西北大学学报（自然科学版） ２０１３年２月，第４３卷第１期，Ｆｅｂ．，２０１３，Ｖｏ１．４３，Ｎｏ．１ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｎｏａｈｗｅｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） 一种基于并不可约元的建格新方法 万青，魏玲，李涛 （西北大学数学系，陕西西安７１０１２７） 摘要：目的研究形式背景的建格问题。方法 由形式背景中对象集的每一个等价类所拥有的属 性子集之间的包含关系出发构建Ｈａｓｓｅ图。结果 由此Ｈａｓｓｅ图可直接得到形式背景的概念格和 面向属性概念格的并稠密子集。结论提出的方法能较快速地找到概念格和面向属性概念格的并 稠密子集，进一步利用并不可约元的性质得到全部的概念。 关键词：形式背景；Ｈａｓｓｅ图；并稠密；并不可约元；概念格 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００－２７４Ｘ（２０１３）０ｌ－００１０－０５ 中图分类号：ＴＰＩ８ Ａ ｎｅｗ ｍｅｔｈｏｄ ｏｆ ｂｕｉｌｄｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｊｏｉｎ—ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ＷＡＮ Ｑｉｎｇ，ＷＥＩ Ｌｉｎｇ，ＬＩ Ｔａｏ （Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｎｏｒｔｈｗｅｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉ ａｎ ７１０１２７，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｉｍ ＴＯ ｓｔｕｄｙ ｔｈｅ ｂｕｉｌｄｉｎｇ ｌａｔｔｉｃｅ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｔｅｘｔ．Ｍｅｔｈｏｄｓ Ｔｈｅ Ｈａｓｓｅ ｆｉｇｕｒｅ ｗａｓ ｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ ｉｎｃｌｕｓｉｏｎ ｒｅｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ａｔｔｒｉｂｕｔｅｓ ｏｗｎｅｄ ｂｙ ｅｖｅｒｙ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ ｃｌａｓｓ ｉｎ ｔｈｅ ｏｂｊｅｃｔ ｓｅｔ ｏｆ ａ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｔｅｘｔ． Ｒｅｓｕｌｔｓ Ｔｈｅ ｊｏｉｎ－ｄｅｎｓｅ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔ ｌａｔｔｉｃｅ ａｎｄ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｒｉｅｎｔｅｄ ｃｏｎｃｅｐｔ ｌａｔｔｉｃｅ ｗｅｒｅ ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｏｂ— ｔａｉｎｅｄ ｆｒｏｍ ｔｈｅ Ｈａｓｓｅ ｆｉｇｕｒｅ．Ｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎ Ｔｈｅ ｊｏｉｎ—ｄｅｎｓｅ ｓｕｂｓｅｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｔｗｏ ｌａｔｔｉｃｅｓ ｗｅｒｅ ｒａｐｉｄｌｙ ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｓｏ ａｌｌ ｔｈｅ ｃｏｎｃｅｐｔｓ ｗｅｒｅ ｆｏｕｎｄ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｔｈｅ ｐｒｏｐｅｒｔｙ ｏｆ ｊｏｉｎ—ｉｒｒｅｄｕｃｉｂｌｅ ｅｌｅｍｅｎｔｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｔｅｘｔ；Ｈａｓｓｅ ｆｉｕｒｅ；ｊｇｏｉｎ—ｄｅｎｓｅ；ｊｏｉｎ—ｉｒｅｄｕｃｉｂｌｅ；ｃｏｎｃｅｐｔ ｌａｔｔｉｃｅ 德国数学家Ｗｉｌｌｅ Ｒ．于１９８２年首先提出了形 式概念分析¨Ｊ，它是一种基于概念和概念层次的数 据比较完整的情况下，依据形式背景初次构造概念 格的一种更有效的方法，它主要分为枚举、自顶向下 和自底向上这三种算法 Ｊ。此外，还有将大背景 横向拆分为若干小形式背景，再将各小形式背景的 学化的表达，是一种处理不确定性数据的工具。目 前，已被广泛应用于许多领域之中。 概念格揭示了概念之间的泛化和特化关系，并 通过Ｈａｓｓｅ图直观体现使得概念格更好地应用于实 际当中。然而随着科技的发展，信息量变得越来越 概念格进行横向合并，从而构建出相应的原形式背 景概念格的方法 Ｊ。由一个形式背景出发，可以通 过划分构建经典的概念格，也可以从交并不可约元 出发构建概念格。本文就是一种利用并不可约元建 多，也越来越复杂，如何从大量信息中提取有效且能 被人们所利用的知识，已成为一个热门话题。为了 格的方法，首先是从对象集的每一个等价类所拥有 的属性子集之间的包含关系出发，构造相应的 Ｈａｓｓｅ图，从而可以直接得到概念格和面向属性概 更好地解决此类问题，就需要准确地提取有效信息， 快速建格。因此，概念格的构造就变的尤为重要。 目前，已提出的概念格构造方法主要有两种：增量算 法与批处理算法。增量算法是在数据信息不确定或 不完整的情况下，当有少量数据变动时，对已经构造 念格的一个并稠密子集，进一步利用并不可约元的 性质，便可得到所有的概念和面向属性概念。 