高一数学
第Ⅰ卷(共 36 分)
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求,本卷共 12 题, 每小题 3 分,共36 分.
1.在复平面内表示复数i(1i)的点位于( ) A. 第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】
把i(1i)展开即得.
【详解】Qi(1i)ii1i,复数i(1i)对应的点的坐标为1,1,在第一象限.
2B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
故选:A.
【点睛】本题考查复数的几何意义,属于基础题.
a等于( ) 2.已知i是虚数单位,若复数1ai2i是纯虚数,则实数
A. 2 【答案】D 【解析】 【分析】
B.
1 2C. 1 2D. 2
a. 把复数1ai2i展开,由实部为0,虚部不为0,即求实数
【详解】Q复数1ai2i2i2aiai2a2a1i为纯虚数,
22a0,a2. 2a10故选:D.
【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的分类,属于基础题.
rrrr3.已知向量a2,4,b1,1,则2ab( )
A. 5,7 【答案】A
B. 5,9
C. 3,7
D. 3,9
【解析】
因为2ar(4,8),所以2arbr(4,8)(1,1)=(5,7),故选A.
考点:本小题主要考查平面向量的基本运算,属容易题.
4.已知向量a1,m,bm, 2,若a//b,则实数m( ) A. 2 B. 2 C. 2 【答案】B 【解析】 【分析】
根据向量共线的坐标表示,可求m.
【详解】由a//b,可得12m20,m2. 故选:B.
【点睛】本题考查向量共线的坐标表示,属于基础题. 5.已知i是虚数单位,a,bR,abi3i1i,则 ab等于( ) A. 1 B. 1
C. 3
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数的除法化简
3i1i,再根据复数相等的充要条件求出a,b,即得答案. 详解】Qabi3i1i3i1i1i1i34ii21i224i212i, a1,b2,ab1.
故选:A.
【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件,属于基础题. 6.若i为虚数单位,则复数3i11i的模是( ) A. 22 B. 5 C. 5
【答案】B 【解析】
D. 0
D. 4
D. 2
【分析】
根据复数的除法运算把
3i1化成abia,bR的形式,则模为a2b2. 1i【详解】Q3i11i3i11i1i1i3i3i21i1i224i212i, 3i11i12i12225. 故选:B.
【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式,属于基础题..
7.复数 z满足 z1z1i,则 z的值是( )
A. 1i B. 1i
C. i 【答案】D 【解析】 【分析】
由 z1z1i,求出复数 z,把 z写出 abia,bR的形式,即求 z.
1i1i21z1i,z12ii2【详解】Q z1i1i1i1i2i, zi
故选: D.
【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数,属于基础题.
8.已知向量av(1,1),bv(1,2),则(2avbv)av=( ) A. 1 B. 0
C. 1
【答案】C 【解析】 【分析】
由向量的坐标运算表示2arbr,再由数量积的坐标运算即可得解.
【详解】解:因为ar1,1,br1,2则
2arbrar1,01,11;故选C.
【点睛】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算;属于基础题目.
D. iD. 2
,2,B3,6,则线段 9.已知点 A1AB的中点坐标为( )
A. 2,1 【答案】B 【解析】 【分析】
根据线段的中点坐标公式即得.
B. 1,2
C. 1,2
D. 2,2
,2,B3,6,线段 【详解】A1AB的中点坐标为故选:B.
【点睛】本题考查线段的中点坐标公式,属于基础题. 10.设向量aA. 1 【答案】C 【解析】 【分析】
1326,,即1,2. 22rrrr3,1,b2,2,若abab,则实数( )
B. 0
C. 2
D. 2
rrrrrrrrrrrr写出向量ab,ab的坐标,由abab,得abab0,即求.
【详解】QarrrrrrrrQabab,abab0,
2332220,2,2. 2rrrr3,1,b2,2,ab23,2,ab32,2.
故选:C.
【点睛】本题考查向量垂直的性质,属于基础题.
rrrrrra111.已知,b=(0,2),且ab1,则向量a与b夹角的大小为( )
A.
6B.
4C.
