天津市红桥区2019-2020学年第二学期高一期中考试数学试题(教师版)

高一数学

第Ⅰ卷（共 36 分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求，本卷共 12 题， 每小题 3 分，共36 分．

1.在复平面内表示复数i(1i)的点位于（ ） A. 第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】

把i(1i)展开即得.

【详解】Qi(1i)ii1i，复数i(1i)对应的点的坐标为1,1，在第一象限.

2B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

故选：A.

【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.

a等于（ ） 2.已知i是虚数单位，若复数1ai2i是纯虚数，则实数

A. 2 【答案】D 【解析】 【分析】

B.

1 2C. 1 2D. 2

a. 把复数1ai2i展开，由实部为0，虚部不为0，即求实数

【详解】Q复数1ai2i2i2aiai2a2a1i为纯虚数，

22a0,a2. 2a10故选：D.

【点睛】本题考查复数的乘法运算和复数的分类，属于基础题.

rrrr3.已知向量a2,4，b1,1，则2ab（ ）

A. 5,7 【答案】A

B. 5,9

C. 3,7

D. 3,9

【解析】

因为2ar(4,8)，所以2arbr(4,8)(1,1)=（5，7），故选A.

考点：本小题主要考查平面向量的基本运算，属容易题.

4.已知向量a1,m,bm, 2，若a//b，则实数m（ ） A. 2 B. 2 C.  2 【答案】B 【解析】 【分析】

根据向量共线的坐标表示，可求m.

【详解】由a//b，可得12m20,m2. 故选：B.

【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题. 5.已知i是虚数单位，a,bR，abi3i1i，则 ab等于（ ） A. 1 B. 1

C. 3

【答案】A 【解析】 【分析】

根据复数的除法化简

3i1i，再根据复数相等的充要条件求出a,b，即得答案. 详解】Qabi3i1i3i1i1i1i34ii21i224i212i， a1,b2,ab1.

故选：A.

【点睛】本题考查复数的除法运算和复数相等的充要条件，属于基础题. 6.若i为虚数单位，则复数3i11i的模是（ ） A. 22 B. 5 C. 5

【答案】B 【解析】

D. 0

D. 4

D. 2

【分析】

根据复数的除法运算把

3i1化成abia,bR的形式，则模为a2b2. 1i【详解】Q3i11i3i11i1i1i3i3i21i1i224i212i， 3i11i12i12225. 故选：B.

【点睛】本题考查复数的除法运算和复数的求模公式，属于基础题..

7.复数 z满足 z1z1i，则 z的值是（ ）

A. 1i B. 1i

C. i 【答案】D 【解析】 【分析】

由 z1z1i，求出复数 z，把 z写出 abia,bR的形式，即求 z.

1i1i21z1i,z12ii2【详解】Q z1i1i1i1i2i，  zi

故选： D.

【点睛】本题考查复数的运算和共轭复数，属于基础题.

8.已知向量av(1，1)，bv(1，2)，则(2avbv)av＝（ ） A. 1 B. 0

C. 1

【答案】C 【解析】 【分析】

由向量的坐标运算表示2arbr，再由数量积的坐标运算即可得解.

【详解】解：因为ar1,1，br1,2则

2arbrar1,01,11；故选C．

【点睛】本题考查了向量的加法和数量积的坐标运算；属于基础题目．

D. iD. 2

，2，B3，6，则线段 9.已知点 A1AB的中点坐标为（ ）

A. 2,1 【答案】B 【解析】 【分析】

根据线段的中点坐标公式即得.

B. 1,2

C. 1,2

D. 2,2

，2,B3，6,线段 【详解】A1AB的中点坐标为故选：B.

【点睛】本题考查线段的中点坐标公式，属于基础题. 10.设向量aA. 1 【答案】C 【解析】 【分析】

1326,，即1,2. 22rrrr3,1,b2,2，若abab，则实数（ ）

B. 0

C. 2

D. 2

rrrrrrrrrrrr写出向量ab,ab的坐标，由abab，得abab0，即求.

【详解】QarrrrrrrrQabab,abab0，

2332220,2,2. 2rrrr3,1,b2,2,ab23,2,ab32,2.

故选：C.

【点睛】本题考查向量垂直的性质，属于基础题.

rrrrrra111.已知，b=(0,2)，且ab1，则向量a与b夹角的大小为( )

A.

