理科数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分,考试用时120分钟。
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相
关信息填写在答题卡指定区域内。
2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案;不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。 4.考生必须保持答题卡的整洁。 X x1 x2 … xi … xn 参考公式:
P p1 p2 … pi … pn 一般地,若离散型随机变量X的分布列为
则E(X)x1p1x2p2...xipi...xnpn.
第一部分 选择题(共40分)
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分. 在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的) 1.若复数
2ai(aR)是纯虚数(i是虚数单位),则a的值为(*) 1iA.2 B.1 C.1 D.2
22.随机变量服从正态分布N(40,),若P(30)0.2,则P(3050)(*)
A.0.2 B.0.4 C.0.6 D.0.8 ks5u
3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻, 不同的排法共有(*) A.1440种 C.720种
B.960种 D.480种
4.一个正方体的展开图如图所示,A、B、C、D为原正方体的 顶点,则在原来的正方体中(*) A.AB//CD C.ABCD
B.AB与CD相交
D.AB与CD所成的角为60
5.对命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想出:正四面体的内切球切于四面都为正三角形的什么位置?(*) A.正三角形的顶点 C.正三角形各边的中点
B.正三角形的中心 D.无法确定
6.甲、乙两队进行排球决赛,现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军,乙队需要再赢两
局才能得冠军. 若两队胜每局的概率相同,则甲队获得冠军的概率为(*) A.
1 2B.
3 5C.
2 3D.
3 4x2y27.已知双曲线221(a0,b0),两渐近线的夹角为60,则双曲线的离心率为(*)
ab2323 B.3 C.2 D.或2 338.设函数f(x)(xa)(xb)(xc),(a,b,c是互不相等的常数),则
A.abc等于(*) f(a)f(b)f(c)A.0
B.1
C.3
D.abc
第二部分 非选择题(110分)
二、填空题:本题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,共30分 (一)必做题(9~13题)
9.曲线ylnx1在点(e,2)的切线方程是 * . 10.随机变量ξ的分布列如右图,其中a,b,
则E() * .
1成等差数列, 2ξ P -1 a 0 b 1 1 2111.2x3的展开式中常数项的值是 * .(用数字作答)
x12.[n]表示不超过n的最大整数. ks5u
7S1[1][2][3]3S2[4][5][6][7][8]10S3[9][10][11][12][13][14][15]21那么S5 * .
x2y21的右焦点重合,13.已知抛物线y2px的焦点F与双曲线抛物线的准线与x792轴的交点为K,点A在抛物线上且|AK|2|AF|,则△AFK的面积为 * . (二)选做题(14、15题,考生只能从中选做一题. 请先用2B铅笔把答题卡上对应题号的标号涂黑,然后把答案填在横线上.)
14.(坐标系与参数方程选讲选做题) 在极坐标系中,已知点
A(1,3)和B(2,),则A、B两点间的距离是 * . 4415.(几何证明选讲选做题) 如图,A,B是两圆的交点,AC是小圆的直径,D和E分别是CA
和CB的延长线与大圆的交点,已知AC=4,BE=10,且BC=AD,则DE= * .
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分) 先后掷两颗均匀的骰子,问
(1)至少有一颗是6点的概率是多少?
(2)当第一颗骰子的点数为3或6时,求两颗骰子的点数之和大于8的概率.
17.(本小题满分14分)
甲、乙两位篮球运动员进行定点投篮,甲投篮一次命中的概率为率为
1,乙投篮一次命中的概22.每人各投4个球,两人投篮命中的概率互不影响. 3(1)求甲至多命中1个球且乙至少命中1个球的概率;
(2)若规定每投篮一次命中得3分,未命中得1分,求乙所得分数的概率分布和数学期望. ks5u
18.(本小题满分14分)
如图,在圆锥PO中,已知PO2,⊙O的直径AB2,
C是AB的中点,D为AC的中点.
(1)证明:平面POD平面PAC; (2)求二面角BPAC的余弦值.
19.(本小题满分12分)
数列{an}满足Sn2nan(nN*).
