破解策略
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点,其图形复杂,知 识覆盖面广,综台性较强,对学生分析问题和解决问题的能力要求高, 这类题,一般有两个类型:
(1)“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问题: 以A,B,C三点为顶点的平行四边形构造方法有:
①_x0001_ 作平行线:如图,连结AB,BC,AC,分别过点A,B,C作其对边的平行线,三条直线的交点为D,E,F.则四边形ABCD,ACBE,ABFC均为平行四边形.
DACE
BF
②倍长中线:如图,延长边AC,AB,BC上的中线,使延长部分与中线相等,得点D, E,F,连结DE,EF,FD.则四边形ABCD,ACBE,ABFC均为平行四边形.
DACEBF
(2)“两个定点、两个动点”的平行四边形存在性问题:
先确定其中一个动点的位置,转化为“三个定点、一个动点”的平行四边形存在性问 题,再构造平行四边形.
解平行四边形存在性问题,无论是以上哪种类型,若没有指定四边形顶点顺序,都需 要分类讨论.
通常这类问题的解题策略有:
(1)几何法:先分类,再画出平行四边形,然后根据平行四边形的性质来解答. 如图,若AB∥CD且AB=CD,分别过点B,C作一组平行线BE,CF,分别过点A,D作一组平行线AE,DF,则△AEB ≌△DFC,从而得到线段间的关系式解决问题.
ABEDCF
(2)代数法:先罗列四个顶点的坐标,再分类讨论列方程,然后解方程并检验.
如图.已知平行四边形ABCD.连结AC,BD交于点O.设顶点坐标为A(xA,yA).B(xB,yB),
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C(xC,yC),D(xD,yD).
ABODC①_x0001_
用平移的性质求未知点的坐标:
祆xB-xA=xC-xD,xB-xC=xA-xD,镲镲 或眄镲y-y=y-yy-y=y-y.ACDBCAD镲铑B②利用中点坐标公式求未知点的坐标: ìxA+xCx+xDïï=B,ïï22ï íïy+yy+yACBDï=.ïï22ïî有时候几何法和代数法相结合,可以使得解题又快又好. 例题讲解
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例1 如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x+mx+n经过点A(3,0),B(0,﹣3),P是直线AB上的一个动点,过点P作x轴的垂线交抛物线于点M. (1)分别求出直线AB和这条抛物线的表达式;
(2)是否存在这样的点P,使得以点P,M,B,O为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请求出点P的横坐标;若不存在,请说明理由.
yOPBMAx
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解:(1)将点A,B的坐标代入抛物线的表达式,得y=x-2x+3.设直线AB的表达式
为y=kx+b,将点A,B的坐标代入,得y=x-3. (2)存在.
因为PM∥OB,所以当PM=OB时,四边形即为平行四边形.
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根据题意设点P的坐标为(p,p-3),则点M的坐标为(p,p-2p-3).
所以(p-3)-(p2-2p-3)=3. 解得p=3±221,故满足条件的点P的横坐标为p=3±221.
例2 边长为2的正方形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示,D是OA边的中点,
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连结CD,点E在第一象限,且DE⊥DC,DE=DC,以直线AB为对称轴的抛物线过C,E两点. (1)求抛物线的表达式;
(2)M为直线上一动点,N为抛物线上一动点,问:是否存在点M,N,使得以点M,N,D,E为顶点的四边形是平形四边形?若存在,请求出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
yyCBEODGxCBEA图1ODAx
解 (1)如图1,过点E作EG⊥x轴于点G.
1 易证△ODC≌△GED(AAS),所以GE=OD=OA=1.
2 所以点E的坐标为(3,1).
而直线AB为抛物线的对称轴,直线AB的表达式为x=2,
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所以可设抛物线的表达式为y=a(x-2)+k,
ì1ïïa=,ïì4a+k=2,ïï3 将C,E两点的坐标代入表达式,得ï解得ï ííïï2a+k=1,ïîïk=.ïï3ïî所以抛物线的表达式为y(2)存在.
由题意可设点M的坐标为(2,m),N的坐标为n,n
12142x2x2x2 33331324n2. 3以点M,N,D,E为顶点的四边形是平行四边形有以下可能:
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①当DE为平行四边形的边时, (i)如图2,若DE∥MN,MD∥NE,
21n3由平移的性质可得 124m0nn2133解得m1.
n4.此时点M的坐标为(2,1),N的坐标为(4,2). (ii)如图3,若DE∥MN,ME∥ND.
n123.由平移的性质可得124
nn20m1.33m3.解得
n0.此时点M的坐标为(2,3),N的坐标为(0,2). ②当DE为平行四边形的对角线时,如图4.
