人教B版(2019)高中数学必修第二册 第四章指数函数、对数函数与幂函数4.2.2对数运算法则习题

知识点一 正确理解对数的运算法则

1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( ) A．logaM·logaN＝loga(M＋N) B.

logaM＝loga(M－N) logaN

loglog

－2－2

C．D．logaM＝

M a2．下列式子中：

①lg (3＋22)－lg (3－22)＝0； ②lg (10＋99)×lg (10－99)＝0； ③④

lg a＝lg (a－b)． lg b＝－1(n∈N*)；

其中正确的有________(填序号)． 知识点二 对数式的计算、化简

3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( ) A．0 C．2

25532

4．lg －2lg ＋lg 等于( )

16981A．lg 2 C．lg 4

B．lg 3 D．lg 5 B．1 D．3

5．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( ) A．a－2 C．5a－2

B．3a－(1＋a)2 D．－a2＋3a－1

x3y3

6．若lg x－lg y＝a，则 lg －lg ＝( )

22A．3a C．a

3

B．a 2D． 2

ay

7．若lg x＝m，lg y＝n，则lg x－lg 2的值等于( )

10A.1

2m－2n－2 B．1

2m－2n－1 C.1

2

m－2n＋1 D．1

2

m－2n＋2 8．化简log12331

22＋log23＋log24＋…＋log232，得( )

A．5 B．4 C．－5

D．－4

9．已知3a＝2,3b＝1

5，则2a－b＝________.

10．计算下列各式的值： (1)log2

748＋log1

212－2

log242； (2)lg 500＋lg 85－1

2lg ＋50(lg 2＋lg 5)2；

(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； 2

(4)

lg 3

－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1000

lg 0.3×lg 1.2

. 知识点三 换底公式及应用

11．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝( ) A．a＋b B．a－b

C．ab

D．ab 12．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则1

1

x－y等于( )

1A. 31C．－

3

B．3 D．－3

13．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于( ) A.2a＋b 1＋a2a＋b 1－aB．D．

a＋2b 1＋aa＋2b 1－aC．

14．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝( ) A．1 C．3

B．2 D．5

15．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________． 16．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________. 17．计算： (1)log×log2732； (2)log927； (3)log2

111×log3×log5. 125323

18．已知log1＝a,18b＝5，用a，b表示log35的值．

易错点一 利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件 设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4的值为________． 易错点二 运用换底公式不熟练致误 log29×log34＝( ) 1

A. 4C．2

1B． 2D．4

xy

一、单项选择题

1．log225×log522＝( ) A．3 B．4 C．5

D．6

2．若log1

53×log36×log6x＝2，则x等于( )

A．9 B．19 C．25

D．125

3. 等于( )

A．lg 3 B．－lg 3 C．

1lg 3

D．－

1lg 3

4．化简 log2

23

－4log3＋4＋log1

223

，得( )

A．2 B．2－2log23 C．－2

D．2log23－2

5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( A．2 B．12 C．100

D．10

6．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于( ) A．p2

＋q2

B．1

5(3p＋2q) C.

3pq1＋3pq

D．pq

7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( ) A．6

B．9

) C．12 D．18

8

8．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于( )

3A．3 C．4

二、多项选择题

9．下列各等式正确的是( ) A．log23×log25＝log2(3×5) B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4)

B．8 D．log48

xC．log2＝log2x－log2y

y1nD．lg m＝ lg m(m>0，n>1，n∈N*)

n10．若ab>1，则下列等式中正确的是( ) A．lg (ab)＝lg a＋lg b 1aa

C.lg 2＝lg 2bb

B．lg ＝lg a－lg b D．lg (ab)＝

1

logab10

ab11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( ) A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y

B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y

12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( ) A．(logax)n＝nlogax 1nC.logax＝logax

1

B．logax＝－loga

xnD．

logaxn＝logax

n三、填空题

13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.

14．方程log2x＋

1log

x＋1

2

＝1的解是x＝________.

15．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，则αβ＝________.

