高中数学必修一对数函数(总11页)
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高中数学必修一对数函数
卷I（选择题）
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）
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1. 若对数式log（𝑡−2）3有意义，则实数𝑡的取值范围是（ ） A.[2, +∞)
2. 函数𝑡(𝑡)=log𝑡(𝑡2−𝑡𝑡)(𝑡>0, 𝑡≠1)在[2, 3]为增函数，则𝑡的取值范围是（ ） A.(1, +∞)
3. 已知2𝑡=3𝑡，则𝑡=( ) A.
4. 若log𝑎(2𝑥−1)>log𝑎(𝑥−1)，则有（ ）
A.0<𝑎<1，𝑥>0 B.0<𝑎<1，𝑥>1 C.𝑎>1，𝑥>0
5. 对数式log𝑎𝑏=𝑥化为指数式为（ ） A.𝑎𝑏=𝑥
6. 已知函数𝑓(𝑥)=log2(𝑥2−2𝑥−3)，则使𝑓(𝑥)为减函数的区间是（ ） A.(−∞, −1)
7. 对数式log（𝑎−2）(5−𝑎)中实数𝑎的取值范围是( ) A.(−∞, 5)
8. 已知函数𝑓(𝑥)=log𝑎 A.1−2
3
1−𝑚𝑥𝑥−1
lg2lg3B.(2, 3)∪(3, +∞) C.(−∞, 2) D.(2, +∞)
B.(0, 1) C.(0, 1)∪(1, 2) D.(1, 2)
𝑡 B.
lg3lg2 C.lg 23D.lg 32D.𝑎>1，𝑥>1
B.𝑎𝑥=𝑏 C.𝑥𝑎=𝑏 D.𝑥𝑏=𝑎
B.(−1, 0) C.(1, 2) D.(−3, −1)
B.(2, 5) C.(2, 3)∪(3, 5) D.(2,+∞)
(𝑎>0，且𝑎≠1)在其定义域上是奇函数，则𝑚=( )
C.−3
2
B.−1
D.−2
3
2
9. 设𝑎>0，则lg100𝑎−lgA.1
10. 三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为( ) A.0.76 B.0.76<60.7 𝑎100 ( ) C.3 D.4 A. B. C. D. 12. 据资料显示，可观测宇宙中普通物质的原子总数𝑁≈1080 ，某两状态空间复杂度的上限分别为𝑀=1016，𝐸=2480，则（参考数据：lg2≈0.3 )( ) A.𝑀𝐸=2𝑁 1 B.𝑀𝐸=2𝑁 C.𝑀𝐸=𝑁2 D.𝑀𝐸=√𝑁 卷II（非选择题） 二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ， ） 13. 若3𝑎=2，𝑏=log23，则𝑎𝑏=________，2𝑏+2−𝑏=________. 14. 比较大小：2_______log32(填\">\"或\"<\"). 123 15. 对数函数𝑓(𝑥)的图象经过点(, 2)，则𝑓(𝑥)=________． 4 1 16. 完成下列空格： 函数 𝑦=𝑓(𝑥) 𝑦=3𝑥 定义域 值域 17. 函数𝑓(𝑥)=log1(−𝑥2+4𝑥−3)的定义域为________． 2 𝑦=𝑓−1(𝑥) ________ ________ ________ 𝑦=𝑓−1(𝑥) 𝑦=2𝑥3𝑥−112 𝑦=𝑓(𝑥) ________ 12 (−∞, +∞) (−∞, +∞) (−∞, 3)∪(3, +∞) (−∞, 3)∪(3, +∞) ________ ________ 18. 设函数𝑓(𝑥)、𝑔(𝑥)的定义域分别为𝑀，𝑁，且𝑀⊆𝑁，若对任意的𝑥∈𝑀，都有𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥)，则称𝑔(𝑥)是𝑓(𝑥)的“拓展函数”．