的概念格进行更新和维护 收稿日期：２０１２－０４—１０ ；批处理算法是在数 基金项目：国家自然科学基金资助项目（１１０７１２８１；６０７０３１１７）；西北大学研究生创新基金资助项目（ＹＺＺ１２０６４） 作者简介：万青，女，陕西西安人，从事人工智能研究。 第１期 万青等：一种基于并不可约元的建格新方法 定义３ｌ１。。 设 是格，若满足下列条件，则称 １ 预备知识 定义１ｌ７ 称（Ｇ，Ｍ，，）为一个形式背景，其中 Ｇ＝｛ｇ 一，ｇ ｝为对象集，每个ｇ （ｉ≤ｔ）称为一个 ∈ 是并不可约元 １） ≠０（如果 有零元）； ２） ＝０ Ｖ ｂ＝ ＝０ ￡ ＝６（口，６∈Ｌ）。 用．，（￡）表示并不可约元的集合。 对象；Ｍ＝｛ｍ 一，ｍ ｝为属性集，每个ｍ （ ≤ｓ） 称为一个属性；，为Ｇ和 之间的二元关系，， Ｇ 定义４＿ｌ。。Ｐ是偏序集，Ｑ Ｐ，若Ｖ口∈Ｐ，存 在 Ｑ，使得口＝Ｖ Ａ，则称Ｑ是Ｐ的并稠密子集。 定理１【１ｏ１ 设 是一有限格，，Ｊ中的任意元素 ×Ｍ。若（ｇ，ｍ）∈，，则称ｇ具有属性ｍ，用ｇｌｍ表 示。 对于形式背景（Ｇ， ，，），在对象集Ａ Ｇ和属 性集Ｂ 上分别定义运算： Ａ ：｛ｍ Ｉ Ｖ ｍ∈Ｍ，Ａ ｍ ｝， Ｂ ＝｛ｇ ｌ Ｖｇ∈Ｇ，Ｂ ｇ ｝； Ａ。＝｛ｍ Ｉ Ｖ ｍ∈Ｍ，ｍ ＩＡ≠（２ｊ｝， Ｂｕ＝｛ｇ ｌ Ｖｇ∈Ｇ，ｇ Ｂ｝。 Ｖ Ｄ Ｍ，记Ｉｏ＝，ｎ（Ｇ Ｄ），对于运算Ａ ， 在（Ｇ，Ｄ，，。）下用Ａ 来表示。 Ｖｇ∈Ｇ，记｛ｇ｝ 为ｇ ；Ｖ ｍ∈Ｍ，记｛，ｎ｝ 为Ｉｎ， 。若Ｖｇ∈Ｇ，ｇ ≠（２ｊ，ｇ ≠Ｇ，且Ｖ ｍ∈Ｍ， ｍ ≠（２ｊ，ｍ ≠ ，则称形式背景（Ｇ， ，，）是正则 的。本文提到的形式背景都是正则的。 对二元关系，，定义其补关系，。＝｛（ｇ，ｍ）Ｉ （ｇｌｍ）｝则形式背景（Ｇ，Ｍ，， ）是（Ｇ，Ｍ，，）的补 形式背景 Ｊ。 设（Ｇ，Ｍ，，）是形式背景，对Ａ Ｇ，Ｂ Ｍ，若 满足Ａ ＝Ｂ且Ａ＝Ｂ ，则称（Ａ， ）是一个形式概 念，简称概念；其中Ａ称为概念的外延， 称为概念 的内涵。形式背景（Ｇ，Ｍ，，）的全体概念记为Ｌ（Ｇ， ，，）；Ｖ（Ａ。，Ｂ ），（Ａ２，Ｂ２）∈Ｌ（Ｇ，Ｍ，，），定 义： （ 。， ）＾（／４ ， ）＝（Ａ ｎ Ａ２，（Ｂ Ｌ．Ｊ Ｂｚ） ）， （Ａ ， 。）Ｖ（Ａ２，Ｂ２）＝（（Ａ ｕ Ａ：） ， ｎ ）， 则Ｌ（Ｇ，Ｍ，，）是完备格，称为概念格。 若满足Ａ。＝Ｂ且Ａ＝Ｂ口，则称（Ａ，曰）是一个 面向属性概念，全体面向属性概念记为￡ （Ｇ，Ｍ， ，）；Ｖ（Ａ ，Ｂ ），（Ａ：， ：）∈Ｌ （Ｇ，Ｍ，，），定义 （ 。，Ｂ ）八（Ａ２，Ｂ２）＝（Ａ Ｎ Ａ２，（Ｂ ｎ Ｂ：）ｕ ）， （Ａ ，Ｂ ）Ｖ（Ａ ， ：）＝（（Ａ ｕ ２） ｕ， ｕ ） 则 （Ｇ，Ｍ，，）也是完备格，称为面向属性概念 格 。 Ｌ（Ｇ，Ｍ，，）和Ｌ （Ｇ，Ｍ，，）中的偏序关系为 （ １，Ｂ１）≤（Ａ２，Ｂ２）甘Ａ１ Ａ２。 定义２＿９ 设（Ｇ， ，，）为形式背景，称（ｇ～， ｇ ）为对象概念。 