16．设f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N*)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的

n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．

四、解答题

17．求值：(1)lg5＋lg20；

(2)log×log2732－(3－1)lg 1＋log535－log57； (3)(log43＋log83)(log32＋log92)．

18．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，

y求log8的值．

x19．设020．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py. (1)求p；

111

(2)求证：－＝.

zx2y

2

时，logay4

4.2.2 对数运算法则

知识点一 正确理解对数的运算法则

1．对a>0，且a≠1(M>0，N>0)，下列说法正确的是( ) A．logaM·logaN＝loga(M＋N) B.

logaM＝loga(M－N) logaN

loglog

－2－2

C．D．logaM＝

M a答案 C

解析 由对数的运算性质知A，B错误；对于C，logamMn＝

n＝mlogaM，

n＝mlogaM，∴C正确．D中－2不能做底数，∴D错误．故选C. 2．下列式子中：

①lg (3＋22)－lg (3－22)＝0； ②lg (10＋99)×lg (10－99)＝0； ③④

lg a＝lg (a－b)． lg b＝－1(n∈N*)；

其中正确的有________(填序号)． 答案 ③

3＋22

解析 lg (3＋22)－lg (3－22)＝lg ＝lg (3＋22)2>0，故①错

3－22误．

∵lg (10＋99)≠0，lg (10－99)≠0. ∴lg (10＋99)×lg (10－99)≠0，故②错误． ∵

∴③正确． ∵

lg a≠lg (a－b)，故④错误． lg b＝

＝－1，

知识点二 对数式的计算、化简

3．(lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20的值是( ) A．0 C．2 答案 C

解析 (lg 5)2＋lg 2×lg 5＋lg 20＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 20＝lg 5×lg 10＋lg 20＝lg 5＋lg 20＝lg 100＝2.

B．1 D．3

4．lg

25532

－2lg ＋lg 等于( ) 16981

B．lg 3 D．lg 5

A．lg 2 C．lg 4 答案 A

25532252532

解析 lg －2lg ＋lg ＝lg ÷×＝lg 2.故选A.

169811681815．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是( ) A．a－2 C．5a－2 答案 A

解析 log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2. x3y3

6．若lg x－lg y＝a，则 lg －lg ＝( )

22A．3a C．a 答案 A

解析 由对数的运算性质可知，原式＝3(lg x－lg 2)－3(lg y－lg 2)＝3(lg

3

B．a 2D． 2

B．3a－(1＋a)2 D．－a2＋3a－1

ax－lg y)＝3a.

y2

7．若lg x＝m，lg y＝n，则lg x－lg 的值等于( )

101

A.m－2n－2 21

C.m－2n＋1 2答案 D

11

解析 原式＝lg x－2(lg y－lg 10)＝m－2n＋2.

2212331

8．化简log2＋log2＋log2＋…＋log2，得( )

23432A．5

B．4 1

B．m－2n－1 21

D．m－2n＋2 2

C．－5 答案 C

D．－4

311123

解析 原式＝log2×××…×＝log2＝－5.

32322341

9．已知3a＝2,3b＝，则2a－b＝________.

5答案 log320

11

解析 ∵3＝2,3＝，两边取对数得a＝log32，b＝log3＝－log35，∴2a－b55

ab＝2log32＋log35＝log320.

10．计算下列各式的值： (1)log2

71

＋log212－log242； 482

81

(2)lg 500＋lg －lg ＋50(lg 2＋lg 5)2；

52(3)lg 25＋lg 2×lg 50＋(lg 2)2； (4)

lg 3

2

－lg 9＋1lg 27＋lg 8－lg 1000

lg 0.3×lg 1.2

7×1211

＝log2＝－.

248×422

.

解 (1)原式＝log2

81800

(2)原式＝lg 500×－lg ＋50(lg 10)2＝lg ＋50＝lg 100＋50＝2

528＋50＝52.

(3)原式＝2lg 5＋lg 2×(1＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2(1＋lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋2lg 2＝2.

lg 3

(4)原式＝

1－lg 3＝

lg 3－1

33

－2lg 3＋1lg 3＋3lg 2－

22

lg 3－1×lg 3＋2lg 2－1

2

×

3

lg 3＋2lg 2－12

×lg 3＋2lg 2－1

＝－

32

.

