPCPCPA，则

P是ABC的（ ）A、外心 B、内心 C、重心 D、垂心

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-平面向量复习基本知识点及经典结论总结

例１、解析:由PAPBPBPC得PAPBPBPC0.即PB(PAPC)0,即PBCA0 则PBCA,同理PABC,PCAB，所以P为ABC的垂心. 故选D. ３、外心(边垂直平分线交点，外接圆圆心)

O是ABC的外心OAOBOC(或OAOBOC)(点O到三边距离相等)

222OAOBABOBOCBCOAOCCA0（O为三边垂直平分线)

若O是ABC的外心，则SBOC:SAOC:SAOBsinBOC:sinAOC:sinAOBsin2A:sin2B;sin2C 故sin2AOAsin2BOBsin2COC0.

例１、若O为ABC内一点，OAOBOC，则O是ABC 的（ ）

A、内心 B、外心 C、垂心 D、重心

例１、解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O 是ABC 的外心 ，选B。 4、内心(角平分线交点，内切圆圆心)

O是ABC的内心充要条件是OA•(AB|AB||AC|AC)OB•(BA|BA||BC|BC)OC•(CA|CA||CB|CB)0

C

如果记AB，BC，CA的单位向量为e1,e2,e3，O是ABC内心的充要条件可以写成

OA·(e1+e3)=OB·(e1+e2)=OC(e2+e3)=0

O是ABC内心的充要条件也可以是aOAbOBcOC0.

若O是ABC的内心，则SBOC:SAOC:SAOBa:b:c,

A O

D

B

故aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0,

|AB|PC|BC|PA|CA|PB0P为△ABC的内心; 向量(AB|AB||AC|AC)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；

*设P是ABC所在平面内任意一点，I为ABC内心的充要条件是PIaPAbPBcPC

abc例1、O是平面上一个定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：

ABACOPOA(),0,，则P点轨迹一定经过ABC的（ ）

ABAC(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心

例２、已知O是平面上的一定点，A、B、C是平面上不共线的三个动点，动点P满足

OBOCABAC,0,，则P的轨迹一定通过ABC的（ ） OP2ABcosBACcosC

(A)外心 (B)内心 (C)重心 (D)垂心

ABACBC0，且ABAC1，则ABC为（ ） 例３、已知非零向量AB与AC满足ABABAC2AC例1、①

ABABABAB,ACAC分别表示AB,AC上的单位向量，因此

ABABACAC；

ACAC②ACAC表示菱形ABDC对角线AD；（设AB1 / 1

ABAB,AC，角平分线）；

-平面向量复习基本知识点及经典结论总结

③(ABABACAC)(0)表示AD，即起点A，终点在射线AD上的向量。 ABABACAC)表示以OA,(ABABACAC)为邻边的平行四边形的对角线上动点P为终

④OPOA(点OP：因为P点总在BAC的平分线上，所以P点过ABC的内心。选B；

例２、因为

ABABcosB与

ACACcosC都点乘以BC后分母可以约去，且有

ABABcosBACACcosC0，

即动点P满足OPBCODBCBCBC，其中D是边BC的中点，移向并整理， 得BCOPOD0,BCDP0，PD是BC的中垂线，选B；

ABACBC0,角A的平分线垂直于BC；例３、ABACABABAC1,角A60；等边，选D； AC2②向量在解析中的应用：条件以向量形式给出；定比分点公式以向量的形式给出；解决垂直问题时不用考虑斜率； k、在解析中的应用

例１、O为直角坐标系XOY的原点，平面内A(3,1),B(1,3)，C点对应的向量OCOAOB，其中

,R,1，求C点轨迹方程？

x2y21的渐近线交于E1,E2两点。记OE1e1,OE2e2,任取双曲线上的点p, 例２、直线x2与双曲线4若满足OPae1be2(a,bR),则满足a,b的等式?

646，cosB，AC边上的中线BD5，求sinA的值？

63x3例１、设OC(x,y)，OA(3,1),OB(1,3)，根据OCOAOB，，依据“约束条件”

y31(3xy)10“1”得：，1

1(3yx)1011(3xy)(3yx)1,x2y50。 1010例３、在ABC中，已知AB

2x2(ab)(2(ab))2x12y1E1(2,1),E2(2,1)设P(x,y),则(ab)21即ab 例２x2,444yab例３、方法一、建系

以B为坐标原点，BC为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点

A位于第一象限，由sinB30，则64644543x2546BAcosB,sinB,BD,，设，则BCx,0.由条件得出

3333361 / 1

-平面向量复习基本知识点及经典结论总结

2451443x25 BD，于是， 5，从而x2或x（舍去）.故CA,33363 cosA22BACABACA703142，所以sinA1cosA.

1414 方法二、几何

126AB，设BEx，在BDE中，余弦定理知： 23826672222x，解得x1或x（舍） BDBEED2BEEDcosBED，5x2，

33633022128222 故BC2.从而ACABBC2ABBCcosB，即AC.又因为sinB，

6332212703,sinA故. sinA14306方法三、过点A作AHBC交BC于点H，延长BD到P使BDDP，连结AP,PC，过点P作PNBC交

设E为BC的中点，连结DE，则DEAB，且DE44510422,AH，BNBPAH，而CNHB，333322122217023，所以sinA所以BCBNCN2,HC,AC，由 .

3314sinA306BC的延长线于点N，则HBABcosB

③向量在解斜三角形的应用： l、在解斜三角形的应用

3例1、已知向量m1,1，向量n与向量m的夹角为，且mn1，

4①求向量n；

②若向量n与向量q1,0的夹角为

C，向量pcosA,2cos2，

22其中A、B、C 为ABC的内角，且A、B、C依次成等差数列，求np的取值范围？

例２、已知在锐角ABC中，两向量p22sinA,cosAsinA,qsinAcosA,1sinA，且p与q是共线

向量.

①求A的大小；

C3B取得最大值时，B的大小； 233mnmncos1，n1，例1、①设nx,y，由mn1，有xy1① 夹角为，

44②求函数f(x)2sinBcos21 / 1

-平面向量复习基本知识点及经典结论总结

x1x0则x2y21②，解得： n1,0或n0,1 或y0y122,0A, ②由n与q垂直知n0,1，由2BAC,知B,AC333212C1cosA,cosC，np1cos2A因为n0,1，则npcosA,2cos23222125515,0A,2A，1cos2A，np,,np

3223333242例２、①

pq22sinA1sinAcosAsinAsinAcosA0,sinA23,A60 2②f(x)2sinBcosC3B22sinBcos(2B60)1sin2B30，当B60时，fmax2.

2④向量在物理中的应用：物理中的速度、位移、力等都是向量，与物理知识结合。 m、在物理中的应用

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