可表示成某些并不可约元的并。 ２ 基于并不可约元的建格方法 ２．１ 基本定义与性质 设（Ｇ，Ｍ，，）是形式背景，记 Ｒ＝｛（ｇ ，ｇ，）ｌ ｇ ＝ｇ ，Ｖｇ ，ｇ ∈Ｇ｝， Ｈ＝｛（［ｇ］Ｒ，ｇ ）ｌ Ｖｇ∈Ｇ，［ｇ］Ｒ∈Ｇ／Ｒ｝。 显然，尺是Ｇ上的等价关系。定义（［ｇ ］ ， ｇｌ ） （［ｇ２］Ｒ，ｇ２ ）甘ｇ１ ｃ ｇ２ ，则“ ”为日 上的偏序关系。因此可以得到Ｈａｓｓｅ图（ ， ）。 图１ （Ｈ， ） Ｆｉｇ．１（Ｈ， ） 例１［ 表１是形式背景（Ｇ，Ｍ，，），其中Ｇ＝ １，２，３，４，５，６｝，Ｍ＝｛口，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ｝。 表１形式背景（Ｇ，Ｍ。，） Ｔａｂ．１ Ｔｈｅ ｆｏｒｍａｌ ｃｏｎｔｅｒｓｔ（Ｇ。 ，，） ａ ｂ ｅ ｄ ｅ × × × × × × 其概念格与面向属性概念格分别如图２、图３ 所示。为简便起见，本文中内涵与外延皆用相应集 合的元素序列表示。 ／／＼＼ 广、、＼／一，１ ｌ＝＝＝ ＼＼／ 图２ Ｌ（Ｇ，Ｍ，，） Ｆｉｇ．２ Ｌ（Ｇ，Ｍ，，） 西北大学学报（自然科学版） 第４３卷 （Ｇ，Ｍ） 也 迥＼＼ （锄 图３ Ｌ （Ｇ，Ｍ， ） Ｆｉｇ．３ Ｌ （Ｇ，Ｍ，，） 在表１形式背景（Ｇ，Ｍ，，）中， Ｇ／Ｒ＝｛｛１｝，｛２｝，｛３，４｝，｛５｝，｛６｝｝， 曰＝｛（１，ａｃｄｅ），（２，ａｃ），（３４，ｂｅ），（５，口）， （６，ａｂｅ）｝。 定义５ 设（Ｇ，Ｍ，，）是形式背景，ＶＢ ｃ Ｍ，定 义二元关系：ＲＢ ：｛（ ，ｇｆ）∈Ｇ×Ｇ ｌ毋枷 ｇｆ枷 且Ｉ ｇ Ｉ—Ｉ ｇ Ｉ≤ｎ，０≤ｎ≤Ｉ Ｂ Ｉ｝，称ＲＢ 是 Ｇ上的ｎ一尺度关系。显然Ｒ 是自反的。记 ［ｇ］Ｂｎ－＝｛ｇ ∈Ｇ Ｉ（ｇ ，ｇ）∈ＲＢ ｝， ［ｇ］Ｂｎ＋＝｛ｇ，∈Ｇ Ｉ（ｇ，ｇｆ）Ｅ Ｒ ｝， 则［ｇ］ ｒｉ－，［ｇ］。 分别称为ｇ的ｎ一左邻域集和ｎ一右 邻域集。 注 当Ｂ＝Ｍ，ｎ＝０时，则 为Ｇ在 上 的等价关系，相应的等价类记为［ｇ］ 。 性质１ 设（Ｇ， ，，）是形式背景，对象ｇ∈Ｇ 的两个邻域［ｇ］ 和［ｇ］ （ ｃ Ｍ，０≤ｎ≤Ｉ Ｉ） 有以下性质： １）Ｖｇ∈Ｇ，有［ｇ］口 ［ｇ］口 ＋１卜，［ｇ］８ ［ｇ］口 “ 。 ２）Ｖｇ ，ｇｆ∈Ｇ，若ｇ ∈［ｇｆ］Ｂ ，有ｇ ∈ ［ｇ ］ 。 ３）Ｖｇ ，ｇ ∈Ｇ，若［ｇ ］Ｒ＝［ｇｆ］Ｒ，贝０［ｇ ］ 一 ＝［ｇ ］Ｂ 一，［ｇ ］Ｂ ＝［ｇ ］口 。 ４）Ｖｇ∈［ｇｆ］ ，若ｇ∈［ｇ ］ ｒｉ－，则［ｇｚ］ ［ｇ ］ ｌｉ－；Ｖｇ∈［ｇ ］ ，若ｇ∈［ｇ ］ ，贝０［ｇ ］ ［ｇ ］ ”。 ５）Ｖｇ∈Ｇ，Ｂ ｃ ｇ，［ｇ］ ｒｉ－ ［ｇ］ ｒｉ－， ［ｇ］肼 ［ｇ］ 。 ６）假设形式背景（Ｇ， ，ｒ）是（Ｇ， ，，）的补形 式背景，则［ｇ］ ｒｉ－＝［ｇ ］ ，ｇ 和ｇ是同一个对 象， 特指的是（Ｇ，Ｍ，ｉｃ）中的对象。 证明 性质１），２），３）由定义５易证。