知识点三 换底公式及应用

11．已知log23＝a，log37＝b，则log27＝( )

A．a＋b C．ab 答案 C

解析 log27＝log23×log37＝ab.

B．a－b D． ab12．若2.5＝1000,0.25＝1000，则－等于( )

xy11

xy1A. 31C．－

3答案 A

B．3 D．－3

解析 由2.5x＝1000,0.25y＝1000得x＝log2.51000＝＝

311lg 2.5lg 0.251

，∴－＝－＝.

lg 0.25xy333

13．若lg 2＝a，lg 3＝b，则log512等于( ) A.2a＋b 1＋a2a＋b 1－aB．D．

3

，y＝log0.251000lg 2.5

a＋2b 1＋aa＋2b 1－aC．

答案 C

lg 122lg 2＋lg 32a＋b解析 log512＝＝＝，故选C.

lg 51－lg 21－a14．若logax＝2，logbx＝3，logcx＝6，则logabcx＝( ) A．1 C．3 答案 A

11

解析 ∵logax＝＝2，∴logxa＝. logxa211

同理logxb＝，logxc＝. 36

B．2 D．5

∴logabcx＝

1logxabc＝

1

＝1.

logxa＋logxb＋logxc15．方程log3(x－1)＝log9(x＋5)的解是________． 答案 4

1

解析 由换底公式，得log9(x＋5)＝log3(x＋5)．

2∴原方程可化为2log3(x－1)＝log3(x＋5)， 即log3(x－1)2＝log3(x＋5)，∴(x－1)2＝x＋5. ∴x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1. x－1>0，又

x＋5>0，

∴x>1，故x＝4.

16．若log34·log48·log8m＝log416，则m＝________. 答案 9

lg 4lg 8lg mlg m解析 由换底公式，得××＝＝log416＝2，∴lg m＝2lg 3

lg 3lg 4lg 8lg 3＝lg 9，∴m＝9.

17．计算： (1)log×log2732； (2)log927； (3)log2

111×log3×log5. 125323

lg 9lg 32lg 32lg 252lg 35lg 210

解 (1)log×log2732＝×＝×＝×＝.

lg 8lg 27lg 23lg 333lg 23lg 39log327log3333log333

(2)log927＝＝＝＝. log39log3322log332(3)log2

111

×log3×log5＝log25－3×log32－5×log53－1＝－3log25×(－125323

lg 5lg 2lg 3

××＝－15. lg 2lg 3lg 5

5log32)×(－log53)＝－15×

18．已知log1＝a,18b＝5，用a，b表示log35的值． 解 解法一：∵log1＝a,18b＝5，∴log185＝b.

于是log35＝＝

log1845log1×5

＝

log1836log1818×2

＝

log1＋log185

1＋log182

a＋b1＋log18

a＋b.

182－a＝9

解法二：∵log1＝a,18b＝5，∴log185＝b. 于是log35＝

log18

9×5182

log18

9

＝

log1＋log185a＋b＝.

2log1818－log12－a解法三：∵log1＝a,18b＝5， ∴lg 9＝alg 18，lg 5＝blg 18. ∴log35＝

lg 45lg 9×5

＝lg 36182

lg

9

＝

lg 9＋lg 5

2lg 18－lg 9

＝

alg 18＋blg 18a＋b＝.

2lg 18－alg 182－a

易错点一 利用运算性质化简求值时忽略对数有意义的条件

x设lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，则log4的值为________．

y易错分析 错误的根本原因是将对数式lg x＋lg y＝2lg (x－2y)转化为代

x>0，

数式xy＝(x－2y)时，忽略了对数有意义的条件，即隐含条件y>0，

x－2y>0.

