高等数学基本公式整理(级数部分)--

常数项级数：

1qn等比数列：1qqq1q(n1)n等差数列：123n2111调和级数：1是发散的23n

2n1级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：limnun，则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛U设：limn1，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n

交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理：unun1如果交错级数满足su1,其余项rn的绝对值rnun1。limu0，那么级数收敛且其和nn

绝对收敛与条件收敛：

(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1u2u3un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；1　　级数：n2收敛；ｐ１时发散1　　p级数：　　npp1时收敛

幂级数：

1x1时，收敛于1x1xx2x3xn　　x1时，发散对于级数(3)a0a1x　a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定10时，R求收敛半径的方法：设liman1，其中an，an1是(3)的系数，则0时，Rnan时，R0

函数展开成幂级数：

f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2!n!f(n1)()余项：Rn(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn0n(n1)!f(0)2f(n)(0)nx00时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xxx2!n!

一些函数展开成幂级数：

m(m1)2m(m1)(mn1)nxx　　　(1x1)2!n!x3x5x2n1n1sinxx(1)　　　(x)3!5!(2n1)! (1x)m1mx欧拉公式：

eixeixcosx2eixcosxisinx　　　或ixixsinxee2

三角级数：

a0f(t)A0Ansin(ntn)(ancosnxbnsinnx)2n1n1其中，a0aA0，anAnsinn，bnAncosn，tx。正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[,]上的积分＝0。

傅立叶级数：

a0f(x)(ancosnxbnsinnx)，周期22n11(n0,1,2)anf(x)cosnxdx　　　其中b1f(x)sinnxdx　　　(n1,2,3)n112122835　111224224262正弦级数：an0，bn余弦级数：bn0，an11121222（相加）623411121222（相减）12234f(x)sinnxdx　　n1,2,3　f(x)b02nsinnx是奇函数20f(x)cosnxdx　　n0,1,2　f(x)a0ancosnx是偶函数2

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

a0nxnxf(x)(ancosbnsin)，周期2l2n1lll1nxaf(x)cosdx　　　(n0,1,2)nlll其中lb1f(x)sinnxdx　　　(n1,2,3)n

lll