下面 证明性质４）。 设［ｇｆ］Ｒ＝｛ｇ ，ｇ：，…，ｇ ｝，假设ｇ ∈ ［ ］ ｎ－，由定义５知ｇ 柚 ，而ｇ ＝ｇ：蚰 ＝…＝ｇ ，所以ｇ，邶 ｇ ，ｒ＝１，２，…，ｍ。 因此ｇ，∈［ｇ ］。 （ｒ＝１，２，…，ｍ），从而有［ｇ ］ ［ｇ ］ 。类似地，可以证明［ｇｆ］ ［ ］ ”。 ５）因为Ｂ ｃ Ｍ，则有 肼 尺 ，因此可得 ［ｇ］肘ｎ－ ［ｇ］ ｎ－，［ｇ］Ｍｎ＋ ［ｇ］ ”。 由定义５和补背景的定义可以得到性质６）的 证明。 根据性质１中的３），４），５），结合Ｈａｓｓｅ图（ ， ），可以将定义１扩展到Ｇ的商集Ｇ／Ｒ上。 定义６ 设（Ｇ， ，，）是形式背景，ＶＢ ｃ Ｍ， Ｇ／Ｒ＝｛ｃ。，ｃ：，…，ｃ ｝（下是个指标集），定义二元 关系： 尺口 ＝｛（Ｃ ，ｃ ）∈Ｇ／Ｒ×Ｇ／Ｒ Ｉ ｃ 蚰 ｃｊ 且 ｌ Ｃ 蚰ｌ—Ｉ Ｃ 柚ｌ≤ｎ，０≤ｎ≤１ ｌ｝（ｉ， ＝１，２， …，下），称Ｒ “是Ｇ／Ｒ上的ｎ－尺度关系。记 ［ｃ］Ｂｎ－＝ｕ｛Ｃ ∈Ｇ／Ｒ ｌ（ｃ ，Ｃ）∈Ｒ ｝， ［Ｃ］Ｂｎ＋＝ｕ｛Ｃ Ｇ／Ｒ Ｉ（Ｃ，Ｃ ）∈Ｒ ｝， 则［ｃ］ ，［ｃ］ ”分别称为ｃ的ｎ一左邻域集和ｎ一 右邻域集。 需要注意的是，当Ｂ＝Ｍ时，相应的有Ｏ≤ｎ ≤Ｉ Ｉ一２（因为这里规定的形式背景是正则的）。 由于后面的内容都是在Ｂ＝Ｍ的情况下讨论的，所 以为了读写方便，简记［ｇ］Ｍ 和［ｇ］Ｍｎ＋分别为 ［ｇ］ 和［ｇ］”，［Ｃ］肼ｎ－和［Ｃ］Ｍｎ＋分别为［ｃ］ 和 ［ｃ］ 。 ２．２ 建格理论与方法 在定义５下，得到下面定理２的结论。 定理２ 设（Ｇ，Ｍ，ｊ）是形式背景，当ｎ＝Ｉ Ｍ ｌ一２时，有［ｇ］ ＝ｇ～，［ｇ］ ＝ｇ。口。 证明 １）当ｎ＝ｌ ＭＩ一２时，设［ｇ］”：｛ｇ。， ｇ：，…，ｇ ｝，贝０有ｇ ｇ （ｔ＝１，２，…， ）。Ｖ ｇｏ ∈ｇ’ ，有ｇ ｇ０ ，因此ｇｏ∈［ｇ］ ，所以ｇ ［ｇ］”；Ｖ ｇ。∈［ｇ］”，有ｇ ｇｏ ，因此ｇ” ｇ０一，而ｇｏ∈ｇ０～，所以ｇｏ∈ｇ 。因此有 ［ｇ］” ｇ 。 ２）因为Ｖｇ∈Ｇ有ｇ ＝ｇ。，所以ｇ ＝ ｇ～。因此当 ＝Ｉ Ｉ一２时，同上可证得［ｇ］ ＝ ｇ 口＝ｇｏ口。 此定理说明ｎ＝ｌ ｌ一２时，（［ｇ］ ，ｇ ）是形 式背景（Ｇ， ，，）的概念，且是对象概念；（［ｇ］ ， ｇ ）是形式背景（Ｇ， ，，）的面向属性概念。记Ｑ。 ＝｛（［ｇ］ ，ｇ ）Ｉ ｇ∈Ｇ，ｎ＝Ｉ Ｉ一２｝，Ｑ ＝ ｛（［ｇ］ 一，ｇ ）Ｉ ｇ∈Ｇ，ｎ＝Ｉ Ｉ一２｝，贝０ Ｑ （Ｇ， ，，），Ｑ： Ｌ （Ｇ，Ｍ，，）且Ｑ。＝｛（ｇ ，ｇ ） 第１期 万青等：一种基于并不可约元的建格新方法 Ｉ Ｖｇ∈Ｇ｝，Ｑ２＝｛（ｇ。口，ｇ。）Ｉ Ｖｇ∈Ｇ｝。 由定理２的证明易得下述结论。 引理１［加 设（Ｇ，Ｍ，，）是形式背景，则有 ．，（￡） Ｑ ，Ｊ（Ｌ ） Ｑ：。 引理１表明，Ｑ 和Ｑ：是概念格和面向属性概 念格的并稠密子集，即概念格的每个元素都可以表 示成Ｑ 中某些元素的并，面向属性概念格的每个元 素都可以表示成Ｑ 中某些元素的并，因此由Ｑ 和 Ｑ 便可以得到所有的概念。 