2

从

xxx而误认为＝4或＝1，得出log4＝1或0的错误答案．

yyy答案 1

正解 由lg x＋lg y＝2lg (x－2y)，得 lg (xy)＝lg (x－2y)2，因此xy＝(x－2y)2， 即x2－5xy＋4y2＝0，得＝4或＝1，

xyxy又x>0，y>0，x－2y>0，∴≠1，∴log4＝1. 易错点二 运用换底公式不熟练致误 log29×log34＝( ) 1A. 4C．2

1B． 2D．4

xyxy易错分析 本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误．

答案 D

正解 log29×log34＝

一、单项选择题

1．log225×log522＝( ) A．3 C．5 答案 A

lg 25

解析 log225×log522＝lg 2×

3

2lg 52lg 2

＝lg 2×lg 5＝3. B．4 D．6

lg 9lg 42lg 32lg 2

×＝×＝2×2＝4. lg 2lg 3lg 2lg 3

1

2．若log5×log36×log6x＝2，则x等于( )

3A．9 C．25 答案 D

－lg 3lg 6lg x解析 由换底公式，得原式＝××＝2，

lg 5lg 3lg 6

1

B． 9D．1 25

∴lg x＝－2lg 5，x＝5＝

－2

1. 25

3. A．lg 3 C．

1 lg 3

等于( )

B．－lg 3 D．－

1 lg 3

答案 C 解析 原式＝选C.

4．化简 A．2 C．－2 答案 B 解析 ∵

log23

2

1

＝log310＝lg 3.

log23

2

1

－4log23＋4＋log2，得( )

3

B．2－2log23 D．2log23－2

－4log23＋4＝log23－2

2

＝2－log23，∴原式＝2

－log23＋log23－1＝2－2log23.

5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，则ab的值等于( ) A．2 C．100 答案 C

解析 ∵lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个实根，∴由根与系数的关－4

系得lg a＋lg b＝－＝2＝lg ab，

2

∴ab＝100.故选C.

6．设log83＝p，log35＝q，则lg 5等于( ) A．p2＋q2 C.

3pq

1＋3pq1

B．(3p＋2q) 5D．pq 1B． 2D．10

答案 C 解析 ∵log83＝

lg 3lg 3lg 5

＝＝p，∴lg 3＝3plg 2.∵log35＝＝q，∴lg lg 83lg 2lg 3

3pq，故选C. 1＋3pq5＝qlg 3＝3pqlg 2＝3pq(1－lg 5)，∴lg 5＝

7．已知2a＝3b＝k(k≠1)，且2a＋b＝ab，则实数k的值为( ) A．6 C．12 答案 D

11

解析 ∵2a＝3b＝k(k≠1)，∴a＝log2k，b＝log3k，∴＝logk2，＝logk3，

B．9 D．18

ab21

∵2a＋b＝ab，∴＋＝2logk3＋logk2＝logk9＋logk2＝logk18＝1，∴k＝18.

ba8

8．已知2x＝3，log4＝y，则x＋2y等于( )

3A．3 C．4 答案 A

88

解析 ∵2x＝3，∴x＝log23.又log4＝y，∴x＋2y＝log23＋2log4＝log23＋

3313

2(log48－log43)＝log23＋2log22－log23＝log23＋3－log23＝3.故选A.

22

二、多项选择题

9．下列各等式正确的是( ) A．log23×log25＝log2(3×5) B．lg 3＋lg 4＝lg (3×4) C．log2＝log2x－log2y

1nD．lg m＝ lg m(m>0，n>1，n∈N*)

B．8 D．log48

xyn答案 BD

解析 对于A，log23＋log25＝log2(3×5)，不正确；对于B，正确；对于C，

1n当x，y均为负数时，等式右边无意义；对于D，lg m＝lg m符合对数的运算

n法则，正确．故选BD.

10．若ab>1，则下列等式中正确的是( ) A．lg (ab)＝lg a＋lg b 1aa2

C.lg ＝lg 2bb答案 CD

解析 当a<0，b<0时，A，B不成立，C，D均正确．故选CD. 11．已知x，y为正实数，则下列各式正确的是( ) A．2ln x＋ln y＝2ln x＋2ln y C．2ln x·ln y＝(2ln x)ln y 答案 CD

解析 因为2ln x＋ln y＝2ln x·2ln y＝2ln (xy)，D正确；(2ln x)ln y＝2ln x·ln y，C正确．故选CD.

