等比数列及其前n项和

知 识 梳 理

1.等比数列的概念

(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数列叫做等比数列.

an

数学语言表达式：＝q(n≥2，q为非零常数).

an－12. 等比数列的通项公式

（1）若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn1； （2）通项公式的推广：an＝amqn等比数列的通项公式运用

【例1】1. 在等比数列{an}中，已知a1＝3，q＝－2，求a6＝ .

2. 在等比数列{an}中，已知a3＝20，a6＝160，求an＝ .

3. 已知等比数列{an}满足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a7＝ .

【训练1】(1)(2017·全国Ⅲ卷)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________.

a2（2）(2017·北京卷)若等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，则＝

b2________.

20

（3）若{an}为公比大于1的等比数列，a3＝2，a2＋a4＝，则{an}的通项公式为_______．

33.等比数列项的性质

（1）已知{an}是等比数列，若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝am·an.

（2）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm.

【例2】(1)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10

－m

－

.

＝( ) A.12

B.10

C.8

D.2＋log35

（2）(2019·菏泽质检)在等比数列{an}中，若a3，a7是方程x2＋4x＋2＝0的两根，则a5的值是( ) A.－2

B.－2

C.±2

D.2

【训练2】（1）数列{an}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.

（2）在各项均为正数的等比数列{an}中，若a3a5＝4，则a1a2a3a4a5a6a7＝______.

（3）已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝_____. 4.等比数列的前n项和公式

a1（1－qn）a1－anq等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.

1－q 1－q763

【例3】（1）等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝，S6＝，则a8＝

44________.

（2）等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝( ) A.9

S5

（2）设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.

S2

5.当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为qn.

【例4】已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝( ) A.40

B.60

C.32

D.50

B.15

C.18

D.30

【训练3】（1）设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q=________．

S6S9【训练4】（1）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝________.

S3S6

（2）设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于( ) 1

A. 8

1B.－

8

57C. 8

55D. 8

课堂练习：

1.已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3= A．16

B．8

C．4

D．2

2. 记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a11，S3

3，则S4=___________． 43.已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，4an13anbn4，4bn13bnan4. （1）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列； （2）求{an}和{bn}的通项公式.

4.已知{an}是各项均为正数的等比数列，a12,a32a216. （1）求{an}的通项公式；

（2）设bnlog2an，求数列{bn}的前n项和．

课时作业

一、选择题

1.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( ) A.8

2.(2019·太原模拟)已知公比q≠1的等比数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，S3＝3a3，则S5＝( ) A.1

B.5

31C. 48

11D. 16

B.9

C.10

D.11

3.(2017·全国Ⅱ卷)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( ) A.1盏

B.3盏

C.5盏

D.9盏

a－

4.(2019·深圳一模)已知等比数列{an}的前n项和Sn＝a·3n1＋b，则＝( )

bA.－3 二、填空题

5. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝________.

a13＋a141

6.等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，a3，2a2成等差数列，则＝________.

2a14＋a15

a2n＋1

7.(2018·成都诊断)已知数列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，则其前9项的和S9

an＝________. 三、解答题

8.(2018·全国Ⅲ卷)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.

(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.

B.－1

C.1

D.3