(1)计算a1,a2,a3,a4,由此猜想通项公式an,并用数学归纳法证明此猜想; (2)若数列{bn}满足bn2n1an,求证:
20.(本小题满分14分)
1115. b1b2bn3x2y2已知椭圆C1:221(ab0)与直线xy10相交于A、B两点.
ab(1)若椭圆的半焦距c3,直线xa与yb围成的矩形ABCD的面积为8,
求椭圆的方程;
11(2)若OAOB0(O为坐标原点),求证:222;
ab(3)在(2)的条件下,若椭圆的离心率e满足ks5u
21.(本小题满分14分) 已知函数f(x)32,求椭圆长轴长的取值范围. e321ln(x1)(x0). x(1)函数f(x)在区间(0,)上是增函数还是减函数?证明你的结论; (2)当x0时,f(x)k恒成立,求整数k的最大值; x12n3(3)试证明:(112)(123)(134)[1n(n1)]e(nN).
*2012—2013学年(下)高二级第二学段模块考试·理科数学
答案及说明
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. 2 3 4 5 6 7 题号 1 答案 D C A D B D D 8 A 二、填空题:本大题共7小题,考生作答6小题,每小题5分,满分30分.
11x1 10. 11.14 12. 55 e313.32 14.5 15. 63
9.y三、解答题:本大题共6小题,满分80分. 16.(本小题满分12分) 解:(1)设x为掷第一颗骰子得的点数,y为掷第二颗骰子得
的点数,则所有可能的事件与点(x,y)建立对应如图,共有6636种不同情况,它们是等可能
的. …………2分 设事件A为“至少有一颗是6点”,则事件A共包含11种不同情况, …………3分
11
∴P(A)=36. …………5分 (2)设事件B为“第一颗骰子的点数为3或6”,事件C为“两
颗骰子的点数之和大于8”,由图可知
1215,P(BC) ks5u…………9分 363365P(BC)365P(C|B) …………12分
112P(B)3则P(B)17.(本小题满分14分) 解:(1)设“甲至多命中1个球””为事件A,“乙至少命中1个球”为事件B,……1分 由题意得,P(A)()C4()()145 1616162180P(B)1(1)41 …………5分
381814113121212∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为
58025 …………6分 168181(2)乙所得分数的可能取值为4,0,4,8,12,…………7分
8 2 1412412132212则P(4)(),P(0)C4()(),P(4)C4()(),
38133813381322163231P(8)C4()(),P(12)()4 …………11分
3381381分布列如下:
4 12 0 4 8 24183216 P 8181818181P(AB)P(A)P(B)…………13分
1824321620E404812 …………14分
8181818181318.(本小题满分14分)
解法1:(1)连结OC,因为OAOC,D是AC中点,所以ACOD
又PO底面⊙O,AC底面⊙O,所以ACPO, …………2分 因为OD,PO是平面POD内的两条相交直线,所以AC平面POD …………4分 而AC平面PAC,所以平面POD平面PAC. …………6分
(2)在平面POD中,过O作OHPD于H,
由(1)知,平面POD平面PAC,平面POD平面PAC=PDks5u 所以OH平面PAC,又PA面PAC,所以PAOH.
在平面PAO中,过O作OGPA于G,连接HG,OGOHO PA平面OGH,
从而PAHG,故OGH为二面角BPAC的平面角 …………9分 在RtODA中,ODOAsin452. 22POOD210. 在RtPOD中,OH51PO2OD222POOA216. 在RtPOA中,OG22213POOA10OH155RtOHG中,sinOGH. 在
OG5631510所以cosOGH1sin2OGH1. …………13分
25510故二面角BPAC的余弦值为. …………14分
5解法2:如图所示,以O为坐标原点,OB,OC,OP所在直线分别为x轴、y轴,z轴建立
2空间直角坐标系,则
O(0,0,0),A(1,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),
11D(,,0) …………2分
22(1)设n1(x1,y1,z1)是平面POD的一个法向量,
11xy10,12 则由n1OD0,n1OP0,得22z0.1所以z10,x1y1,取y11得n1(1,1,0) ks5u ………4
分
设n2(x2,y2,z2)是平面PAC的一个法向量,
x22z20, 则由n2PA0,n1PC0,得y22z20.所以x22z2,y22z2,取z21,得n2(2,2,1) …………6分
因为n1n2(1,1,0)(2,2,1)0,所以n1n2
从而平面POD平面PAC …………8分
y(2)因为轴平面PAB,所以平面PAB的一个法向量为n3(0,1,0)
由(1)知,平面PAC的一个法向量为n2(2,2,1)
n2n3210cos …………13分 设向量n2和n3的夹角为,则
55n2n3所以二面角BPAC的余弦值为
10. …………14分 519.(本小题满分12分) 解:(1)当n=1时,a1=S1=2-a1,∴a1=1.