12．若a>0，a≠1，x>0，n∈N*，则下列等式中正确的是( ) A．(logax)＝nlogax 1nC.logax＝logax

naB．lg ＝lg a－lg b

bD．lg (ab)＝

1

logab10

B．2ln (x＋y)＝2ln x·2ln y D．2ln (xy)＝2ln x·2ln y

B．logax＝－loga

1

xnD．

logaxn＝logax

n答案 BD

解析 根据对数的运算性质logaMn＝nlogaM(M>0，a>0，且a≠1)，可知B，D正确．

三、填空题

13．已知x>0，y>0，若2x·8y＝16，则x＋3y＝________，＝________.

答案 4 2

解析 ∵2·8＝16，∴x＋3y＝4，∴

xy＋log927＝2·

y－1

3y＋2＝x＋3y2＝2.

14．方程log2x＋答案 1

解析 原方程可变为log2x＋log2(x＋1)＝1， 即log2[x(x＋1)]＝1，∴x(x＋1)＝2，

1log

x＋1

2

＝1的解是x＝________.

x>0，

解得x＝1或x＝－2.又x＋1>0，

x＋1≠1，

则αβ＝________.

答案

1 35

即x>0，∴x＝1.

15．如果方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0的两根是α，β，

解析 方程(lg x)2＋(lg 7＋lg 5)lg x＋lg 7×lg 5＝0可以看成关于lg x的二次方程．

∵α，β是原方程的两根，

∴lg α，lg β可以看成关于lg x的二次方程的两根． 由根与系数的关系，得

lg α＋lg β＝－(lg 7＋lg 5)＝－lg 35＝lg ∴lg (αβ)＝lg α＋lg β＝lg 即αβ＝

1. 35

*

1， 35

1， 35

16．设f(n)＝logn＋1(n＋2)(n∈N)，现把满足乘积f(1)f(2)…f(n)为整数的

n称为“贺数”，则在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数是________．

答案 9

解析 f(n)＝logn＋1(n＋2)＝∴f(1)f(2)…f(n)＝

lg lg

n＋2

，

n＋1

n＋2lg n＋2

＝＝log2(nn＋1lg 2

lg 3lg 4lg

··…·lg 2lg 3lg

＋2)．

∵n∈(1,2020)，∴n＋2∈(3,2022)， ∵210＝1024,211＝2048，

∴在(3,2022)内含有22,23，…，210共9个2的整数次幂，故在区间(1,2020)内所有“贺数”的个数为9.

四、解答题

17．求值：(1)lg5＋lg20；

(2)log×log2732－(3－1)lg 1＋log535－log57； (3)(log43＋log83)(log32＋log92)．

解 (1)lg 5＋lg 20＝lg 100＝lg 10＝1. (2)log×log2732－(3－1)lg 1＋log535－log57＝＝

2lg 35lg 210

×－1＋1＝. 3lg 23lg 39

lg 3lg 3lg 2lg 2

＋＋·＝(3)(log43＋log83)(log32＋log92)＝

lg 4lg 8lg 3lg 9lg 3lg 3lg 2lg 211115

＋＋＝＋＋＋＝. 2lg 23lg 2lg 32lg 3243

18．已知loga(x2＋4)＋loga(y2＋1)＝loga5＋loga(2xy－1)(a>0，且a≠1)，求log8的值．

解 原等式可化为

loga[(x2＋4)(y2＋1)]＝loga[5(2xy－1)]， ∴(x2＋4)(y2＋1)＝5(2xy－1)． 整理，得x2y2＋x2＋4y2－10xy＋9＝0， 配方，得(xy－3)2＋(x－2y)2＝0， xy＝3，∴

x＝2y.

lg 9lg 3235

×－1＋log5

lg 8lg 277

yx

y1∴＝. x2

y11∴log8＝log8＝－.

x23

19．设0解 由已知条件，得

3logaylogax＋3logxa－logxy＝logax＋－＝3，

logaxlogax323

logx－＋. 所以logay＝(logax)－3logax＋3＝a24

2

2

时，logay4

33

当logax＝时，logay有最小值.

24此时y＝故

1

所以a＝. 4

20．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z,2x＝py. (1)求p；

1

(2)求证：－＝.

zx2y解 (1)设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)， 则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k， 由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·∵log3k≠0，∴p＝2log34.

1111

(2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝，

zxlog6klog3k22y1

∴－＝. zx2y

223，所以有loga＝， 444

11

log3k， log34

11

11