人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题(含答案) (59)

练习题（含答案)

如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F,∠ACE=45°， 求证：BE=EF.

【答案】见解析 【解析】 【分析】

根据已知条件证明△AEF≌△CEB即可求解； 【详解】

解：∵CE⊥AB，∠ACE=45° ∴△AEC为等腰直角三角形， △AE=CE, ∵AD⊥BC

∴∠CFD+∠FCD=∠AFE+∠EAF=90°， △∠CFD=∠AFE， △∠FCD=∠EAF 又△△AEF=△CEB=90°， △△AEF≌△CEB，

∴BE=EF. 【点睛】

此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等腰直角三角形的性质.

82．如图，在平面直角坐标系中，0为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(m，0)、B(0，n)，且｜m-n-3｜+2n6=0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P运动时间为t秒.

(1) 求OA、OB的长.

(2) 连接PB，若△POB的面积为3，求t的值.

(3) 过P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与y轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）OA=6，OB=3；（2）若△POB的面积为3，则t的值为4或8；（3）存在这样的点P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9．

【解析】 【分析】

（1）根据非负数的性质列方程求解即可；

（2）分两种情况：①当点P在线段AO上时，②当点P在线段AO的延长线上时，分别根据△POB的面积为3构造方程求解即可；

（3）当OP＝OB＝3时，分两种情况，画出符合条件的两种图形，可通过AAS证明两三角形全等，结合图形和全等三角形的性质即可得出答案．

【详解】

解：（1）∵mn32n60， ∴m-n-3=0，2n-6=0， 解得：n=3，m=6， ∴OA=6，OB=3； （2）分两种情况： ①当点P在线段AO上时，

∵AP=t， ∴PO=6-t， ∴△POB的面积＝解得：t=4；

②当点P在线段AO的延长线上时，

1(6t)33， 2

∵AP=t， ∴PO=t-6， ∴△POB的面积＝解得：t=8，

综上，若△POB的面积为3，则t的值为4或8； （3）当OP＝OB＝3时，分两种情况： ①如图：

∵∠BAO+∠APD=90°，∠APD=∠OPE，∠OPE+∠PEO=90°, ∴∠BAO=∠PEO，

又∵∠BOA=∠POE=90°，OP＝OB， ∴△EOP≌△AOB（AAS）， ∵OP＝OB＝3， ∴AP=6-3=3， ∴t=3，

1(t6)33， 2

②如图：同理可证△EOP≌△AOB（AAS），

∵OP＝OB＝3， ∴AP=6+3=9， ∴t=9，

即存在这样的点P，使△EOP≌△AOB，t的值是3或9． 【点睛】

本题考查了非负数的性质，坐标与图形，三角形面积计算，全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用，题目比较典型，但是有一定的难度，注意要进行分类讨论．

△ABC中，83．如图，AD⊥BC于点D，AD=DC，点F在AD上，AB=FC，BF的延长线交AC于点E.

(1)求证：△ABD≌△CFD． (2)求证：CF⊥AB．

【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】

（1）由已知可利用HL直接证明Rt△ABD≌Rt△CFD；

（2）由全等三角形的性质可得∠DCF=∠DAB，利用直角三角形两锐角互余，通过等量代换可求出∠DCF+∠ABD=90°，可得CF⊥AB.

【详解】

证明：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90°，

ADDC在Rt△ABD和Rt△CFD中，，

ABFC∴Rt△ABD≌Rt△CFD（HL）； （2）延长CF交AB于点G，

∵Rt△ABD≌Rt△CFD， ∴∠DCF=∠DAB， ∵∠DAB+∠ABD=90°， ∴∠DCF+∠ABD=90°， ∴∠BGC=90°，即CF⊥AB. 【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键.

84．在平面直角坐标系中，三角形△ABC为等腰直角三角形，AC=BC，BC交x轴于点D．

(1)若A(-4，0)，C(0，2)，求点B的坐标；

(2)若∠EDB=∠ADC，问∠ADE与∠CAD满足怎样的关系？并证明.

(3)若AD平分∠BAC，A(-4，0)，D(m，0)，B的纵坐标为n，试探究m、n之间满足怎样的关系？

【答案】（1）（2，-2）；（2）∠ADE=2∠CAD；（3）（4+n）2=4m 【解析】 【分析】

（1）作BE垂直于y轴于点E，证明△ACO≌△CBE，再通过A，C的坐标∠ADC为△ADB的外角，∠AFD求出B点坐标即可；（2）则∠ADC=∠B+∠DAB，

是△DFB的外角，∠AFD=∠B+∠EDB，再通过角度转换得到△ADE与△CAD的关系即可（3）作BE垂直于y轴于点E，证明△ACO≌△CBE，再由AD为角平分线，则△COD△△AOH，通过相似比列出m，n的关系式即可.

