专题3.1 导数以及运算、应用-3年高考2年模拟1年原创备战2018高考精品系列之数学(理)(原卷版)

第三章 导数

专题1 导数以及运算、应用（理科）

【三年高考】

1.【2017课标II，理11】若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为（ ） A.1 B.2e3 C.5e3 D.1 2.【2017课标1，理21】已知函数f(x)ae2x(a2)exx. （1）讨论f(x)的单调性；

（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

3.【2017课标II，理】已知函数fxaxaxxlnx，且fx0。

2(1)求a；

(2)证明：fx存在唯一的极大值点x0，且e2fx022。

4.【2017课标3，理21】已知函数fxx1alnx . （1）若fx0 ，求a的值；

（2）设m为整数，且对于任意正整数n111111m ，求m的最小值. 2222nlnx,0x1,5．【2016年高考四川理数】设直线l1，l2分别是函数f(x)= 图象上点P1，P2处的切线，

lnx,x1,l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是( )

（A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞)

6．【2016高考新课标2理数】若直线ykxb是曲线ylnx2的切线，也是曲线yln(x1)的切线，则b ．

7．【2016高考新课标3理数】设函数f(x)acos2x(a1)(cosx1)，其中a0，记|f(x)|错误！未找到引用源。的最大值为A． （Ⅰ）求f(x)； （Ⅱ）求A；

（Ⅲ）证明|f(x)|2A．

8．【2016高考新课标1卷】已知函数错误！未找到引用源。有两个零点. (I)求a的取值范围；

(II)设x1,x2是fx错误！未找到引用源。的两个零点,证明：x1x22.

9.【2015高考福建，理10】若定义在R上的函数fx 满足f01 ，其导函数fx 满足

fxk1 ，则下列结论中一定错误的是（ ）

A．f11 B．kk11 C．fkk111 D． fk1k1k1 fk1k110.【2015高考新课标1，理12】设函数f(x)=ex(2x1)axa,其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)(A)[-0，则a的取值范围是（ ）

33，1） (B)[-错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。） (C)[错误！未找到引用源。，

42e错误！未找到引用源。） (D)[错误！未找到引用源。，1）

311.【2015高考新课标1，理21】已知函数f（x）=xax1,g(x)lnx. 4(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线yf(x) 的切线；

（Ⅱ）用min m,n 表示m,n中的最小值，设函数h(x)minf(x),g(x)点的个数. 【2017考试大纲】 1.导数概念及其几何意义 (1)了解导数概念的实际背景. (2)理解导数的几何意义. 2.导数的运算

11(1)能根据导数定义求函数yC( C为常数), yx,yx,yx,y,yx2的导数.

x23(x0) ，讨论h（x）零

(2)能利用下面给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数.

• 常见基本初等函数的导数公式：(C)0（C为常数）； (x)nxnn1； (sinx)cosx；

11(a0且a1)； lnx'． (cosx)sinx； ax'axlna； ex'ex； logax'xlnax

• 常用的导数运算法则： 法则 1： uv)'u'v'. 法则 2： (uv)'u'vuv'.

法则 3：‘=3.导数的应用

uvu'vuv'（v0）． v2(1)了解函数单调性和导数的关系； 能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间 (其中多项式函数一般不超过三次).

(2)了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)； 会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次). 4.生活中的优化问题

会利用导数解决某些实际问题. 【三年高考命题回顾】

纵观前三年各地高考试题,导数的几何意义与导数的应用是高考的热点，年年都出题，题型既有选择题、填空题，又有解答题，选择题、填空题，难度中档偏易，解答题作为把关题存在，在考查导数的概念及其运算的基础上，又注重考查解析几何的相关知识． 【2018年高考复习建议与高考命题预测】

由前三年的高考命题形式可以看出 , 导数是研究函数的工具，导数进入新教材之后，给函数问题注入了生机和活力，开辟了许多解题新途径，拓展了高考对函数问题的命题空间．所以把导数与函数综合在一起是顺理成章的事情，对函数的命题已不再拘泥于一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等，对研究函数的目标也不仅限于求定义域，值域，单调性，奇偶性，对称性，周期性等，而是把高次多项式函数，分式函数，指数型，对数型函数，以及初等基本函数的和、差、积、商都成为命题的对象，试题的命制往往融函数，导数，不等式，方程等知识于一体，通过演绎证明，运算推理等理性思维，解决单调性，极值，最值，切线，方程的根，参数的范围等问题，这类题难度很大，综合性强，内容新，背景新，方法新，是高考命题的丰富宝藏．解题中需用到函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、转化与化归思想．因此在2018年高考备考中应狠下功夫,抓好基础,提高自己的解题能力,掌握好解题技巧,特别是构造函数的灵活运用.

