41．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn是﹣3和3an的等差中项； （Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）若
𝑆1𝑎1𝑎2
⋅
𝑆2
⋅⋯⋅
𝑆𝑛𝑎𝑛
≥𝜆()𝑛(1+
2
31𝑎𝑛
)对任意正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由Sn是﹣3和3an的等差中项，得2Sn＝3an﹣3， 取n＝1，可得a1＝3， 当n≥2时，2Sn﹣1＝3an﹣1﹣3，
两式作差可得：2an＝3an﹣3an﹣1（n≥2）， ∴an＝3an﹣1 （n≥2），
则数列{an}是以3为首项，以3为公比的等比数列， 则𝑎𝑛=3𝑛；
3(1−3)1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，𝑆𝑛=1−3=2(3𝑛+1−3)．
𝑛
∴∴若
𝑆𝑛𝑎𝑛𝑆1
=⋅⋅
32
×(1−⋯
𝑆𝑛𝑎𝑛
13𝑛
)，
𝑛
𝑆2
𝑎1𝑎2𝑆1𝑆2𝑎1𝑎2
1
=()⋅(1−)⋅(1−
2
3
𝑆𝑛𝑎𝑛
31132)⋯(1−
13𝑛)．
⋅⋯⋅
≥𝜆()𝑛(1+
2
31𝑎𝑛
)对任意正整数n恒成立，
即(1−3)⋅(1−只需λ≤
111)⋯(1−)≥𝜆(1+𝑛𝑛)对任意正整数n恒成立， 2333
3
3
11
(1−13)⋅(1−2)⋯(1−𝑛)1+1𝑛3
33
对任意正整数n恒成立，
令bn=
11
(1−13)⋅(1−2)⋯(1−𝑛)
1+1𝑛3
，
可得
𝑏𝑛+1𝑏𝑛
=1+
3𝑛−132𝑛+1+3𝑛＞1．
又bn＞0，∴bn＜bn+1，
∴数列{bn}是递增数列，则当n＝1时，bn取得最小值，
21
∴只需𝜆≤2．
∴实数λ的取值范围是（﹣∞，]．
21
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