类似地，在定义６下，可以得到下面定理３的结 论。 定理３ 设（Ｇ，Ｍ，，）是形式背景，ＶＣ ，ｃｊ∈ Ｇ／Ｒ，令 ｃ＝ｔ．Ｊ｛ｃ ｆ Ｃ ｃ ，Ｖ Ｃ∈Ｇ／Ｒ｝，Ａｃ ＝ｕ｛ Ｊ ｃ Ｃ ，Ｖ Ｃ∈Ｇ／Ｒ｝，则有Ｘ ＝ｇ ， Ａｃ＝ｇ～。 证明 由性质１的３）和４）、定义６和定理２ 便可得到证明。 全体 。的集合记为Ｅ，全体Ａ。的集合记为Ｆ， 令Ｋ。＝｛（ ｃ，ｙ）ｌ Ｘｃ∈Ｅ，Ｙ＝ｇ ｝，Ｋ２＝｛（ＡＧ， 曰）ｌ Ａｃ∈Ｆ，Ｂ＝ｇ ｝，由定理３可知 Ｌ（Ｇ， ，，）， （Ｇ，Ｍ，，）。 因此，由定理２和定理３可得Ｋ ＝Ｑ ， ＝ Ｑ 。所以 和 就是 （Ｇ， ，，）和 （Ｇ， ，，）的 并稠密子集，再根据定理１，由 和 出发便可找 到所有的概念和所有的面向属性概念，从而得到 （Ｇ，Ｍ，，）和 （Ｇ， ，，）。 例２（续例１）对表１的形式背景（Ｇ，Ｍ，，）， 全体对象的 －左邻域集 凡＝１：［１］卜＝｛１｝，［２］卜＝｛２，５｝，［３］卜 ＝｛３，４｝，［４］卜＝｛３，４｝，［５］卜＝｛５｝，［６］卜＝ ｛３，４，６｝。 ｎ：２：［１］ ＝｛１，２｝，［２］ ＝｛２，５｝，［３］。一 ＝｛３，４｝，［４］ ＝｛３，４｝，［５］ ＝｛５｝，［６］ ＝ ｛３，４，５，６｝。 ＝３：［１］ ＝｛１，２，５｝，［２］ ＝｛２，５｝， ［３］ ＝｛３，４｝，［４］ ＝｛３，４｝，［５］ ＝｛５｝， ［６］ ＝｛３，４，５，６｝。 全体对象的ｎ一右邻域集 ｎ：１：［１］¨＝｛１｝，［２］¨＝｛２｝，［３］ ＝ ｛３，４，６｝，［４］ ＝｛３，４，６｝，［５］ｈ＝｛２，５｝， ［６］ ：｛６｝。 ＝２：［１］ ＝｛１｝，［２］¨＝｛１，２｝，［３］２＋ ＝｛３，４，６｝，［４］ ＝｛３，４，６｝，［５］ ＝｛２，５，６｝， ［６］ｎ＝｛６｝。 ｎ＝３：［１］¨＝｛１｝，［２］¨＝｛１，２｝，［３］ ＝｛３，４，６｝，［４］ ＝｛３，４，６｝，［５］¨＝｛１，２，５， ６｝，［６］¨＝｛６｝。 Ｃ，／Ｒ＝｛Ｃ１，ｃ ，ｃ３， ，ｃ５｝，其中Ｃ ＝｛１｝，ｃ２ ＝｛２｝，Ｃ，＝｛３，４｝，Ｃ ＝｛５｝，Ｃ ＝｛６｝。 全部等价类的ｒｔ，一左邻域集 ｎ＝１：［ｃ ］卜＝｛１｝，［Ｃ ］卜＝｛２，５｝， ［ｃ。］卜＝｛３，４｝，［ ］卜＝｛５｝，［ｃ ］卜＝｛３，４， ６｝。 凡＝２：［Ｃ。］ ＝｛１，２｝，［ｃ ］ ＝｛２，５｝， ［ｃ ］ ＝｛３，４｝，［ｃ４］ ＝｛５｝，［ｃ ］ ＝｛３，４， ５，６｝。 ｎ＝３：［ｃ ］ ＝｛１，２，５｝，［Ｃ ］ ＝｛２，５｝， ［ｃ，］ ＝｛３，４｝，［ ］ ：｛５｝，［ｃ ］ ＝｛３，４， ５，６｝。 全部等价类的ｎ一右邻域集 ＝１：［ｃ ］¨＝｛１｝，［ｃ：］¨＝｛２｝，［ｃ，］¨ ＝｛３，４，６｝，［ｃ ］¨＝｛２，５｝，［ｃ ］¨＝｛６｝。 