由于2017年高考考查了函数的单调性,与零点问题,预测2018年高考仍将以导数的应用为背景设置成的导

数的综合题为主要考点．也有可能利用导数的几何意义出一道中等难度试题，如求切线，或求参数值，恒成立问题,重点考查运算及数形结合能力，以及构造新函数等能力．

【2018年高考考点定位】

高考对导数的考查主要有导数的运算，导数的几何意义，利用导数判断单调性，求最值，证明不等式，证明恒成立，以及存在性问题等，难度较大，往往作为把关题存在． 考点一、导数的基本运算 【备考知识梳理】 1．常见函数的求导公式．

（１）(C)0（C为常数）；（２）(xn)nxn1；（３）(sinx)cosx；（４）(cosx)sinx；（5）

a'axxxxlna；（6）e'e；（7）logax'11(a0且a1)；（8）lnx'． xlnax2．两个函数的和、差、积的求导法则

法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)，即： (uv)'u'v'. 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个 函数乘以第二个函数的导数，即：(uv)'u'vuv'.

若C为常数,则(Cu)'C'uCu'0Cu'Cu'.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数：

(Cu)'Cu'.

法则3两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方：‘=

uvu'vuv'（v0）． v2形如y=f(x)的函数称为复合函数．复合函数求导步骤：分解—求导—回代． 法则：y＇|X= y＇|U ·u＇|X 【规律方法技巧】

(1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；

(2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒等变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量；

(3)复合函数的求导，要正确分析函数的复合层次，通过设中间变量，确定复合过程，然后求导． 【考点针对训练】

2（1）求yx(x11)的导数； xx3（2）求y(x1)(1x1)的导数；

x2xx3x2xx5x9（3）求yxsincos的导数；（4）求y=的导数；（5）求y＝的导数.

22sinxx考点二、导数的几何意义

【备考知识梳理】函数yfx在点x0处的导数的几何意义是曲线yfx在点Px0,fx0处的切线的斜率．也就是说，曲线yfx在点Px0,fx0处的切线的斜率是fx0．相应地，切线方程为

yfx0fx0xx0．

【规律方法技巧】

求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数yfx在xx0的导数，即曲线yfx在点Px0,fx0处切线的斜率；（2）在已知切点Px0,fx0和斜率的条件下，求得切线方程yfx0fx0xx0 特别地，当曲线yfx在点Px0,fx0处的切线平行于y轴时（此时导数不存在），可由切线的定义知切线方程为xx0；当切点未知时，可以先设出切点坐标，再求解. 【考点针对训练】

1. 【安徽省蚌埠市2017届第二次（3月）教学质量检查】已知函数fxxa1ex，曲线yfx上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（ ）

22A. e, B. e,0 C. 11 D. ,2,0 2ee2. 【福建省厦门第一中学2017届高三高考考前模拟】 若曲线C1:yax2(a0) 与曲线C2:yex 存在公共切线，则a的取值范围为（ ）

e2e2e2e2A. 0, B. 0, C. , D. ,

8484

考点三、借助导数研究函数单调性

【备考知识梳理】一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：在某个区间(a,b)内，如果

f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0，那么函数yf(x)在这个区间内

单调递减；

【规律方法技巧】求函数单调区间的一般步骤.（1）求函数f(x)的导数f(x)（2）令f(x)0解不等式，得x的范围就是单调增区间;令f(x)0解不等式，得x的范围就是单调减区间（3）对照定义域得出结论. 【考点针对训练】

