北京市2019年中考数学专题练习题精选提分专练三二次函数综合题(含答案)

提分专练(三) 二次函数综合题

(18年 26题)

|类型1| 与角度有关的取值范围的确定

1.[2018·石景山一模] 在平面直角坐标系xOy中,将抛物线G1:y=mx+2

2

(m≠0)向右平移个单位长度后得到抛物线

G2,点A是抛物线G2的顶点.

(1)直接写出点A的坐标;

(2)过点(0,)且平行于x轴的直线l与抛物线G2交于B,C两点.

①当∠BAC=90°时,求抛物线G2的表达式; ②若60°<∠BAC<120°,直接写出m的取值范围.

2.[2018·燕山一模] 如图T3-1①,抛物线y=ax+bx+c(a>0)的顶点为M,直线y=m与抛物线交于点A,B,若△AMB为等腰直角三角形,我们把抛物线上A,B两点之间的部分与线段AB围成的图形称为该抛物线对应的准碟形,线段AB称为碟宽,顶点M称为碟顶.

2

①

②

③

图T3-1

(1)由定义知,取AB中点N,连接MN,MN与AB的关系是 .

(2)抛物线y=x对应的准碟形必经过B(m,m),则m= ,对应的碟宽AB是 .

2

(3)抛物线y=ax-4a-(a>0)对应的碟宽在x轴上,且AB=6.

2

①求抛物线的解析式.

②在此抛物线的对称轴上是否有这样的点P(xp,yp),使得∠APB为锐角?若有,请求出yp的取值范围;若没有,请说明理由.

|类型2| 与线段有关的取值范围的确定

3.[2018·延庆一模] 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax-4ax+3a(a>0)与x轴交于A,B两点(A在B的左侧).

2

图T3-2

(1)求抛物线的对称轴及点A,B的坐标;

(2)点C(t,3)是抛物线y=ax-4ax+3a(a>0)上一点(点C在对称轴的右侧),过点C作x轴的垂线,垂足为点D.

2

①当CD=AD时,求此抛物线的表达式; ②当CD>AD时,求t的取值范围.

4.[2018·西城一模] 在平面直角坐标系xOy中,抛物线G:y=mx+2mx+m-1(m≠0)与y轴交于点C,抛物线G的顶点为D,直线l:y=mx+m-1(m≠0).

2

图T3-3

(1)当m=1时,画出直线l和抛物线G,并直接写出直线l被抛物线G截得的线段长. (2)随着m取值的变化,判断点C,D是否都在直线l上并说明理由.

(3)若直线l被抛物线G截得的线段长不小于2,结合函数的图象,直接写出m的取值范围.

|类型3| 与图象平移相关的取值范围的确定

5.[2018·海淀一模] 在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=x-2ax+b的顶点在x轴上,P(x1,m),Q(x2,m)(x12

①当m=b时,求x1,x2的值;

②将抛物线沿y轴平移,使得它与x轴的两个交点间的距离为4,试描述出这一变化过程;

(2)若存在实数c,使得x1≤c-1,且x2≥c+7成立,则m的取值范围是 .

6.[2018·大兴一模] 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x-(3m+1)x+2m+m(m>0)与y轴交于点C,与x轴交于点

2

2

A(x1,0),B(x2,0),且x1(1)求2x1-x2+3的值;

(2)当m=2x1-x2+3时,将此抛物线沿对称轴向上平移n个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC的内部(不包括△ABC的边),求n的取值范围(直接写出答案即可).

|类型4| 与图象翻折相关的取值范围的确定

7.[2018·怀柔一模] 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=nx-4nx+4n-1(n≠0)与x轴交于点C,D(点C在点D的左侧),与y轴交于点A.

2

图T3-4

(1)求抛物线顶点M的坐标;

(2)若点A的坐标为(0,3),AB∥x轴,交抛物线于点B,求点B的坐标;

(3)在(2)的条件下,将抛物线在B,C两点之间的部分沿y轴翻折,翻折后的图象记为G,若直线y=x+m与图象G有一个交点,结合函数的图象,求m的取值范围.

8.[2018·门头沟一模] 有一个二次函数满足以下条件:

图T3-5

①函数图象与x轴的交点坐标分别为A(1,0),B(x2,y2)(点B在点A的右侧); ②对称轴是直线x=3; ③该函数有最小值-2.

(1)请根据以上信息求出二次函数表达式;

(2)将该函数图象x>x2的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”,平行于x轴的直线与图象“G”相交于点C(x3,y3),D(x4,y4),E(x5,y5)(x39.[2018·平谷一模] 在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-x+2bx-3的对称轴为直线x=2.

2

图T3-6

(1)求b的值;

(2)在y轴上有一动点P(0,m),过点P作垂直于y轴的直线交抛物线于点A(x1,y1),B(x2,y2),其中x1①当x2-x1=3时,结合函数图象,求出m的值;

②把直线PB下方的函数图象沿直线PB向上翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象W,新图象W在0≤x≤5

时,-4≤y≤4,求m的取值范围.

参

1.解:(1)A(,2).

