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一元二次方程知识点的总结
知识结构梳理： 1、概念
1) 一元二次方程含有一个未知数。
2) 未知数的最高次数是2.
3) 是方程。
4) 一元二次方程的一般形式是ax²+bx+c=0. 2、解法
1) 因式分解法，适用于能化为(x+m)(x+n)=0的一元二次方程。
2) 公式法，即把方程变形为ax²+bx+c=0的形式，一元二次方程的解为x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a)。
3) 完全平方式，其中求根公式是(x±a)²=b，当时，方程有两个不相等的实数根。
4) 配方法，其中求根公式是(x±a)(x±b)=0，当时，方程有两个实数根。
5) 二次函数图像法，当时，方程有没有实数根。 3、应用
1) 一元二次方程可用于解某些求值题。
2) 一元二次方程可用于解决实际问题的步骤包括：列方程、化简方程、解方程、检验答案。
知识点归类：
考点一：一元二次方程的定义
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。②它只含有一个未知数。③未知数的最高次数是2.
考点二：一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
考点三：解一元二次方程的方法
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。解一元二次方程的方法包括因式分解法、公式法、完全平方式、配方法和二次函数图像法。
解一元二次方程有四种常用方法：直接开平方法、配方法、因式分解法和公式法。选择哪种方法要根据具体情况而定。
直接开平方法是解形如x²=a的方程的方法，解为x=±√a。
配方法是将方程的左边加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，然后用因式分解法或直接开平方法解方程。
因式分解法是将方程左边分解成两个一次因式的乘积，然后令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程，解这两个方程得到原方程的解。
公式法是用求根公式x=(-b±√(b²-4ac))/2a解方程，需要先确定方程的系数a、b、c，求出b²-4ac的值，然后代入求根公式得到方程的解。
在选择方法时，要根据方程的形式和系数的大小来判断哪种方法更适合。熟练掌握各种方法，并在实际问题中灵活应用，才能更好地解决一元二次方程。
直接开平方法可用于解含未知数的平方项的方程，右边可以是非负数或含未知数的平方项。
因式分解要求方程右边可分解因式，左边也能分解因式。 公式法是由配方法推导而来的，相比配方法更简单。 注意：解一元二次方程时应先考虑特殊方法，如直接开平方法或因式分解法，若不能用这两种方法，则选择公式法。一般情况下不采用配方法，因为它比较麻烦。
例如，使用适当的方法解下列一元二次方程： 1) 2(2x-3)=9(2x+3) 2) x^2-8x+6=0 3) (x+2)(x-1)=22
考点四：一元二次方程根的判别式
对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，根的判别式为△=b^2-4ac。
利用根的判别式，可以判断方程的根的情况： 1)△>0，方程有两个不相等的实数根；
2)△=0，方程有两个相等的实数根； 3)△<0，方程没有实数根；
判定一元二次方程根的情况的步骤：(1)将方程化为一般形式；(2)确定a、b、c的值；(3)计算△的值；(4)根据△的符号判断方程的根的情况。
例如，不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： 1) 2x^2-3x-5=0 2) 9x^2=30x-25 3) x^2+6x+10=0
考点五：根的判别式的逆用 在一元二次方程ax^2+bx+c=0中。
1)若方程有两个不相等的实数根，则b^2-4ac>0； 2)若方程有两个相等的实数根，则b^2-4ac=0； 3)若方程没有实数根，则b^2-4ac<0.
注意：逆用根的判别式可以求解未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件。
例如，求解m为何值时，方程(2m+1)x+4mx+2m-3=0的根满足以下情况：
1)有两个不相等的实数根； 2)有两个相等的实数根； 3)没有实数根。
考点六：一元二次方程的根与系数的关系
若x1、x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两个根，则有x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。
常用的转化关系有： 1)x1+x2=(x1+x2)^2-2x1x2 2)x1x2=1/(1/x1+1/x2)
3)(x1+a)(x2+a)=x1+x2+a(x1x2)
例如，根据一元二次方程的根与系数的关系求解以下问题： 若x1、x2是方程ax^2+bx+c=0的两个根，求x1+x2和x1x2的值。
1.已知一元二次方程2x-5x-3=0的两根为x1,x2，求以下式子的值：(1) x1+x2；(2) (x1-x2)2.
1) 根据韦达定理可知，x1+x2=5/2.
2) 将(x1-x2)2展开得到x12+x22-2x1x2，再代入韦达定理可得(x1-x2)2=1.
2.当x取什么值时，代数式x-x-6与代数式3x-2的值相等？
将题目中的两个代数式相等，得到方程x-x-6=3x-2，化简得到x2-2x-4=0，解得x=1±sqrt(5)。因此，当x=1±sqrt(5)时，两个代数式的值相等。
强化练
一、选择题
1.解方程x2=2x，得到x=0或x=2. 2.将x2+4x-1化成(x+2)2-5的形式。 3.解方程x2-4=0，得到x=±2.
4.方程x2-x=0的两个根分别为x=0和x=1，因此被漏掉的一个根是x=1.
5.将(3x-c)2-60=0化简得到9x2-6cx+c2-60=0，因为两根均为正数，所以判别式大于0，得到c的取值范围为c>6sqrt(5)+10.
6.根据XXX定理可知，方程的另一个根为1-a，因此答案为B。(-1±sqrt(5))/2.
7.由三角形两边长之和大于第三边可得：3+x2-6x+6>x2，解得x3.因此，周长的取值范围为5 二、填空题 1.一元二次方程x2-4=0的解是x=±2. 2.解方程x2-4x+1=0，得到x=2±sqrt(3)。 3.方程x2-2x=0的解为x=0或x=2. 4.解方程2x2+5x-3=0的解为___________． 5.方程x2-2=0的根是______． 6.已知关于x的方程x2-mx+n=0的两个根是-1和-3，则m=____，n=____． 7.方程x2-2x=0的解为______． 8.一元二次方程a2-4a-7=0的解为（____，____）。 1.解方程x2+4x-2=0； 2.先化简再计算：(x2-1)/(2x-1) ÷ (2x+x)/(x)，其中x是一元二次方程x-2x-2=0的正数根； 3.解方程x2-4x-1=0； 4.解方程x2+3x+1=0； 5.已知x1，x2是一元二次方程（a-6）x2+2ax+a=0的两个实数根。(1) 是否存在实数a，使得-x1+x1x2=4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由。(2) 求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值。 6.已知关于x的一元二次方程(x-m)2+6x=4m-3有实数根。(1) 求m的取值范围；(2) 设方程的两实根分别为x1与x2，求代数式x1•x2-x12-x22. 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容