1. 【天津市第一中学2017届高三下学期第五次月考】已知定义在R上的奇函数fx满足：当x0时，

fxxsinx，若不等式f4tf2mmt2对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

A. ,2 B. 2,0 C. ,02, D. ,2x222,

2. 【北京市朝阳区2017届高三二模】已知函数fxexx， gxxaxb,a,bR． （Ⅰ）当a1时，求函数Fxfxgx的单调区间；

（Ⅱ）若曲线yfx在点0,1处的切线l与曲线ygx切于点1,c，求a,b,c的值； （Ⅲ）若fxgx恒成立，求ab的最大值． 考点五、借助导数研究函数的极值

【备考知识梳理】若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果

f(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值 【规律方法技巧】求函数的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) .(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值. 【考点针对训练】

1. 【四川省成都市第七中学2017届高三6月1日高考热身】若函数fx有两个极值点，则实数m的取值范围是（ ）

13xeme2x2m1ex13

A. 11,12 B. ,12 C. ,12 D. ,1212, 222. 【北京市朝阳区2017届高三二模】已知函数错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。．

（Ⅰ）若直线错误！未找到引用源。与曲线错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。分别交于错误！未找到引用源。两点.设曲线

错误！未找到引用源。在点错误！未找到引用源。处的切线为错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。在点错误！未找到引用源。处的切线为错误！未找到引用源。.

（ⅰ）当错误！未找到引用源。时，若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的值； （ⅱ）若错误！未找到引用源。，求错误！未找到引用源。的最大值；

（Ⅱ）设函数错误！未找到引用源。在其定义域内恰有两个不同的极值点错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。．若错误！未找到引用源。，且错误！未找到引用源。恒成立，求错误！未找到引用源。的取值范围． 考点五、借助导数研究函数最值

【备考知识梳理】求函数最值的步骤：（1）求出f(x)在(a,b)上的极值.（2）求出端点函数值f(a),f(b). （3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值. 【规律方法技巧】

1、利用导数研究函数的最值问题是要养成列表的习惯，这样能使解答过程直观条理； 2、会利用导函数的图象提取相关信息；

3、极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点，但若函数在开区间内只有一个极值点，则这个极值点也一定是最值点. 【考点针对训练】

1. 【天津市第一中学2017届高三下学期第五次月考】已知函数fxlnx，则函数gxfxf'x在区间2,e上的最大值为__________．

x22. 【辽宁省锦州市2017届高三质量检测（二）】已知函数fxaxxlnab（a， bR， a1），

e是自然对数的底数．

（Ⅰ）当ae， b4时，求函数fx的零点个数； （Ⅱ）若b1，求fx在1,1上的最大值． 【应试技巧点拨】

1. 利用导数求切线问题中的“在”与“过”

在解决曲线的切线问题时，利用导数求切线的斜率是非常重要的一类方法.在求解过程中特别注意：曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的要切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个.因此在审题时应首先判断是“在”还是“过”.若“在”，利用该点出的导数为直线的斜率，便可直接求解；若“过”，解决问题关键是设切点，利用“待定切点法”,即：设点A（x0,y0）是曲线y=f(x)上的一点，则以A为切点的切线方程为y－y0=f/(x0)(xx0),再根据题意求出切点.

2.函数切线的相关问题的解决，抓住两个关键点：其一，切点是交点；其二，在切点处的导数是切线的斜率．因此，解决此类问题，一般要设出切点，建立关系——方程(组)．其三，求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异．过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上；在点P处的切线，点P是切点．

3．函数的导数在其单调性研究的作用：(1)当函数在一个指定的区间内单调时，需要这个函数的导数在这个区间内不改变符号(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，当函数在一个区间内不单调时，这个函数的导数在这个区间内一定变号，如果导数的图象是连续的曲线，这个导数在这个区间内一定存在变号的零点，可以把问题转化为对函数零点的研究．

(2)根据函数的导数研究函数的单调性，在函数解析式中若含有字母参数时要进行分类讨论，这种分类讨论首先是在函数的定义域内进行，其次要根据函数的导数等于零的点在其定义域内的情况进行，如果这样的点不止一个，则要根据字母参数在不同范围内取值时，导数等于零的根的大小关系进行分类讨论，最后在分类解决问题后要整合一个一般的结论．[易错提示] 在利用“若函数fx单调递增，则f'x0”求参数的范围时，注意不要漏掉“等号”．