3
当n=2时,a1+a2=S2=2×2-a2,∴a2=. …………1分
2
7
当n=3时,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,∴a3=. 4
15
当n=4时,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,∴a4=. …………2分
8
n
2-1
由此猜想an=n-1(n∈N*). …………4分
2
现用数学归纳法证明如下:
21-1
①当n=1时, a1=0=1,结论成立.
2
2k-1*
②假设n=k(k≥1且k∈N)时,结论成立,即ak=k-1,那么当n=k+1时,
2
ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1,
2k-12+k-1+
22+ak2k1-1
∴2ak+1=2+ak,∴ak+1===,故当n=k+1时,结论成立,
222k2n-1
由①②知猜想an=n-1(n∈N*)成立. …………8分
2(2)由(1)知,bn2n1an2n12n111n12n1,n. …………9分 2bn21112n11解法1:当n3时,n bn21(2n1)(2n11)2n111 ………10nn1n1n(21)(21)2121分
11111111111()()(n1n) b1b2bn3377152121515n. ………12分 32131n12解法2:当n2时,()(),
2211111n2 ………10bn2n[1(1)n]2n[1(1)2]3222分
111111111(012n2) b1b2bn32222解法3: 当n3时,
1bn111b1b2bn1n15121211(1n1). ………12分
3311322111 …………10分 nnn2n2221222(21)111 2n21212111111234n 212121212111111234 2nn22121222222111112(12n2) 212122211n1511111.………12分 2222121112121113221
20.(本小题满分14分)
a2b23a2解:(1)由已知得: 解得 ks5u …………3分
b14ab8x2y21 …………4分 所以椭圆方程为:42b2xaya2b(2)设,得A(1x,1y),B)2,(x由,yxy1022(a2b2)x22ax( 1a)b02222由2ab(ab1)0,得ab1
222a2a2(1b2)x1x22,x1x22 …………7分 22abab由OAOB0,得x1x2y1y20 …………8分
∴2x1x2(x1x2)10
112 …………9分 a2b2a2c2a2b2222222ebaae, (3)由(2)得b 由,得2222a1aa12∴2a1 …………12分
1e233252e由得a,∴52a6 4232所以椭圆长轴长的取值范围为[5,6] …………14分
即ab2ab0,故
2222
21.(本小题满分14分)
1ln(x1)]x1解:(1)由题x0,f(x)0 …………2分 2x故f(x)在区间(0,)上是减函数 …………3分
kx1[1ln(x1)]在(0,)上恒成立, …4分 (2)当x0时,f(x)恒成立,即kx1xx1x1ln(x1)[1ln(x1)],则h'(x)取h(x), …………5分 xx21x0, …………6分 再取g(x)x1ln(x1),则g(x)1x1x1故g(x)在(0,)上单调递增 而g(1)ln20,g(2)1ln30,g(3)22ln20 故g(x)0在(0,)上存在唯一实数根a(2,3),a1ln(a1)0 …………8分 故当x(0,a)时,g(x)0,h(x)0,当x(a,)时g(x)0,h(x)0 a1故h(x)minh(a)1ln(a1)a1(3,4),k3 故kmax3 ……10分
a1ln(x1)33x33(x0)ln(x1)122 (3)由(2)知xx1x1x1x31123(), …………12分 令xn(n1),ln[1n(n1)]2n(n1)nn1又ln[(112)(123)(134)(1n(n1))] ln(112)ln(123)ln(1n(n1)) 111112n3[(1)()()]223nn1132n3(1)2n32n3 n1n1即 (112)(123)(134)(1n(n1))e2n3 ks5u …………14[分
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