中考专项复习--直角三角形

龙文教育学科教师辅导讲义

课 题 教学目标 重点、难点 直角三角形 1、 熟练掌握勾股定理及其应用 2、 学会处理直角三角形边与角的关系 学会用直角三角形的相关性质解决实际问题 教学内容 直角三角形

知 识 结 构

直角 三角形 边 角 线 判定 a2b2c2 黄金 直角 三角形 等腰 直角 三角形 a:b:c1:3:2a:b:c1:1:2 CD=AD=BD (斜边上的中线等于斜边的一半) 两 锐应用： 角①斜边上的中线把Rt互△分成两等腰三角余 形； ②等腰Rt△斜边上的中线把它分为两个全等的等腰Rt△。 ①若∠A+∠B=90°，则△ABC为Rt△; ②若abc， 则△ABC为Rt△; ③若CD=AD=BD， 则△ABC为Rt△; 222

类型一、勾股定理及其应用 基础检测：

1．直角三角形的两边长分别是6，8，则第三边的长为（ ）。 A．10 B．22 C．10或27 D．无法确定

2．如图网格中一个四边形ABCD，•若小方格正方形的边长为1，•则四边形ABCD的周长是_________。 3．若直角三角形的两直角边比为3：4，斜边长为20，则此三角形的面积为 。

4．一长2.5米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子底距墙底端0.7米，如果梯子的底端沿墙下滑0.4米，那么梯子底端将滑出 米。

5．等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）。

A.顶角的2倍 B. 顶角的一半 C. 顶角 D. 底角的一半 典型例题：

例1．长、宽、高分别是30m,24m,18m的长方体盒子，盒子内最多能放多长的棍子 。

例2．若直角三角形的两直角边为7和24，在三角形内有一点P到三边的距离相等，这个距离为 。

1

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例3．直角三角形周长是26，斜边上的中线为1，则这个直角三角形的面积为（ ）。

A．

1111 B． C． D． 5432例4．如图1是一个棱长为4cm的正方体盒子，一只蚂蚁在D1C1的中点M处，它到 BB1的中点N的最短路线是（ ）。

A．8 B．26 C．210 D．2+25 例5．如图14，大江的一侧有A、B两个工厂，它们有垂直于江边的小路，长度分别

为3千米和1千米，设两条小路相距4千米，现在要在江边建立一个抽水站，把水送到A、B两厂去，欲使供水管路最短，抽水站应建在哪里？

针对练习：

1．如图所示，有一个透明的圆柱状的玻璃杯，由内部测得其底面半径为3cm，高为8cm，今有

一只12cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为 。

2．如图所示的一只玻璃杯，最高为8cm，将一根筷子插入其中，杯外最长4厘米，•最 短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是_________厘米。 3．在直角三角形中，若两直角边a,b满足ab17,ab60,则斜边长为 。 4．如图是2002年8月在北京召开的第24届国际数学家大会的会标,它是由四个全等的直

角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积为13,小正方形的面积是

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1,直角三角形较长的直角边为a,较短的直角边为b,则a+b的值等于________; 5．如图：有一圆柱，它的高等于8cm，底面直径等于4cm（3）

在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与A相对的B点处的食物， 需要爬行的最短路程大约（ ）

A、10cm B、12cm C、19m D、20cm A 个正方形面积依次是S1,S2,S3,S4,则S1S2S3S4 。

3 2 1 S3 S4 S2 S1 L

类型二、特殊Rt△的边角关系

基础检测：

1、三角形三个角的度数之比为1：2：3，它的最大边长等于16cm，则最小边长是 cm 2、如图，C、D是两个村庄，分别位于一个湖的南、北两端的A•和B的正东方向上，且D位于C的北偏东30°方向上，CD=6km，则AB=_______km．

2

B 6．在直线l上依次放着七个正方形，如图所示，已知斜放置地三个的正方形的面积分别是1，2，3，正放着的四

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3．边长为1的等边三角形的面积是（ ） A.3 B.

33 C.23 D. 244、在△ABC中，AB=12cm， BC=16cm， AC=20cm， 则△ABC的面积是( ) A、96cm B、120cm C、160cm D、200cm

5、直角三角形有一条直角边的长为11，另外两边的长也是正整数，则此三角形的周长是（ ） A、120 B、121 C、132 D、123

典型例题： 例1．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120度，AD⊥AC，DC＝5，则BD＝ 。

例2．如图，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD=2AB，若沿过点D的折痕DE将A角翻折，使点A落在BC上的A1处，则∠EA1B=_________度．

例3．如图，矩形纸片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△EBD•落在同一平面内），则A、E两点间的距离为________．

例4．在四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，∠ADC=60°，AB=2，BC=11，求BD的长。

例5．如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是_________；△BPD的面积是_________。

例6．如图，在△ABC中，C90°，ACBC，点D在BC上，BD4，ADC60．求DC、AC的长．

3

2

2

2

2

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例7．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域. (1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ 北 (2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？

E F

东 B A

针对练习：

1．直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边上的高hc1，则三边的长分别为（ ）。 A．a3,b2,c7 B．a2,b2343,c33

C．a2343 D．a23,b2,c4 ,b2,c332．如图，将一张矩形纸片ABCD如图所示折叠，使顶点C落在C点． 已知AB2，DEC30，则折痕DE的长为（ ）。

A.2 B.23 C.4 D.1

3．一个等腰三角形的底角为15°，腰长为4cm，那么，该三角形的面积等于_________。

4．小刘同学为了测量学校教学楼的高度，如图，她先在A处测得楼顶C的仰角为30°，再向楼的方向直行50米到达B处，又测得楼顶C的仰角为60，请你帮助小刘计算出学校教学楼的高度（小刘的身高忽略不计）．

C 60 30° A 50米 B O

5．如图,装修师傅装修一间房子，在两墙之间有一个底端在M点的梯子,当它靠在一

AD侧墙上时,梯子的顶端在A点;当它靠在另一侧墙上时梯子的顶端在D点.已知∠AMB=60°，∠DMC=45°，点A到地面的垂直距离为4米，求两墙之间的距离。

4

BMC

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6．一艘货轮向正北方向航行，在A处测得灯塔M在北偏西30，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45，问该货轮到达灯塔正东方D处时，货轮与灯塔M的距离是多少？（结果可用根号）

7．如图在RtABC中,B90,C30, AB12厘米,点P从点A出发沿线路AB—BC作匀速运动，点Q从AC的

中点D同时出发沿线路DC—CB作匀速运动逐步靠近点P, 设P,Q两点运动的速度分别为1厘米/秒、a厘米/秒（a1），它们在t秒后于BC边上的某一点相遇.

A⑴求出AC与BC的长度.

P⑵若以D,E,C为顶点的三角形是Rt△,试分别求出a与t的值.

DQ

C B

类型三、综合探究 基础检测：

1．等腰直角三角形中，若斜边和斜边上的高的和是6cm，则斜边长是 cm。

2．直角三角形的一条直角边比斜边上的中线长2cm，且斜边为8cm，则两直角边的长分别为（ ）。 A．6，10 B．6，27 C．4，43 D．2，215

典型例题：

例1．如图所示，一根长2a的木棍（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，设木棍的中点为P。若木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行。

（1）请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由。

N （2）在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，△AOB的面积最大？简述理

A 由，并求出面积的最大值。

P

O B M

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