4．利用导数研究函数的极值与最值：(1)确定定义域． (2)求导数f'x．

(3)①若求极值，则先求方程f'x0的根，再检验f'x在方程根左、右值的符号，求出极值．(当根中有参数时要注意分类讨论根是否在定义域内)

②若已知极值大小或存在的情况，则转化为已知方程f'x0根的大小或存在情况，从而求解． 5．求函数yfx在a,b上的最大值与最小值的步骤 (1)求函数yfx在a,b内的极值；

(2)将函数yfx的各极值与端点处的函数值fa,fb比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个

是最小值．

6.利用导数处理恒成立问题

不等式在某区间的恒成立问题，可以转化为求函数在区间上的最值问题来解决，函数的最值问题的求解，利用求导分析函数单调性是常规途径，例如：①f(x)0f(x)为增函数（f(x)0f(x)为减函数）.②f(x)在区间a,b上是增函数f(x)≥0在a,b上恒成立；f(x)在区间a,b上为减函数

f(x)≤0在a,b上恒成立.

7.利用导数，如何解决函数与不等式大题

在高考题的大题中，每年都要设计一道函数大题. 在函数的解答题中有一类是研究不等式或是研究方程根的情况，基本的题目类型是研究在一个区间上恒成立的不等式(实际上就是证明这个不等式)，研究不等式在一个区间上成立时不等式的某个参数的取值范围，研究含有指数式、对数式、三角函数式等超越式的方程在某个区间上的根的个数等，这些问题依据基础初等函数的知识已经无能为力，就需要根据导数的方法进行解决．使用导数的方法研究不等式和方程的基本思路是构造函数，通过导数的方法研究这个函数的单调性、极值和特殊点的函数值，根据函数的性质推断不等式成立的情况以及方程实根的个数．因为导数的引入，为函数问题的解决提供了操作工具.因此入手大家比较清楚，但是深入解决函数与不等式相结合的题目时，往往一筹莫展.原因是找不到两者的结合点，不清楚解决技巧.解题技巧总结如下

（1）树立服务意识：所谓“服务意识”是指利用给定函数的某些性质（一般第一问先让解决出来），如函数的单调性、最值等，服务于第二问要证明的不等式.

（2）强化变形技巧：所谓“强化变形技巧”是指对于给出的不等式直接证明无法下手，可考虑对不等式进行必要的等价变形后，再去证明.例如采用两边取对数（指数），移项通分等等.要注意变形的方向：因为要利用函数的性质，力求变形后不等式一边需要出现函数关系式.

（3）巧妙构造函数：所谓“巧妙构造函数”是指根据不等式的结构特征，构造函数，利用函数的最值进行解决.在构造函数的时候灵活多样，注意积累经验，体现一个“巧妙”.

1.【西藏日喀则区第一高级中学2017届高三下学期期中】曲线yx2x4在点13，处的切线的倾斜角

3为 ()

A. 30 B. 45 C. 60 D. 120

2. 【2017届陕西省西安市铁一中学高三第五次模拟】已知奇函数fx的导函数为fx，且当x0,时， xfxfxx，若fee，则fx0的解集为（ ）

A. ,e0,e B. e，0e， C. ,10,1 D. 1,01, 3. 【安徽省巢湖市柘皋中学2017届高三最后一次模拟】若倾斜角为的直线l与曲线yx4相切于点

1,1，则cos2sin2的值为（ ）

A. 137 B. 1 C.  D.  25174. 【2017届湖南省衡阳市高三下学期第二次联考】已知函数fxxa1，曲线yfx上存在ex两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是（ ）