 6B.

 4C.

 3D.

 2【答案】C 【解析】 【分析】

rrb0,2可知，b2，由向量夹角的公式求解即可

rrrrrra·b1【详解】b0,2可知，b2，cosa,brr，所以夹角为，故选C.

3a·b2【点睛】本题考查向量的模的定义和向量夹角的计算公式． 12.已知z1A. i 【答案】D 【解析】 【分析】

根据复数乘法运算的三角表示，即得答案. 【详解】z1z23cosisin,z2cosisinz1z2（ ） 2，则 26633B. 2i

C. 22i

D. 3i

33cosisin2cosisin2cosisin 26633263633cosisin3i.

22故选：D.

【点睛】本题考查复数乘法的三角表示，属于基础题.

第Ⅱ卷（共 分）

二、填空题：本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分．

13.i是虚数单位，则【答案】1i 【解析】 【分析】

根据复数的除法运算即得答案.

2__________． 1i21i21i21i21i. 【详解】

1i1i1i1i22故答案为：1i.

【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题. 14.i是虚数单位，则复数i1i的实部为__________．

【答案】1 【解析】 【分析】

把i1i展开，i21代入即得. 详解】Qi1iii1i,

2【故答案为：1.

复数i1i的实部为1.

【点睛】本题考查复数的乘法运算，属于基础题. 15.计算：QPNQMNMP__________．

r【答案】0

【解析】 【分析】

根据向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则进行运算，即得答案.

【详解】由向量加法的交换律、向量加法的三角形法则和向量减法法则可得

uuuruuuruuuuruuuruuuruuuruuuuruuuruuuruuurrQPNQMNMPNQQPMNMPNPPN0.

故答案为：0.

r【点睛】本题考查向量加减法的运算法则和向量加法的交换律，属于基础题.

rr16.已知a3,b4，且向量a,b的夹角为120o，则ab__________．

【答案】6 【解析】 【分析】

根据数量积的定义即求.

rr【详解】Qa3,b4,且向量a,b的夹角为120o， rr1ababcos120o346.

2故答案为：6.

【点睛】本题考查向量数量积的定义，属于基础题.

x__________． A1，2、B2，0、Cx，3，且 17.已知 A、B、C三点共线，则 【答案】【解析】 【分析】

5 2uuuruuurx. ,AB,C由三点共线，得 AB//BC，根据向量共线坐标表示求

A,B,C三点共线，【详解】Q AB//BC.

uuuruuuruuuruuurQ A1,2,B2,0,Cx,3,AB3,2,BCx2,3，

533x220,x.

2故答案为：5. 2【点睛】本题考查向量共线的坐标表示，属于基础题.

18.若向量|a|2,b2,(ab)a，则 a,b的夹角的度数为__________． 【答案】0o 【解析】 【分析】

rrrroo0180设向量 .由aba，得abga0，再根据数量积的定义求夹角. a,b的夹角为的o【详解】设向量 a,b的夹角为0180.

oorrrr2rrrrr2Q(ab)a,abga0，aagb0,agba，

又|a|2,b2,22cos4,cos1,0.

故答案为：0o.

【点睛】本题考查向量垂直的性质和数量积的定义，属于基础题.

a,bR，i是虚数单位．若ai与 19.已知 2bi互为共轭复数，则abi__________．

【答案】34i 【解析】

2

【分析】

a,b，再把abi展开即得. 根据共轭复数的定义，求出 【详解】Qai与 2bi互为共轭复数，a2,b1,

2abi2i44ii234i.

故答案为：34i.

【点睛】本题考查共轭复数和复数的乘法，属于基础题.

22uuuruuuruuur20.在平行四边形 ABCD中，若AB1,3,AC2,5，则向量 AD的坐标为__________．

【答案】1,2 【解析】 【分析】

根据向量加法的平行四边形法则可知ACABAD，可求 AD的坐标. 【详解】平行四边形 ABCD中，ACABAD.

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurQAB1,3,AC2,5,ADACAB2,51,31,2.

故答案为：1,2.

【点睛】本题考查向量加法的平行四边形法则，属于基础题.