【详解】

（1）作BE垂直于y轴于点E，

∵∠ACO+∠ECB=90°，∠ACO+∠CAO=90°， ∴∠CAO=∠BCE， 在△ACO和△CBE中

COA=BECOAC=ECB AC=CB∴△ACO≌△CBE（AAS） ∵A(-4，0)，C(0，2)， ∴BE=CO=2，CE=AO=4， ∴OE=2，

∴点B的坐标为（2，-2）；

（2）AB，ED的交点记为F，

∠ADC为△ADB的外角， 则∠ADC=∠B+∠DAB，

∵∠ADC=∠EDB， ∴∠EDB=∠B+∠DAB， ∵∠AFD是△DFB的外角， ∴∠AFD=∠B+∠EDB， ∵△ABC为等腰直角三角形， ∴∠B=∠CAB=45°， ∴∠AFD=90°+∠FAD，

∴∠ADF=180°-（90°+∠FAD）-∠FAD=90°-2∠FAD， ∠FAD=45°-∠CAD，

∴∠ADE=90°-2（45°-∠CAD）， ∴∠ADE=2∠CAD；

（3）作BE垂直于y轴于点E，AB与y轴交于点H，

∵∠ACO+∠ECB=90°，∠ACO+∠CAO=90°， ∴∠CAO=∠BCE， 在△ACO和△CBE中

COA=BECOAC=ECB AC=CB∴△ACO≌△CBE（AAS）

∵A(-4，0)，D(m，0)，B的纵坐标为n， ∴CE=AO=4，OE=-n，CO=4+n， ∵AD平分△CAB， 则AH=AC，CO=OH， 则△COD△△AOH，

ODOHm4+n=== COAO4+n4则（4+n）2=4m

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，等腰直角三角形的性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

85．如图，以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE，连接DE.若M为BC中点，MA延长线交DE于点H，

(1) 求证：AH⊥DE.

(2) 若DE=4，AH=3，求△ABM的面积

【答案】（1）见解析；（2）3 【解析】 【分析】

（1）延长AM至点F，使MF=AM，连接BF，直接证明△AMC≌△FMB，然后通过角度转换得到∠FBA=∠DAE，再证明FBA≌△EAD，即可求得∠AHE=90°；（2）DE=4，AH=3，求出S△ADE，从而得出S△ABC，M为BC的中点，即可求得△ABM的面积.

【详解】

（1）延长AM至点F，使MF=AM，连接BF，

∵M为BC的中点，∠AMC=△BMF， 在△AMC和△FMB中

BM=CMFMB=AMC FM=AM∴△AMC≌△FMB（SAS）

∴∠BFM=∠MAC，∠FBM=∠MCA，BF=CA, △ABD和△ACE都为等腰直角三角形， ∴△DAE=180°-∠BAC， ∴△FBA=△DAE， 在△FBA和△EAD中

FB=EAFBA=EAD BA=AD∴△FBA≌△EAD（SAS），

∴△BFA=△AED， ∵∠EAC=90°， △△MAC+△HAE=90°， ∴△HAE+△DEA=90°， ∴△AHE=90°， ∴AH△DE；

（2）∵DE=4，AH=3， ∴S△ADE=3×4÷2=6， ∴S△FBA=6，即S△ABC=6， ∵M为BC的中点， ∴S△ABM=3

【点睛】

本题主要考查三角形的综合证明，熟练掌握三角形全等的性质，辅助线知识，角度及面积计算是解决本题的关键

86．如图所示,∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D． (1)求证ΔACD≌ΔCBE.

(2)若AD=2.5 cm,DE=1.1 cm,求BE的长.

【答案】（1）证明见详解；（2）1.4cm. 【解析】 【分析】

（1）根据ACB90，ACBC，BECE，ADCE于D，求得

ACDCBE，利用角角边定理可证ACDCBE；

（2）由（1）的结论可知CEAD,BECDCEDE,将已知数据代入即可求得答案.

【详解】

（1）ACB90，ACBC，BECE，ADCE于D，

ACDACBBCE90BCE， CBE90BCE，（三角形内角和定理） ACDCBE，

又ADCCEB,ACBC,

ACDCBE（AAS）. （2）由（1）知ACDCBE，

CEAD2.5,

BECDCEDEADDE2.51.11.4． BE的长是1.4cm.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，明确图形中的角与边的关系是解题的关键.