已知函数𝑓(𝑥)=3log2𝑥，若𝑔(𝑥)是𝑓(𝑥)的“拓展函数”，且𝑔(𝑥)是偶函数，则符合条件的一个𝑔(𝑥)的解析式是________． 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 12 分 ，共计60分 ， ） 19. 函数𝑦=1𝑜𝑔𝑎𝑥在𝑥∈[1, 16]的最大值比最小值大4，求𝑎的值． 20. 设𝑓(𝑥)=(log2𝑥)2−2𝑎log2𝑥+𝑏(𝑥>0)．当𝑥=4时，𝑓(𝑥)有最小值−1． (1)求𝑎与𝑏的值； (2)求满足𝑓(𝑥)<0的𝑥的取值范围． 21. （1）求值：lg2⋅lg50+lg5⋅lg20−lg100⋅lg5⋅lg2； 21. （2）已知log73=𝑎，log74=𝑏，求log4948． 22. 设𝑎>0且𝑎≠1，函数𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥−2𝑎)+log𝑎(𝑥−3𝑎)的定义域为[𝑎+3, 𝑎+4]． 1 1 4 （1）讨论函数𝑓(𝑥)的单凋性； （2）若𝑓(𝑥)≤1恒成立，求实数𝑎的取值范围． 23. 已知函数𝑓(𝑥)=log4(𝑎𝑥2+2𝑥+3)． (1)若𝑓(𝑥)的定义域为𝑅，求实数𝑎的取值范围； (2)若𝑓(1)=1，求函数𝑓(𝑥)的单调区间； (3)是否存在实数𝑎，使得函数𝑓(𝑥)的最小值为0若存在，求出𝑎的值；若不存在，请说明理由． 5 高中数学必修一对数函数 参考答案与试题解析 一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ） 1. 【考点】 对数及其运算 【解答】 解：要使对数式log（𝑡−2）3有意义， 须{𝑡−2>0𝑡−2≠1； 解得𝑡>2且𝑡≠3， ∴ 实数𝑡的取值范围是(2, 3)∪(3, +∞)． 故选：𝐵． 2. 【考点】 对数函数的单调性与特殊点 【解答】 解：𝑥2−𝑎𝑥的对称轴为𝑥=𝑎 𝑎 2，由题意可得，当𝑎>1时，2≤2，且2． 当1>𝑎>0时，𝑎 2≥3，且9−3𝑎>0，故𝑎无解． 综上，1<𝑎<2， 故选 𝐷． 3. 【考点】 6 4−2𝑎>0， 1<𝑎<∴换底公式的应用 指数式与对数式的互化 【解答】 解：2𝑥=3𝑦， 可得𝑥lg2=𝑦lg3， ∴ 𝑦=lg2． 故选：𝐵． 4. 𝑥 lg3 【考点】 对数函数的单调性与特殊点 【解答】 2𝑥−1>𝑥−1 ，求得𝑥>1； 𝑥−1>02𝑥−1<𝑥−1 当0<𝑎<1时，由log𝑎(2𝑥−1)>log𝑎(𝑥−1)，可得{，求得𝑥无解． 2𝑥−1>0解：当𝑎>1时，由log𝑎(2𝑥−1)>log𝑎(𝑥−1)，可得{故选：𝐷． 5. 【考点】 指数式与对数式的互化 【解答】 解：对数式log𝑎𝑏=𝑥化为指数式为：𝑎𝑥=𝑏， 故选𝐵. 6. 【考点】 对数函数的单调区间 7 【解答】 解：由𝑥2−2𝑥−3>0解得，𝑥>3或𝑥<−1， 则函数的定义域是(−∞, −1)∪(3, +∞)， 令𝑦=𝑥2−2𝑥−3=(𝑥−1)2−4，即函数𝑦在(−∞, −1)是减函数，在(3, +∞)是增函数， 𝑥 ∵ 函数𝑦=log2在定义域上是增函数， ∴ 函数𝑓(𝑥)的减区间是(−∞, −1)． 故选𝐴． 7. 【考点】 对数函数的定义 【解答】 解：由log（𝑎−2）(5−𝑎)可得 5−𝑎>0, {𝑎−2>0, 𝑎−2≠1,𝑎<5,解得 {𝑎>2, 𝑎≠3, 即实数𝑎的取值范围是2<𝑎<3或3<𝑎<5, 故选𝐶． 8. 