三、解答题：本大题共 4 个小题，共 40 分．解答写出文字说明、证明过程或演算步骤．

21.已知i是虚数单位，复数zm5m6m3mi,mR．

22z为实数时，求 m的值； （Ⅰ）当复数

z为虚数时，求 m的值； （Ⅱ）当复数

z为纯虚数时，求 m的值． （Ⅲ）当复数

【答案】（Ⅰ）0或3；（Ⅱ） （Ⅲ）2. m0且 m3；【解析】 【分析】

m； （Ⅰ）根据虚部为0，求 m； （Ⅱ）根据虚部不为0，求 m. （Ⅲ）根据实部为0，虚部不为0，求 【详解】复数zm5m6m3mi,mR.

22

z为实数时，有 （Ⅰ）当复数 m23m0,m0或 m3. z为虚数时，有 （Ⅱ）当复数 m23m0,m0且 m3.

m23m0z为纯虚数时，有 （Ⅲ）当复数 ，解得 m2. 2m5m60【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.

a,b,c．已知a5,c6,cosBAB,C所对的边分别为 22.在VABC中，内角 ,（Ⅰ）求b和sinA的值； （Ⅱ）求cosA4． 5的值． 431326；（Ⅱ）. 1326【答案】（Ⅰ）b13，sinA【解析】 【分析】

（Ⅰ）由余弦定理求b.根据平方关系式求sinB，再根据正弦定理求sinA；

（Ⅱ）根据三角形中大边对大角，得A为锐角.由（Ⅰ）知sinA，根据平方关系式求cosA，再根据两角和的余弦公式求cosA. 4【详解】（Ⅰ）VABC中，已知a5,c6,cosB222224． 13， 5由余弦定理得bac2accosB56256b13．

34又sinB1cosB1． 5522由正弦定理

ab， sinAsinB53asinB可得5313. sinAb1313（Ⅱ）Qa5,b13,c6,bac,BAC,A为锐角.

由（Ⅰ）知sinA313213. ,cosA1sin2A13132132313226. cosAcosAcossinAsin44413213226【点睛】本题考查正余弦定理、同角三角函数基本关系式和两角和的余弦公式，属于基础题.

a,b,c，且b3,c4,C2B． 23.设 VABC的内角A,B,C所对边的长分别是 （Ⅰ）求cosB的值； （Ⅱ）求sin2B的值． 3【答案】（Ⅰ）【解析】 【分析】

2453；（Ⅱ）. 318（Ⅰ）由正弦定理和倍角公式可求cosB； （Ⅱ）由（Ⅰ）知cosB2.根据平方关系式求出sinB，根据倍角公式求出sin2B,cos2B，最后根据两3角差的正弦公式求sin2B. 3【详解】（Ⅰ） VABC中，b3,c4,C2B.

bc34442,可得， sinBsinCsinBsinCsin2B2sinBcosBsinBcosB2cosB.

3由正弦定理

252（Ⅱ）由（Ⅰ）知cosB,sinB1cos2B1， 3332524512sin2B2sinBcosB2,cos2B2cos2B121.

33993245113453. sin2Bsin2Bcoscos2Bsin333929218【点睛】本题考查正弦定理、同角三角函数基本关系式、倍角公式和两角差的正弦公式，属于中档题.

a,b,c分别为 AB,C的对边，a3bsinAacosB． 24.已知 VABC三个内角 ,（Ⅰ）求角 B的值；

（Ⅱ）若b2,△ABC的面积为3 ，求a,c． 【答案】（Ⅰ）B【解析】 【分析】

3；（Ⅱ）ac2.

（Ⅰ）由正弦定理把a3bsinAacosB化为sinA3sinBsinAsinAcosB，约去sinA，利用辅助角公式，可求 B；

（Ⅱ）根据面积公式和余弦定理求a,c

【详解】（Ⅰ）Qa3bsinAacosB，

由正弦定理可得sinA3sinBsinAsinAcosB. 又sinA0,3sinBcosB1， 由辅助角公式得2sinB11,sinB. 6625， 6Q 0B,B6B666,B3..

（Ⅱ）QVABC的面积为3，

1acsinB3，由（Ⅰ）知B,ac4. 23又b2，由余弦定理得b2a2c22accosB， 即4ac24cos又ac4,ac2.

【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、辅助角公式和面积公式，属于中档题.

223,a2c28，