反函数例题讲解解读

例1．下列函数中，没有反函数的是

(A) y = x2－1（x<(C) y1） 2( )

(B) y = x3+1（x∈R） (D) y2x2(x2)， (x1).4xx（x∈R，x≠1） x1分析：一个函数是否具有反函数，完全由这个函数的性质决定．

判断一个函数有没有反函数的依据是反函数的概念．从代数角度入手，可试解以y表示x的式子；从几何角度入手，可画出原函数图像，再作观察、分析．作为选择题还可用特例指出不存在反函数．

本题应选（D）． 因为若y = 4，则由 2x24， 得 x = 3．

x2由 4x4， 得 x = －1．

x1∴ （D）中函数没有反函数． 如果作出 y2x2(x2)，的图像（如图），依图

4x(x1).更易判断它没有反函数．

例2．求函数 y11x2（－1≤x≤0）的反函数． 解：由 y11x2，得：1x21y ．

∴ 1－x2 = (1－y)2，

x2 = 1－(1－y)2 = 2y－y2 ． ∵ －1≤x≤0，故 x2yy2． 又 当 －1≤x≤0 时， 0≤1－x2≤1， ∴ 0≤1x2≤1，0≤1－1x2≤1， 即 0≤y≤1 ．

∴ 所求的反函数为 y2xx2（0≤x≤1）．

由此可见，对于用解析式表示的函数，求其反函数的主要步骤是： ① 把给出解析式中的自变量x当作未知数，因变量y当作系数，求出x = φ ( y )．

② 求给出函数的值域，并作为所得函数的定义域；

③ 依习惯，把自变量以x表示，因变量为y表示，改换x = φ ( y )为y = φ ( x )．

例3．已知函数 f ( x ) = x2 + 2x + 2（x<－1），那么 f －1 (2 )的值为__________________．

分析：依据f －1 (2 )这一符号的意义，本题可由f ( x )先求得f －1 ( x )，再求f －1 (2 )的值（略）．

依据函数与反函数的联系，设f －1 (2 ) = m，则有f ( m ) = 2．据此求f －

1

(2 )的值会简捷些．

令 x2 + 2x + 2 = 2，则得：x2 + 2x = 0 ． ∴ x = 0 或 x =－2 ．

又x<－1，于是舍去x = 0，得x =－2，即 f －1

(2 ) = －2 ．

例4．已知函数 f(x)14x2（x≤0），那么 f ( x )的反函数f －1 ( x )的图像是

（A） ( )

y （B） y

0 1 x －1 0 x （C） y （D） y －1 0 x 0 1 x

分析：作为选择题，当然不必由f ( x )求出f －1 ( x )，再作出f －1 ( x )图像，予以比较、判断．

由f(x)14x2（x≤0）易得函数f ( x )的定义域为,0，值域为

1,．于是有函数f －1

( x )的定义域为1,，值域为,0．依此对给出

图像作检验，显然只有（D）是正确的．

因此本题应选（D）．

例5．给定实数a，a≠0，a≠1，设函数yx11（x∈R，x≠）． ax1a求证：这个函数的图像关于直线y = x成轴对称图形． 分析：本题可用证明此函数与其反函数是同一个函数的思路． 证明：先求给出函数的反函数：

由 y∴

x11（x∈R，x≠），得y ( ax－1) = x－1 ． ax1a (ay－1)x = y－

1 ． ①

若ay－1 = 0，则ay = 1 ． 又a≠0，故 y11 ．此时由①可有y = 1．于是=1，即a = 1， aa这与已知a≠1是矛盾的，故ay－1 ≠ 0 ． 则由①得 x∴ 函数 y≠）．

由于函数f ( x )与f －1 ( x )的图像关于直线y = x对称，故函数y（x∈R且x≠

1）的图像关于直线y = x成轴对称图形． ax1ax11ay11（y∈R，y≠）． ay1ax1x11（x∈R，x≠）的反函数还是y（x∈R，xax1ax1a本题证明还可依轴对称的概念进行，即证明：若点P（x，y）是函数f ( x )图像上任一点，则点P关于直线的对称点Q（y，x）也在函数f ( x )的图像上

（过程略）．