第1章1.3.3知能优化训练

1

1．已知α是三角形的一个内角，且sinα＝，则角α等于( )

2

ππA. B. 635ππ2ππC.或 D.或 6633解析：选C.∵α是三角形的一个内角， ∴0＜α＜π，

1

∵sinα＝，

2π5π∴α＝或. 66

3

2．已知cosx＝，π2

7π4πA. B. 635π11πC. D. 36

3

解析：选D.∵cosx＝，π2311π

∴x＝2π－arccos＝. 26

3．满足tanx＝－1的x的集合是( )

ππ

A．{x|x＝} B．{x|x＝kπ＋，k∈Z}

44

ππ

C．{x|x＝2kπ－，k∈Z} D．{x|x＝kπ－，k∈Z}

44

πππ

解析：选D.∵tanx＝－1，∴在(－，)内x＝－，

224

π

∴x＝kπ－，k∈Z.

413

4．arcsin(－)＋arctan＝________.

231π

解析：arcsin(－)＝－，

26

3π

arctan＝，

36

13

∴arcsin(－)＋arctan＝0.

23

答案：0 一、选择题

1π

1．若sinx＝，x∈(，π)，则x等于( )

3211

A．arcsin B．π－arcsin

33

π11C.＋arcsin D．－arcsin 233

1π111

解析：选B.∵π－arcsin∈(，π)，且sin(π－arcsin)＝，∴x＝π－arcsin.

32333

1

2．(2011年大庆高一检测)设cosα＝－，α∈(0，π)，则α的值可表示为( )

6

11

A．arccos B．－arccos 6611

C．π－arccos D．π＋arccos 66

1111

解析：选C.∵π－arccos∈(0，π)，且cos(π－arccos)＝－cos(arccos)＝－，

6666

1

∴α＝π－arccos.

631

arcsin－arccos－

22

3.的值等于( )

arctan－31A. B．0 2

1

C．1 D．－

2

3π12ππ

解析：选C.∵arcsin＝，arccos(－)＝，arctan(－3)＝－，

23233

π2ππ－－333

∴原式＝＝＝1.

ππ－－333π

4．若x∈[0，]，则使等式cos(πcosx)＝0成立的x的值是( )

2

ππ4πA. B.或 333π2ππ2π4πC.或 D.或或 33333答案：D

5．给出下列等式

π1πππ11

①arcsin＝1 ②arcsin(－)＝－ ③arcsin(sin)＝ ④sin(arcsin)＝

2263322

其中正确等式的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4

π

解析：选C.①arcsin无意义；②③④正确．

2π3

6．若tan(2x＋)＝，则在区间[0,2π]上解的个数为( )

33

A．5 B．4 C．3 D．2

π3ππ

解析：选B.∵tan(2x＋)＝，∴2x＋＝＋kπ

3336

ππkπ

∴2x＝－＋kπ，∴x＝－＋(k∈Z)，

61225π11π17π73π

∴x＝或x＝或x＝或x＝，共4个．

12121212二、填空题

π

7．方程2cos(x－)＝1在区间(0，π)内的解是________．

4

ππ1

解析：∵2cos(x－)＝1，∴cos(x－)＝，

442ππ3πππ

∵x∈(0，π)，∴x－∈(－，)，∴x－＝，

44443

7π∴x＝. 127π答案： 12π

8．若x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，其中α∈(0,2π)，则角α＝________.

3π

解析：∵x＝是方程2cos(x＋α)＝1的解，

3ππ1

∴2cos(＋α)＝1，∴cos(＋α)＝. 332

ππ7π

∵α∈(0,2π)，∴α＋∈(，)，

333

π5π4π∴α＋＝，∴α＝.

3334π答案： 39．函数y＝3－2x＋π－arccos(2x－3)的定义域是________．

3－2x≥0

解析：要使函数有意义，需有：，

－1≤2x－3≤1

3

解得：1≤x≤.

23

答案：[1，]

2

三、解答题

210．已知tanx＝－1，且cosx＝，求x的取值集合．

22

解：∵tanx＝－1<0，且cosx＝>0，

2π

∴x是第四象限角，即2kπ－2

π

∵2

又cos(x－2kπ＋π)＝cos(x＋π)＝－cosx＝－(k∈Z)，

2

2

∴x－2kπ＋π＝arccos(－)(k∈Z)，

2

3ππ

即x＝2kπ－π＋＝2kπ－(k∈Z)．

44

π

∴x的取值集合为{x|x＝2kπ－，k∈Z}．

4π

11．已知函数f(x)＝2sin(2x－)＋1，

3

(1)求函数y＝f(x)的最大值、最小值以及相应的x值； (2)若x∈[0,2π]，求函数y＝f(x)的单调增区间； (3)若y>2，求x的取值范围．

ππ5π

解：(1)当2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋，k∈Z时，函数y＝f(x)取得最大值为3；

3212

πππ

当2x－＝2kπ－，即x＝kπ－，k∈Z时，函数y＝f(x)取得最小值为－1.

3212

πππππππ

(2)令T＝2x－，则当2kπ－≤T≤2kπ＋，即2kπ－≤2x－≤2kπ＋，也即kπ－

32223212

5π

≤x≤kπ＋(k∈Z)时，函数y＝2sinT＋1单调递增，

12

5π11π17π23π

又x∈[0,2π]，∴函数y＝f(x)的单调增区间为[0，]，[，]，[，2π]．

12121212

ππ1ππ5π

(3)∵y＝2sin(2x－)＋1>2，∴sin(2x－)>，从而2kπ＋<2x－<2kπ＋(k∈Z)，∴kπ

332636

π7ππ7π

＋解：∵sin(180°－A)＝2cos(B－90°)， ∴sinA＝2sinB.①

又3cosA＝－2cos(180°＋B)， ∴3cosA＝2cosB，②

①2＋②2得cos2A＝1

2，

即cosA＝±2

2

.

∵A∈(0，π)，∴A＝π3π

4或4

.

(1)当A＝π4时，有cosB＝3

2

，

又B∈(0，π)，∴B＝π7π

6，C＝12

.

(2)当A＝3π

4

时，

3cos

3π由②得cosB＝42＝－3

2<0，

可知B为钝角，在一个三角形中不可能出现两个钝角，此种情况无解．综上，可知A、B、C的大小分别为ππ7π

4，6，12

.