(2)①如图所示,由题意可得AD=2-=.

∵∠BAC=90°,AB=AC, ∴∠ABD=∠BAD=45°.

∴BD=AD=.

∴点B的坐标为(0,).

由点B在抛物线G2上,

可得m=-.

∴抛物线G2

2的表达式为y=-(x-)+2

,

即y=-x2

+2x+.

②-2.解:(1)MN与AB的关系是MN⊥AB,MN=AB. (2)m=2,对应的碟宽AB是4.

(3)①由已知,抛物线必过(3,0),将其坐标代入y=ax-4a-(a>0),得9a-4a-=0,

2

解得a=,

∴抛物线的解析式是y=x2-3.

②由①知,当P(0,3)或P(0,-3)时,∠APB为直角,

∴在此抛物线的对称轴上有这样的点P,使得∠APB为锐角,yp的取值范围是yp<-3或yp>3.

3.解:(1)对称轴:直线x=2,

A(1,0),B(3,0).

(2)①如图,∵AD=CD,

∴AD=3,

∴C点坐标为(4,3).

将C(4,3)的坐标代入y=ax-4ax+3a,

2

∴3=16a-16a+3a, ∴a=1,

∴抛物线的表达式为:y=x2-4x+3.

②34.解:(1)当m=1时,抛物线G的函数表达式为y=x+2x,直线l的函数表达式为y=x. 画出的两个函数的图象如图所示.

2

截得的线段长为.

2

(2)∵抛物线G:y=mx+2mx+m-1(m≠0)与y轴交于点C,∴点C的坐标为(0,m-1).

∵y=mx2+2mx+m-1=m(x+1)2-1,

∴抛物线G的顶点D的坐标为(-1,-1).

对于直线l:y=mx+m-1(m≠0),

当x=0时,y=m-1,∴点C(0,m-1)在直线l上; 当x=-1时,y=m×(-1)+m-1=-1.

∴点D(-1,-1)在直线l上,

∴无论m取何值,点C,D都在直线l上.

(3)m的取值范围是m≤-2

或m≥.

5.解:∵抛物线y=x-2ax+b的顶点在x轴上,

∴=0.∴b=a2.

(1)∵a=1,∴b=1.

∴抛物线的解析式为y=x2-2x+1. ①∵m=b=1,∴x2-2x+1=1,

解得x1=0,x2=2.

②依题意,设平移后的抛物线为y=(x-1)2+k.

∵抛物线的对称轴是直线x=1,平移后与x轴的两个交点之间的距离是4, ∴(3,0)是平移后的抛物线与x轴的一个交点, ∴(3-1)2+k=0,即k=-4.

∴变化过程是:将原抛物线向下平移4个单位.

(2)m≥16.

6.解:(1)解关于x的一元二次方程x-(3m+1)x+2m+m=0,得x=2m+1或x=m.

2

2

∵m>0,x12x1-x2+3=2m-2m-1+3=2.

(2)符合题意的n的取值范围是(3)∵抛物线y=nx-4nx+4n-1(n≠0)与y轴交于点A(0,3),

2

∴4n-1=3,∴n=1,

∴抛物线的表达式为y=x2-4x+3,

则G的表达式为y=x+4x+3(-4≤x≤-1).

2

令x+m=x+4x+3.

2

由Δ=0,得:m=-.

∵抛物线y=x2-4x+3与x轴的交点C的坐标为(1,0), ∴点C关于y轴的对称点C1的坐标为(-1,0).

把(-1,0)代入y=x+m,得:m=.

点B关于y轴的对称点B1的坐标为(-4,3),

把(-4,3)代入y=x+m,得:m=5.

∴所求m的取值范围是m=-或8.解:(1)由已知条件可知该函数图象的顶点坐标为(3,-2), 设二次函数表达式为y=a(x-3)-2,

2

∵该图象过A(1,0),

∴0=a(1-3)2-2,解得a=,

∴表达式为y=(x-3)2-2.

(2)图象略.

由已知条件可知直线与图象“G”要有三个交点,

①当直线与x轴重合时,有2个交点,由二次函数图象的对称性可求x3+x4=6,

∴x3+x4+x5>11;

②当直线过y=(x-3)2-2的图象顶点时,有2个交点,

由翻折可以得到翻折后的函数图象为y=-(x-3)+2,

2

∴令-(x-3)2+2=-2,

解得x=3+2或x=3-2(舍去),

∴x3+x4+x5<9+2.

综上所述,112

.

9.解:(1)∵抛物线y=-x+2bx-3的对称轴为直线x=2,

∴b=2.

(2)①抛物线的表达式为y=-x+4x-3.

2

∵直线AB平行于x轴,∴A(x1,y),B(x2,y). ∵x2-x1=3,∴AB=3.

∵对称轴为直线x=2,∴AP=.

∴当x=时,y=m=-.

②当y=m=-4时,0≤x≤5时,-4≤y≤1;

当y=m=-2时,0≤x≤5时,-2≤y≤4;

∴m的取值范围为-4≤m≤-2.