3D.
2【答案】C 【解析】 【分析】
rrb0,2可知,b2,由向量夹角的公式求解即可
rrrrrra·b1【详解】b0,2可知,b2,cosa,brr,所以夹角为,故选C.
3a·b2【点睛】本题考查向量的模的定义和向量夹角的计算公式. 12.已知z1A. i 【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数乘法运算的三角表示,即得答案. 【详解】z1z23cosisin,z2cosisinz1z2( ) 2,则 26633B. 2i
C. 22i
D. 3i
33cosisin2cosisin2cosisin 26633263633cosisin3i.
22故选:D.
【点睛】本题考查复数乘法的三角表示,属于基础题.
第Ⅱ卷(共 分)
二、填空题:本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分.
13.i是虚数单位,则【答案】1i 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算即得答案.
2__________. 1i21i21i21i21i. 【详解】
1i1i1i1i22故答案为:1i.
【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题. 14.i是虚数单位,则复数i1i的实部为__________.
【答案】1 【解析】 【分析】
把i1i展开,i21代入即得. 详解】Qi1iii1i,
2【故答案为:1.
复数i1i的实部为1.
【点睛】本题考查复数的乘法运算,属于基础题. 15.计算:QPNQMNMP__________.
r【答案】0
【解析】 【分析】
根据向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则进行运算,即得答案.
【详解】由向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则可得
uuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuurrQPNQMNMPNQQPMNMPNPPN0.
故答案为:0.
r【点睛】本题考查向量加减法的运算法则和向量加法的交换律,属于基础题.
rr16.已知a3,b4,且向量a,b的夹角为120o,则ab__________.
【答案】6 【解析】 【分析】
根据数量积的定义即求.
rr【详解】Qa3,b4,且向量a,b的夹角为120o, rr1ababcos120o346.
2故答案为:6.
【点睛】本题考查向量数量积的定义,属于基础题.
x__________. A1,2、B2,0、Cx,3,且 17.已知 A、B、C三点共线,则 【答案】【解析】 【分析】
5 2uuuruuurx. ,AB,C由三点共线,得 AB//BC,根据向量共线坐标表示求
A,B,C三点共线,【详解】Q AB//BC.
uuuruuuruuuruuurQ A1,2,B2,0,Cx,3,AB3,2,BCx2,3,
533x220,x.
2故答案为:5. 2【点睛】本题考查向量共线的坐标表示,属于基础题.
18.若向量|a|2,b2,(ab)a,则 a,b的夹角的度数为__________. 【答案】0o 【解析】 【分析】
rrrroo0180设向量 .由aba,得abga0,再根据数量积的定义求夹角. a,b的夹角为的o【详解】设向量 a,b的夹角为0180.
oorrrr2rrrrr2Q(ab)a,abga0,aagb0,agba,
又|a|2,b2,22cos4,cos1,0.
故答案为:0o.
【点睛】本题考查向量垂直的性质和数量积的定义,属于基础题.
a,bR,i是虚数单位.若ai与 19.已知 2bi互为共轭复数,则abi__________.
【答案】34i 【解析】
2
【分析】
a,b,再把abi展开即得. 根据共轭复数的定义,求出 【详解】Qai与 2bi互为共轭复数,a2,b1,
2abi2i44ii234i.
故答案为:34i.
【点睛】本题考查共轭复数和复数的乘法,属于基础题.
22uuuruuuruuur20.在平行四边形 ABCD中,若AB1,3,AC2,5,则向量 AD的坐标为__________.
【答案】1,2 【解析】 【分析】
根据向量加法的平行四边形法则可知ACABAD,可求 AD的坐标. 【详解】平行四边形 ABCD中,ACABAD.
uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurQAB1,3,AC2,5,ADACAB2,51,31,2.
故答案为:1,2.
【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则,属于基础题.
三、解答题:本大题共 4 个小题,共 40 分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.
21.已知i是虚数单位,复数zm5m6m3mi,mR.