87．如图所示，△ABC≌△DEF，AM、DN分别是△ABC和△DEF的角平分线，

(1)求证：AM=DN

(2)其他两对应角的角平分线也有此结果吗？它们有什么规律，请用一句话表示出来．

【答案】（1）证明见解析；（2）全等三角形的对应角平分线相等． 【解析】 【分析】

先根据全等三角形的判定得出△BAM≌△EDN，再根据全等三角形的性质可得．

【详解】

（1）∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，∠B=∠E，∠BAC=∠EDF． 又∵AM平分∠BAC，DN平分∠EDF，∴∠BAM∠EDF，∴∠BAM=∠EDN．

11∠BCA，∠EDN22BE在△BAM与△EDN中，∵ABDE，∴△BAM≌△EDN；

BAMEDN∴AM=DN．

（2）其他两对应角平分线也有此结果（同理可证），规律是全等三角形的对应角平分线相等．

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定和性质问题，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

88．如图点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB=CD，∠A=∠D．请你结合图形添加适当的条件： 从而可以得出△ABE∠△DCF．根据你添加的条件写出证明过程．

【答案】AB∥CD． 【解析】 【分析】

根据平行线的性质可得∠B=∠C，然后利用ASA判定△ABE≌△DCF． 【详解】

添加条件为：AB∥CD．理由如下： ∵AB∥CD，∴∠B=∠C．

∵∠A=∠D，∠B=∠C，∴△ABE≌△DCF在△ABE和△DCF中，AB=DC，

（ASA）．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．

89．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．

（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；

（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析

【解析】 【分析】

（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，

∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此

∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=2EF；

（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；

（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=

11AD，EC=MF=AB，我们只要再证得两对应22边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是

90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．

【详解】

（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE； 解法1：

∵∠AED＝∠ACB＝90° ∴B、C、D、E四点共圆 且BD是该圆的直径， ∵点F是BD的中点， ∴点F是圆心， ∴EF＝CF＝FD＝FB，

∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF， 由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE， ∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45° ∴∠ECF＝45°＝∠CEF， ∴△CEF是等腰直角三角形， ∴CE＝2EF． 解法2：

易证∠BED＝∠ACB＝90°， ∵点F是BD的中点， ∴CF＝EF＝FB＝FD，

∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF， ∴∠DFE＝2∠ABD， 同理∠CFD＝2∠CBD，

∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°， 即∠CFE＝90°， ∴CE＝2EF．

（2）（1）中的结论仍然成立．

解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G， ∵∠ACB＝∠AED＝90°， ∴DE∥BC， ∴∠EDF＝∠GBF，

又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF， ∴△EDF≌△GBF， ∴EF＝GF，BG＝DE＝AE， ∵AC＝BC， ∴CE＝CG，

∴∠EFC＝90°，CF＝EF， ∴△CEF为等腰直角三角形， ∴∠CEF＝45°， ∴CE＝2FE；

解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，

∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°， 又点F是BD的中点， ∴FA＝FB＝FD， 而AC＝BC，CF＝CF， ∴△ACF≌△BCF， ∴∠ACF＝∠BCF＝

1∠ACB＝45°， 2∵FA＝FB，CA＝CB，

∴CF所在的直线垂直平分线段AB， 同理，EF所在的直线垂直平分线段AD， 又DA⊥BA， ∴EF⊥CF，

∴△CEF为等腰直角三角形， ∴CE＝2EF．

（3）（1）中的结论仍然成立．

解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，

∵DF＝BF，

∴FM∥AB，且FM＝

1AB， 2∵AE＝DE，∠AED＝90°， ∴AM＝EM，∠AME＝90°， ∵CA＝CB，∠ACB＝90° ∴CN=AN=

1AB，∠ANC＝90°， 2∴MF∥AN，FM＝AN＝CN， ∴四边形MFNA为平行四边形， ∴FN＝AM＝EM，∠AMF＝∠FNA， ∴∠EMF＝∠FNC， ∴△EMF≌△FNC，

∴FE＝CF，∠EFM＝∠FCN，

由MF∥AN，∠ANC＝90°，可得∠CPF＝90°， ∴∠FCN+∠PFC＝90°， ∴∠EFM+∠PFC＝90°， ∴∠EFC＝90°，

∴△CEF为等腰直角三角形， ∴∠CEF＝45°， ∴CE＝2FE． 【点睛】

本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．

90．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AD平分∠BAC，BD=CD

(1)求证：BE=CF；

(2)已知AC=10，DE=4，BE=2,求△AEC的面积 【答案】(1)证明见解析；(2)36. 【解析】 【分析】

（1）根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可；

（2）根据全等三角形的判定得出Rt△AED≌Rt△AFD，根据全等三角形的性质得出AE=AF，利用三角形面积公式即可得出答案．

【详解】

（1）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°， 在Rt△BED和Rt△CFD中

BDCD ， DEDF∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL）， ∴BE=CF；

（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠E=∠DFA=90°， 在Rt△AED和Rt△AFD中

ADAD ， DEDF∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL）， ∴AE=AF，

∵Rt△BED≌Rt△CFD， ∴CF=BE， ∵AC=10，BE=2，

∴AE=AF=10-2=8，DE=DF=4,

11∴△AEC的面积=1048436.

22【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，角的平分线性质的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．