【考点】 对数函数图象与性质的综合应用 【解答】 解：∵ 函数𝑓(𝑥)=log𝑎 1−𝑚𝑥𝑥−1 (𝑎>0，且𝑎≠1)在其定义域上是奇函数， 1+𝑚𝑥 1−𝑚𝑥𝑥−1 ∴ 𝑓(−𝑥)+𝑓(𝑥)=0，即log𝑎 −𝑥−1+log𝑎 =0 8 ∴ −𝑥−1× 1+𝑚𝑥1−𝑚𝑥𝑥−1 =1 ∴ 1−𝑚2𝑥2=1−𝑥2 ∴ 𝑚2=1 ∴ 𝑚=±1 当𝑚=1时，故选𝐵． 9. 1−𝑚𝑥𝑥−1 =−1，不合题意；当𝑚=−1时，𝑓(𝑥)=log𝑎 𝑥−1，符合题意 1+𝑥 【考点】 对数的运算性质 【解答】 解：∵ 𝑎>0，∴ lg100𝑎−lg100=lg100+lg𝑎−lg𝑎+lg100=2lg100=4． 故选𝐷． 10. 𝑎 【考点】 指数函数与对数函数的关系 【解答】 解：由对数函数𝑦=log0.7𝑥的图象和性质, 可知：log0.76<0. 由指数函数𝑦=0.7𝑥，𝑦=6𝑥的图象和性质, 可知0<0.76<1，60.7>1. ∴ log0.76<0.76<60.7. 故选𝐷. 11. 【考点】 对数函数的图象与性质 9 【解答】 解：由于函数𝑦=𝑔(𝑥)是𝑓(𝑥)=log2𝑥的反函数，故𝑔(𝑥)=2𝑥，可得𝑔(1−𝑥)=21−𝑥， 故选𝐷． 12. 【考点】 对数及其运算 【解答】 解：由恒等式10lg2=2可得， 𝑀𝐸=1016×2480=1016×(10lg2)480 =1016×(100.3)480=10160=𝑁2 . 故选𝐶. 二、 填空题 （本题共计 6 小题 ，每题 5 分 ，共计30分 ） 13. 【考点】 换底公式的应用 指数式与对数式的互化 【解答】 解：由题意得𝑎=log32，𝑏=log23， 𝑎𝑏=log32⋅log23=1， 2𝑏+2−𝑏=2log23+故答案为：1，3. 14. 10 12log23=3+3= 1103 . 【考点】 指数式、对数式的综合比较 【解答】 10 解：2=√2. 1<√2<2. log32<1, 故2>log32. 故答案为：>. 15. 1212【考点】 对数函数的定义 【解答】 解：设数函数𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔𝑎𝑥(𝑎>0且𝑎≠1), ∵ 图象经过点(4, 2)， ∴ 𝑙𝑜𝑔𝑎4=2, 得𝑎=2, ∴ 𝑓(𝑥)=𝑙𝑜𝑔1𝑥, 2 1 1 1 故答案为𝑙𝑜𝑔1𝑥. 2 16. 【考点】 反函数 【解答】 解：①由𝑦=3𝑥解得𝑥=3𝑦，再将𝑥与𝑦互换即可得出反函数𝑦=3𝑥．可知定义域与值域都为𝑅． ②由𝑦=3𝑥−1解得𝑥=3𝑦−2，再将𝑥与𝑦互换即可得出原函数𝑦=3𝑥−2．可知定义域与值域分别为反函数的值域与定义域．故答案为如下表格： 2𝑥 𝑦 𝑥 1 1 11 函数 𝑦=𝑓(𝑥) 𝑦=3𝑥 定义域 值域 17. (−∞, +∞) (−∞, +∞) 𝑦=𝑓−1(𝑥) 1𝑦=𝑥 3𝑅 𝑅 𝑦=𝑓−1(𝑥) 𝑦=2𝑥123𝑥−1 𝑦=𝑓(𝑥) 𝑦=𝑥3𝑥−221 12 21 (−∞, 3)∪(3, +∞) (−∞, 3)∪(3, +∞) (−∞,3)∪(3,+∞) (−∞,3)∪(3,+∞) 【考点】 对数函数的定义域 【解答】 解：由函数𝑓(𝑥)=log1(−𝑥2+4𝑥−3)可得−𝑥2+4𝑥−3>0， 2即 𝑥2−4𝑥+3<0，解得 1<𝑥<3， 故答案为 (1, 3)． 18. 【考点】 求对数函数解析式 【解答】 解：𝑓(𝑥)=3log2𝑥的定义域𝑀=(0, +∞)， 𝑔(𝑥)=3log2|𝑥|的定义域𝑁=(−∞, 0)∪(0, +∞)，满足𝑀⊆𝑁， 又当𝑥>0时，𝑔(𝑥)=3log2|𝑥|=3log2𝑥=𝑓(𝑥)， 故𝑔(𝑥)=3log2|𝑥|是𝑓(𝑥)的“拓展函数”， 故答案为：𝑔(𝑥)=3log2|𝑥|． 三、 解答题 （本题共计 5 小题 ，每题 12 分 ，共计60分 ） 1 1 1 1 1 1 19. 