22z为实数时,求 m的值; (Ⅰ)当复数
z为虚数时,求 m的值; (Ⅱ)当复数
z为纯虚数时,求 m的值. (Ⅲ)当复数
【答案】(Ⅰ)0或3;(Ⅱ) (Ⅲ)2. m0且 m3;【解析】 【分析】
m; (Ⅰ)根据虚部为0,求 m; (Ⅱ)根据虚部不为0,求 m. (Ⅲ)根据实部为0,虚部不为0,求 【详解】复数zm5m6m3mi,mR.
22
z为实数时,有 (Ⅰ)当复数 m23m0,m0或 m3. z为虚数时,有 (Ⅱ)当复数 m23m0,m0且 m3.
m23m0z为纯虚数时,有 (Ⅲ)当复数 ,解得 m2. 2m5m60【点睛】本题考查复数的分类,属于基础题.
a,b,c.已知a5,c6,cosBAB,C所对的边分别为 22.在VABC中,内角 ,(Ⅰ)求b和sinA的值; (Ⅱ)求cosA4. 5的值. 431326;(Ⅱ). 1326【答案】(Ⅰ)b13,sinA【解析】 【分析】
(Ⅰ)由余弦定理求b.根据平方关系式求sinB,再根据正弦定理求sinA;
(Ⅱ)根据三角形中大边对大角,得A为锐角.由(Ⅰ)知sinA,根据平方关系式求cosA,再根据两角和的余弦公式求cosA. 4【详解】(Ⅰ)VABC中,已知a5,c6,cosB222224. 13, 5由余弦定理得bac2accosB56256b13.
34又sinB1cosB1. 5522由正弦定理
ab, sinAsinB53asinB可得5313. sinAb1313(Ⅱ)Qa5,b13,c6,bac,BAC,A为锐角.
由(Ⅰ)知sinA313213. ,cosA1sin2A13132132313226. cosAcosAcossinAsin44413213226【点睛】本题考查正余弦定理、同角三角函数基本关系式和两角和的余弦公式,属于基础题.
a,b,c,且b3,c4,C2B. 23.设 VABC的内角A,B,C所对边的长分别是 (Ⅰ)求cosB的值; (Ⅱ)求sin2B的值. 3【答案】(Ⅰ)【解析】 【分析】
2453;(Ⅱ). 318(Ⅰ)由正弦定理和倍角公式可求cosB; (Ⅱ)由(Ⅰ)知cosB2.根据平方关系式求出sinB,根据倍角公式求出sin2B,cos2B,最后根据两3角差的正弦公式求sin2B. 3【详解】(Ⅰ) VABC中,b3,c4,C2B.
bc34442,可得, sinBsinCsinBsinCsin2B2sinBcosBsinBcosB2cosB.
3由正弦定理
252(Ⅱ)由(Ⅰ)知cosB,sinB1cos2B1, 3332524512sin2B2sinBcosB2,cos2B2cos2B121.
33993245113453. sin2Bsin2Bcoscos2Bsin333929218【点睛】本题考查正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式和两角差的正弦公式,属于中档题.
a,b,c分别为 AB,C的对边,a3bsinAacosB. 24.已知 VABC三个内角 ,(Ⅰ)求角 B的值;
(Ⅱ)若b2,△ABC的面积为3 ,求a,c. 【答案】(Ⅰ)B【解析】 【分析】
3;(Ⅱ)ac2.
(Ⅰ)由正弦定理把a3bsinAacosB化为sinA3sinBsinAsinAcosB,约去sinA,利用辅助角公式,可求 B;
(Ⅱ)根据面积公式和余弦定理求a,c
【详解】(Ⅰ)Qa3bsinAacosB,
由正弦定理可得sinA3sinBsinAsinAcosB. 又sinA0,3sinBcosB1, 由辅助角公式得2sinB11,sinB. 6625, 6Q 0B,B6B666,B3..
(Ⅱ)QVABC的面积为3,
1acsinB3,由(Ⅰ)知B,ac4. 23又b2,由余弦定理得b2a2c22accosB, 即4ac24cos又ac4,ac2.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式和面积公式,属于中档题.
223,a2c28,
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