ｎ＝２：［ｃ ］ ＝｛１｝，［ｃ ］ ＝｛１，２｝， ［ｃ ］ ＝｛３，４，６｝，［ ］“＝｛２，５，６｝，［ｃ ］ ＝ ｛６｝。 ：３：［ｃ ］¨＝｛１｝，［ｃ ］¨＝｛１，２｝， ［ｃ ］ ＝｛３，４，６｝，［ｃ４］ ＝｛１，２，５，６｝，［ｃ ］ ＝｛６｝。 由定理２可得Ｑ。，Ｑ 分别为 Ｑ。＝｛（１，ａｃｄｅ），（１２，０ｃ），（３４６，ｂｅ），（１２５６， 口），（６，ａｂｅ）｝； Ｑ：＝｛（１２５，ａｃｄｅ），（２５，ｎｃ），（３４，ｂｅ），（５， ０），（３４５６，ａｂｅ）｝。 由定理３可得 Ｋ ＝｛（１，ａｃｄｅ），（１２，Ｏ；Ｃ），（３４６，ｂｅ），（１２５６， ０），（６，ａｂｅ）｝； ＝｛（１２５，ａｃｄｅ），（２５，口ｃ），（３４，ｂｅ），（５， ０），（３４５６，ａｂｅ）｝。 事实上，结合Ｈａｓｓｅ图（日， ）和定义６可直接 得到 和 。这里 Ｅ＝｛｛１｝，｛１２｝，｛３４６｝，｛１２５６｝，｛６｝｝，Ｆ＝ ｛｛１２５｝，｛２５｝，｛３４｝，｛５｝，｛３４５６｝｝。 由Ｋ 可以得到 （Ｇ， ，，）中的所有概念： （１，ａｃｄｅ），（１２，。ｃ），（３４６，ｂｅ），（１２５６，０）， （６，ａｂｅ），（１３４６，ｅ），（１６，口ｅ），（Ｇ，（２ｊ），（（２ｊ，Ｍ）； 由 可以得到 （Ｇ， ，，）中的所有概念： （１２５，ａｃｄｅ）， （２５，口ｃ）， （３４，６ｅ）， （５，ｎ）， （３４５６，ａｂｅ），（２３４５６，ａｂｃｅ），（Ｇ， ），（（２ｊ， ）。 一１４一 西北大学学报（自然科学版） 第４３卷 ・学术动态・ 西北大学举行中国科学院院士学术报告 ８月１０日，中国科学院院士周其林、涂永强应邀来西北大学进行学术访问，分别作了题为“手性螺环催 化剂及其不对称催化反应”和“Ｒｅａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ Ｒｅａｃｔｉｏｎｓ ｆｏｒ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ ｏｆ Ｑｕａｔｅｒｎａｒｙ Ｃａｒｂｏｎ ａｎｄ Ｓｙｎｔｈｅｓｉｓ ｏｆ Ｎａｔｕｒａｌ Ｐｒｏｄｕｃｔ”的学术报告。报告会在太白校区举行，王尧宇副校长、学校相关部门和院系负责人参会，近 百名师生聆听了报告。 两位院士从不同方面介绍了自己在科研工作上的思路和方法。来自南开大学的周其林院士介绍了手性 螺环配体在不对称催化中的应用，主要包括在一些创新手性药物的关键合成步骤中的应用，以及一类新颖的 手性螺环一铁催化体系在杂原子的不对称插入反应中取得的优异催化效果。来自兰州大学的涂永强院士重 点介绍了通过重排反应构筑多官能化季碳的新策略，以及将该策略应用到具有复杂多环结构的天然产物全 合成中的情况。两位院士结合各自的学术报告，与师生们亲切地交流了自己从事科研工作的心得体会，深入 浅出地强调了创新的重要性，鼓励大家做科研时要善于进行发散性思维，勇于尝试和创新，不要惧怕困难和 失败。在座师生踊跃发言，与两位院士积极互动，表示受益匪浅。 （薛鲍）