22A. e, B. e,0 C. 1, D. 2e12,0 e25. 【云南省民族中学2017届高三适应性考试（六）】设函数fxaxbxc（a， b， cR），若

x1为函数fxex的一个极值点，则下列图象不可能为yfx图象的是（ ）

A. B. C. D.

6. 【福建省厦门第一中学2017届高三高考考前模拟】若曲线C1:yax2(a0) 与曲线C2:yex 存在公共切线，则a的取值范围为（ ）

e2

A. 0, B.

8e2e2e2 C. D. 0,,, 4847. 【天津市第一中学2017届高三下学期第五次月考】已知定义在R上的奇函数fx满足：当x0时，

fxxsinx，若不等式f4tf2mmt2对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（ ）

A. ,2 B. 2,0 C. ,02, D. ,22,

8. 【2017届湖南省郴州市高三第四次质量检测】已知函数错误！未找到引用源。（错误！未找到引用

源。）与函数错误！未找到引用源。有公共切线． （Ⅰ）求错误！未找到引用源。的取值范围；

（Ⅱ）若不等式错误！未找到引用源。对于错误！未找到引用源。的一切值恒成立，求错误！未找到引用源。的取值范围．

44x29. 【2017届陕西省西安市铁一中学高三第五次模拟】已知函数fxklnx，其中常数

kxk0.

（Ⅰ）讨论fx在0,2上的单调性；

（Ⅱ）当k4,时，若曲线yfx上总存在相异两点Mx1,y2,Nx2,y2，使曲线yfx在

M、N两点处的切线互相平行，试求x1x2的取值范围.

10. 【安徽省蚌埠市2017届第二次（3月）教学质量检】．已知函数fxax12axlnxaR．

2（1）求函数fx在区间1,2上的最大值；

（2）若Ax1,y1,Bx2,y2， Cx0,y0是函数fx图象上不同的三点，且x0x1x2，试判断2fx0与

y1y2之间的大小关系，并证明．

x1x2sinx1在点M(,0)处的切线的倾斜角为

4sinxcosx211. 【2016届海南省农垦中学高三考前押题】曲线y（ ）

5 B． C． D． 64361212. 【2016年江西三校第二次联考】设函数fxx9lnx在区间a1,a1上单调递减，则实数a2A．

的取值范围是（ ）

A．1a2 B．a4 C．a2 D．0a3 13. 【河南六市高2016年高三三模】已知函数f(x)个整数解，则实数a的取值范围是（ ）

A．,ln2 B．ln2,ln6 C．ln2,ln6 D．ln6,ln2

333314. 【2016届山西省忻州一中等四校高三下第四次联考】设函数f(x)(Ⅰ)当a1时，求函数f(x)的极值；

ln(2x)，关于x的不等式f2(x)af(x)0只有两x11111a2xaxlnx(aR). 2(a21)mln2f(x1)f(x2) 成立，求实数m的取(Ⅱ)若对任意a(3,4)及任意x1,x2[1,2]，恒有

2

值范围.

15. 【2016届安徽师大附中高三最后一卷】定义在R上的函数fx满足

fxf'12x2x1ex22f0x，gxfx21axa. 224（1）求函数fx的解析式； （2）求函数gx的单调区间；

（3）如果s,t,r满足srtr，那么称s比t更靠近r.当a2且x1时，试比较靠近lnx，并说明理由．

【一年原创真预测】

1. 已知函数f(x)x2m与函数g(x)ln点，则实数m的取值范围是（ ） A．[ln2,2] B．[2ln2,e和ex1a哪个更x113x(x[,2])的图象上至少存在一对关于x轴对称的x25455ln2] C．[ln2,2ln2] D．[2ln2,2] 44122．若方程(2a)(x1)2lnx0在(0,)上无解，则实数a的最小值为（ ） A．26ln2

B．22ln2

2C．2ln2

D．24ln2

3. 已知函数fxaxxlnx存在极值，若这些极值的和大于5ln2，则实数a的取值范围为（ ） A．,4 B．4, C．,2 D．2, 4. 已知函数f(x)alnxbx(a,bR,b0)，函数g(x)alnx221x在点(1,g(1))处的切线与直线2x2y10平行．

（1）讨论函数f(x)的单调性；

（2）当x1时，不等式f(x)(2b1)x(bb)x恒成立，求实数b的值或取值范围． 5. 设函数f(x)lnx. （1）令F(x)f(x)221a（0x3），若F(x)的图象上任意一点P(x0,y0)处切线的斜率k恒成立，

2x求实数a的取值范围；

222（2）当a0时，设函数gx(x2x)fxaxx，且函数gx有且仅有一个零点，若exe，

gxm，求m的取值范围．学？*科网