132n.由平行四边形对角线互相平分性质可得 12401mnn2.331m.解得3
n2.此时点M的坐标为2,,N的坐标为2,2132. 3例3 如图,抛物线yxbxc的顶点为D(-1,-4),与y轴交于点C(0,-3),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧).
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(1)求抛物线的表达式;
(2)若点E在抛物线的对称轴上,抛物线上是否存在点F,使以A,C,E,F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,求出所有满足条件的点F的坐标;若不存在,请说明理由.
解 (1)将点C,D的坐标代入抛物线的表达式,得yx22x3.
(2)存在.
令x22x30,解得x11,x23.
所以点A的坐标为(-3,0),B的坐标为(1,0).
2由点F在抛物线上可设点F的坐标为m,m2m3.
方法一:①如图1、图2,当AC为平行四边形的边是,
EyyFPEOACDBxA P FOCDBx
图1 图2 过点F作FP垂直于抛物线的对称轴,垂足为P. 易证△PEF≌△OCA. 所以PF=AO=3,
从而点F的坐标为(2,5)或(-4,5). ②如图3,当AC为平行四边形的对角线时,
过点F作FP⊥y轴于点P.令抛物线的对称轴交x轴于点Q, 易证△PCF≌△QEA.
所以PF=AQ=2,从而点F的坐标为(-2,-3),此时点F与点C纵坐标相同,所以点E在x轴上.
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y EAOCFDPB x
图3
方法二:①如图3,当AC,EF为平行四边形的对角线时,
xEm30,可得 2ym2m303.E又因为点E在抛物线的对称轴上, 所以m=-2,
则点F的坐标为(-2,-3).
②如图1,当AE,CF为平行四边形的对角线时,
xEm+3,可得 2ym2m5.E又因为点E在抛物线的对称轴上, 所以m=-4,
则点F的坐标为(-2,-3).
③如图2,当AF,CE为平行四边形的对角线时,
xE3m,可得 2ym2m.E又因为点E在抛物线的对称轴上,所以m=2.
则点F的坐标为(2,5).
综上可得,满足平行四边形的点F的坐标为(-2,-3)(-4,5)(2,5) 进阶训练
1.如图,四边形ABCD是直角梯形,AD//BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=28cm,点P从点A出发,沿AD以1cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发,沿CB以3cm/s的速度向点B运动,其中一个动点到达终点时,另一个点也随之停止运动.问:从运动开始,经过多长时间,四边形PQCD成为平行四边形?
ABPDCQ
2.如图,抛物线y=ax² +bx+c 过A(-3,0),B(1,0),C(0,3) 三点,抛物线的顶点位P.
(1)求抛物线的表达式;
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(2)直线y=2x+3上是否存在点M,使得以A,P,C,M为顶点的四边形是平行四边形? 若存在,请求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
PyCAOBx
3.如图,在矩形OABC中,OA=5,AB=4,点D为边AB上一点,将△BCD沿直线CD折叠,使点B恰好落在OA边上的点E处,分别以OC,OA所在的直线为x轴.y轴建立平面直角坐标系.若点N在过O.D.C三点的抛物线的对称轴上,点M在抛物线上,问是否存在这样的点M与点N,使得以M,N,C,E为顶点的四边形是平行四边形?若存在.请求出M点坐标;若不存在,请说明理由.
16 答案:存在满足条件的点M,其坐标为(2,16),(-6,16)或(-2,-).
33[提示]:易证△DAE∽△EOC,从而点D的坐标为(-,-5),得到过点O,D,C的抛物线的
2416解析式为y=x2+x.再分类讨论,由对角线互相平分,中点横纵坐标相等列出方程,
33从而找到符合条件的点M.(参考例3的方法二)
4.如图,抛物线与x轴交于点A(-5,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,5).有一宽度为1,长度足够的矩形(阴影部分)沿x轴方向平移,与y轴平行的一组对边交抛物线于点P,Q.交直线AC于点M,N.在矩形的平移过程中,当以点P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求点M的坐标.
答案:点M的坐标为(-2,3),(-2-6,3-6)或(-2+6,3+6)
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12[提示].由点A,B,C的坐标可得抛物线的表达式为y=-x2-x+5,直线AC的表达式为
33y=x+5,设点M的坐标为(t,t+5),则点N(t-1,t+4),(t,P-t2-t+5),Q(t-1,-t2+13231316 ).3在矩形平移的过程中,以P,Q,N,M为顶点的平行四边形有两种情况:①当P,Q在直线AC同侧时,有yP-yM=yQ-yN,得到点M的坐标为(-2,3);②当P,Q在直线AC异侧时,有yP-yM=yN-yQ.得到点M的坐标为(-2-6,3-6)或(-2+6,3+6).
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