【考点】 对数函数的值域与最值 【解答】 12 解：当𝑎>1时，𝑦=log𝑎𝑥在[1, 16]上最大值为log𝑎16，最小值为log𝑎1， 由log𝑎16=4log𝑎2=4，得𝑎=2； 当0<𝑎<1时，𝑦=log𝑎𝑥在[1, 16]上最大值为log𝑎1，最小值为log𝑎16， 由log𝑎16=4log𝑎2=−4，得𝑎=2． 所以𝑎的值为2或2． 20. 1 1 【考点】 对数函数的单调区间 对数及其运算 【解答】 解：(1)𝑓(𝑥)=(log2𝑥)2−2𝑎log2𝑥+𝑏 =(log2𝑥−𝑎)2+𝑏−𝑎2(𝑥>0)， 当𝑥=4时，𝑓(𝑥)有最小值−1， ∴ { 𝑎=−2 ，解得：{； 𝑏=32 𝑏−𝑎=−1log24=𝑎 11 (2)由(1)得：𝑓(𝑥)=(log2𝑥)2+4log2𝑥+3， 𝑓(𝑥)<0即(log2𝑥+3)(log2𝑥+1)<0， 解得：<𝑥<． 8 2 1 1 21. 【考点】 对数的运算性质 【解答】 解：（1）原式=lg2⋅(lg5+1)+lg5⋅(lg2+1)−2⋅lg5⋅lg2 =lg2+lg5 =1 13 （2）∵ log73=𝑎，log74=𝑏， ∴ log4948=log7(3×16)=(log73+log716)=(log73+2log74) 2 2 2 1 1 1 1 =(𝑎+2𝑏) 222. 【考点】 对数函数的图象与性质 【解答】 解：（1）∵ 设𝑎>0且𝑎≠1，函数𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥−2𝑎)+log𝑎(𝑥−3𝑎) ∴ 𝑥>2𝑎，且𝑥>3𝑎， 即𝑥>3𝑎， ∵ 定义域为[𝑎+3, 𝑎+4]． ∴ 𝑎+3>3𝑎， 𝑎<2， 当1<𝑎<2时，函数𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥−2𝑎)+log𝑎(𝑥−3𝑎)单调递增， 当0<𝑎<1时，函数𝑓(𝑥)=log𝑎(𝑥−2𝑎)+log𝑎(𝑥−3𝑎)单调递减 （1）∵ 𝑓(𝑥)≤1恒成立 ∴ { 0<𝑎<1 ①或{② 𝑓(𝑎+3)≤1𝑓(𝑎+4)≤11<𝑎<21<𝑎<2 333 3 即{ (4−𝑎)(4−2𝑎)≤𝑎<𝑎< 4 13+√4143 ①或{ 0<𝑎<1 ② (3−𝑎)(3−2𝑎)≥𝑎 13−√414 ， ∵ 13−√41>2 ∴ ①无解； 14 ∵ (3−𝑎)(3−2𝑎)≥𝑎即𝑎≥∴ ②的解集为：0<𝑎<1 5+√72 或𝑎≤ 5−√72 综上：实数𝑎的取值范围0<𝑎<1 23. 【考点】 对数函数图象与性质的综合应用 【解答】 解：(1)因为𝑓(𝑥)的定义域为𝑅，所以𝑎𝑥2+2𝑥+3>0对任意𝑥∈𝑅恒成立， 1𝑎>0 显然𝑎=0时不合题意，从而必有{，解得𝑎>3， △=4−12𝑎<0 即𝑎的取值范围是(3, +∞)． (2)因为𝑓(1)=1，所以log4(𝑎+5)=1，因此𝑎+5=4，𝑎=−1， 这时𝑓(𝑥)=log4(−𝑥2+2𝑥+3)． 由−𝑥2+2𝑥+3>0得−1<𝑥<3，即函数定义域为(−1, 3)． 令𝑔(𝑥)=−𝑥2+2𝑥+3． 则𝑔(𝑥)在(−1, 1)上单调递增，在(1, 3)上单调递减， 又𝑦=log4𝑥在(0, +∞)上单调递增， 所以𝑓(𝑥)的单调递增区间是(−1, 1)，单调递减区间是(1, 3)． (3)假设存在实数𝑎使𝑓(𝑥)的最小值为0，则ℎ(𝑥)=𝑎𝑥2+2𝑥+3应有最小值1， 𝑎>01 因此应有{3𝑎−1=1，解得𝑎=2． 𝑎 1 故存在实数𝑎=，使𝑓(𝑥)的最小值为0． 2 1 15 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容